人教A版选修23 2.3.2离散型随机变量的方差 课件（65张）.ppt

2 3 2离散型随机变量的方差 主题1离散型随机变量的方差与标准差1 如何刻画随机变量取值的稳定性 提示 由于e x 反映随机变量取值的平均水平 所以可用 xi e x 2再结合其他量来描述 2 仿照样本方差的定义以及离散型随机变量均值的概念 试想一想 如何描述随机变量x与其相应的均值e x 的平均偏离程度 提示 可用 xi e x 2 i 1 2 n 的加权平均数来描述 结论 离散型随机变量的方差 标准差 1 定义 设离散型随机变量x的分布列为 则 描述了xi i 1 2 n 相对于均值e x 的偏离程度 而d x 为这些偏离程度的加权平均 刻画了随机变量x与其均值e x 的平均偏离程度 称d x 为随机变量x的方差 其 为随机变量x的标准差 xi e x 2 算术平方根 2 意义 随机变量的方差和标准差都反映了随机变量取值偏离于 的平均程度 方差或标准差越小 则随机变量偏离于均值的 均值 平均程度越小 微思考 1 随机变量的均值反映了随机变量取值的平均水平 方差与标准差反映了什么 提示 随机变量的方差与标准差都反映了随机变量x与其均值e x 的平均偏离程度 2 试说明方差与标准差的大小与随机变量与其平均值的偏离程度的关系 提示 离散型随机变量的方差与标准差都反映了随机变量取值与均值偏离的平均程度 方差和标准差越小 则随机变量与均值偏离的平均程度越小 反之亦然 3 随机变量的方差与标准差的单位各是什么 提示 根据随机变量方差的定义可知 方差的单位是随机变量单位的平方 而标准差的单位与随机变量的单位相同 主题2离散型随机变量方差的性质1 设x为随机变量 y x b 其中b为常数 试用d x 表示d y 提示 因为y x b 所以e y e x b 所以d y yi e y 2pi xi b e y 2pi xi b e x b 2pi xi e x 2pi d x 2 设x为随机变量 y ax b 其中a b为常数 试用d x 表示d y 提示 因为y ax b 所以e y ae x b 所以d y yi e y 2pi axi b e y 2pi axi b ae x b 2pi a2 xi e x 2pi a2 xi e x 2pi a2d x 结论 离散型随机变量方差的性质设x为随机变量 y ax b 其中a b为常数 则有d ax b a2d x 微思考 1 两点分布的随机变量的方差是多少 提示 x的分布列如表 则e x p 则由随机变量x的分布列得d x 1 p 2p 0 p 2 1 p 1 p p 1 p p p 1 p 2 类比两点分布的方差 可猜想二项分布的方差是什么 提示 若x b n p 则d x np 1 p 预习自测 1 下列说法中 正确的是 a 离散型随机变量的均值e x 反映了x取值的概率平均值b 离散型随机变量的方差d x 反映了x取值的平均水平 c 离散型随机变量的均值e x 反映了x取值的平均水平d 离散型随机变量的方差d x 反映了x取值的概率平均值 解析 选c 由离散型随机变量的均值与方差的定义可知c正确 2 若x b n p 且e x 1 6 d x 1 28 则 a n 8 p 0 2b n 4 p 0 4c n 5 p 0 32d n 7 p 0 45 解析 选a 因为x b n p 且e x 1 6 d x 1 28 所以np 1 6 np 1 p 1 28 由 解得n 8 p 0 2 3 设随机变量x的方差d x 1 则d 2x 1 的值为 a 2b 3c 4d 5 解析 选c 由d ax b a2d x 得 d 2x 1 4d x 4 1 4 4 牧场的10头牛因误食疯牛病毒污染的饲料被感染 已知该病的发病率为0 02 设发病牛的头数为x 则d x 等于 解析 由题意知x b 10 0 02 所以d x 10 0 02 1 0 02 0 196 答案 0 196 5 有两台自动包装机甲与乙 包装重量分别为随机变量 1 2 已知e 1 e 2 d 1 d 2 则自动包装机 的质量较好 解析 因为e 1 e 2 所以甲 乙两机包装的重量的平均水平一样 d 1 d 2 说明甲机包装重量的差别大 不稳定 所以乙机质量好 答案 乙 6 若随机变量x的分布列如表 其中x y z成等差数列 若e x 求d x 仿照教材p66例4的解析过程 解析 e x 0 x 1 y 2 z y 2z 又x y z 1 且2y x z 所以x y z 0 所以d x 类型一随机变量方差的性质及计算 典例1 2017 开封高二检测 已知随机变量 和 其中 10 2 且e 22 若 的分布列如下表 求d 及d 解题指南 由条件及分布列的性质列出m n的方程组求出m n的值 再代入方差公式即可求出d 进而再利用方差性质计算d 解析 因为e e 10 2 10e 2 22 所以e 2 即 1 2m 3n 4 2 所以2m 3n 又m n 由 得 故d 1 2 2 2 2 2 3 2 2 4 2 2 d d 10 2 100d 100 延伸探究 1 本例条件不变 试求随机变量 及 的标准差 解析 因为d d 所以 与 的标准差分别为 2 若本例的条件换为 10 2 e 的分布列为 其余条件不变 试求d d 解析 因为 10 2 所以e 10e 2 故e 所以又因为所以故d d d 10 2 100d 方法总结 1 求离散型随机变量 的方差 标准差的步骤 1 理解 的意义 写出 可能取的全部值 2 求 取各个值的概率 写出分布列 3 根据分布列 由数学期望的定义求出e 4 根据方差 标准差的定义求出d 若 b n p 则不必写出分布列 直接用公式计算即可 2 离散型随机变量方差的性质应用及运算的注意点 1 简化运算 当求随机变量 的期望与方差时 可首先分析 是否服从二项分布 如果服从 则用公式求解 可大大减少运算量 2 性质应用 注意利用e a b ae b及d a b a2d 求期望与方差 补偿训练 随机变量 的取值为0 1 2 若p 0 e 1 则d 解题指南 根据离散型随机变量的均值与方差的相关知识计算 解析 设 1时的概率为p 则e 0 1 p 2 1 解得p 故d 0 1 2 1 1 2 2 1 2 答案 类型二两点分布与二项分布的方差 典例2 为防止风沙危害 某地决定建设防护绿化带 种植杨树 沙柳等植物 某人一次种植了n株沙柳 各株沙柳的成活与否是相互独立的 成活率为p 设 为成活沙柳的株数 数学期望e 为3 标准差为 1 求n和p的值 并写出 的分布列 2 若有3株或3株以上的沙柳未成活 则需要补种 求需要补种沙柳的概率 解题指南 1 显然随机变量 服从二项分布 利用数学期望值与方差值列出方程 解方程即可得出n和p的值 2 本题可看作n次独立重复试验 利用独立重复试验求概率即可 解析 由题意知 服从二项分布b n p p k pk 1 p n k k 0 1 n 1 由e np 3 d np 1 p 得1 p 从而n 6 p 的分布列为 2 记 需要补种沙柳 为事件a 则p a p 3 得p a 或p a 1 p 3 1 所以需要补种沙柳的概率为 方法总结 常见分布列方差的求法 1 定类型 二项分布与独立重复试验紧密相关 在问题分析时应恰当地将试验化归为独立重复试验 将问题转化为二项分布求解 2 用公式 如果明确随机变量x服从两点分布或二项分布时 可不用列出分布列 直接由公式求出 巩固训练 设一次试验的成功率为p 进行100次独立重复试验 问当p为何值时 成功次数的标准差的值最大 并求其最大值 解析 设成功次数为随机变量x 由题意知 x b 100 p 则因为d x 100p 1 p 100p 100p2 把上式看作一个以p为自变量的二次函数 易知当p 时 d x 有最大值25 所以的最大值为5 即当p 时 成功次数的标准差的值最大 最大值为5 补偿训练 设一随机试验的结果只有a和且p a m 令随机变量则x的方差d x 等于 a mb 2m 1 m c m m 1 d m 1 m 解析 选d 依题意x服从两点分布 则d x m 1 m 类型三均值与方差的综合应用 典例3 a b两个投资项目的利润率分别为随机变量x1和x2 根据市场分析 x1和x2的分布列分别如下表 1 在a b两个投资项目上各投资100万元 y1和y2分别表示投资项目a和b所获得的利润 求方差d y1 d y2 2 将x 0 x 100 万元投资项目a 100 x 万元投资项目b f x 表示投资项目a所得利润的方差与投资项目b所得利润的方差的和 求f x 的最小值 并指出x为何值时 f x 取得最小值 解题指南 1 y1和y2分别表示投资项目a和b所获得的利润 根据两个投资项目的利润率x1和x2的分布列 可以得到y1和y2的分布列 再分别求出变量的方差 2 根据题意知f x 表示投资a项目所得利润的方差与投资b项目所得利润的方差的和 写出用x表示的方差的解析式 结合二次函数的最值问题 得到结果 解析 1 根据题意 知y1和y2的分布列分别如下表 从而e y1 5 0 8 10 0 2 6 d y1 5 6 2 0 8 10 6 2 0 2 4 e y2 2 0 2 8 0 5 12 0 3 8 d y2 2 8 2 0 2 8 8 2 0 5 12 8 2 0 3 12 2 f x 当x 时 f x 3为最小值 方法总结 解均值与方差的综合问题时的注意事项 1 离散型随机变量的分布列 均值和方差是三个紧密联系的有机统一体 一般在试题中综合在一起考查 其解题的关键是求出分布列 2 在求分布列时 要注意利用等可能事件 互斥事件 相互独立事件的概率公式计算概率 并注意结合分布列的性质 简化概率计算 3 在计算均值与方差时要注意运用均值和方差的性质以避免一些复杂的计算 若随机变量x服从两点分布 二项分布可直接利用对应公式求解 巩固训练 袋中有20个大小相同的球 其中记上0号的有10个 记上n号的有n个 n 1 2 3 4 现从袋中任取一球 表示所取球的标号 1 求 的分布列 均值和方差 2 若 a b e 1 d 11 试求a b的值 解析 1 的分布列为则e d 0 1 5 2 1 1 5 2 2 1 5 2 3 1 5 2 4 1 5 2 2 75 2 由d a2d 得a2 2 75 11 得a 2 又e ae b 所以当a 2时 由1 2 1 5 b 得b 2 当a 2时 由1 2 1 5 b 得b 4 所以即为所求 补偿训练 甲 乙两个野生动物保护区有相同的自然环境 且野生动物的种类和数量也大致相等 而两个保护区内每个季度发现违反保护条例的事件次数的分布列分别为 甲保护区 乙保护区 试评定这两个保护区的管理水平 解析 甲保护区的违规次数 1的均值和方差为 e 1 0 0 3 1 0 3 2 0 2 3 0 2 1 3 d 1 0 1 3 2 0 3 1 1 3 2 0 3 2 1 3 2 0 2 3 1 3 2 0 2 1 21 乙保护区的违规次数 2