人教A版选修44曲线的参数方程 学案.docx

一曲线的参数方程1参数方程的概念2圆的参数方程学习目标1.理解曲线参数方程的有关概念.2.掌握圆的参数方程.3.能够根据圆的参数方程解决最值问题.知识链接曲线的参数方程中，参数是否一定具有某种实际意义？在圆的参数方程中，参数有什么实际意义？提示联系x，y的参数t(，)可以是一个有物理意义或几何意义的变数，也可以是无实际意义的任意实数.圆的参数方程中，其中参数的几何意义是om0绕点o逆时针旋转到om的位置时，om0转过的角度.预习导引1.参数方程的概念一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x、y都是某个变数t的函数：，并且对于t的每一个允许值，由方程组所确定的点m(x，y)都在这条曲线上，那么方程组就叫做这条曲线的参数方程，联系变数x，y之间关系的变数t叫做参变数，简称参数.相对于参数方程而言，直接给出的点的坐标间的关系的方程叫做普通方程.2.圆的参数方程(1)如图所示，设圆o的半径为r，点m从初始位置m0开始出发，按逆时针方向在圆o上作均速圆周运动，设m(x，y)，点m转过的角度是，则(为参数)，这就是圆心在原点，半径为r的圆的参数方程.(2)圆心为c(a，b)，半径为r的圆的普通方程与参数方程普通方程参数方程(xa)2(yb)2r2(为参数)要点一参数方程的概念例1已知曲线c的参数方程是(t为参数，ar)，点m(3，4)在曲线c上.(1)求常数a的值；(2)判断点p(1，0)、q(3，1)是否在曲线c上？解(1)将m(3，4)的坐标代入曲线c的参数方程得消去参数t，得a1.(2)由(1)可得，曲线c的参数方程是把点p的坐标(1，0)代入方程组，解得t0，因此p在曲线c上，把点q的坐标(3，1)代入方程组，得到这个方程组无解，因此点q不在曲线c上.规律方法点与曲线的位置关系满足某种约束条件的动点的轨迹形成曲线，点与曲线的位置关系有两种：点在曲线上、点不在曲线上.(1)对于曲线c的普通方程f(x，y)0，若点m(x1，y1)在曲线上，则点m(x1，y1)的坐标是方程f(x，y)0的解，即有f(x1，y1)0，若点n(x2，y2)不在曲线上，则点n(x2，y2)的坐标不是方程f(x，y)0的解，即有f(x2，y2)0.(2)对于曲线c的参数方程(t为参数)，若点m(x1，y1)在曲线上，则对应的参数t有解，否则参数t不存在.跟踪演练1已知曲线c的参数方程为(为参数，02).判断点a(2，0)，b是否在曲线c上？若在曲线上，求出点对应的参数的值.解把点a(2，0)的坐标代入，得cos 1，且sin 0，由于02，解之得0，因此点a(2，0)在曲线c上，对应参数0，同理，把b代入参数方程，得又02，所以点b在曲线c上，对应.要点二圆的参数方程及其应用例2设曲线c的参数方程为(为参数)，直线l的方程为x3y20，则曲线c上到直线l距离为的点的个数为()a.1 b.2 c.3 d.4解析由得(x2)2(y1)29.曲线c表示以(2，1)为圆心，以3为半径的圆，则圆心c(2，1)到直线l的距离d3，所以直线与圆相交.所以过圆心(2，1)与l平行的直线与圆的2个交点满足题意，又3d，故满足题意的点有2个.答案b规律方法1.本题利用三角函数的平方关系，消去参数；数形结合，判定直线与圆的位置关系.2.参数方程表示怎样的曲线，一般是通过消参，得到普通方程来判断，特别要注意变量的取值范围.跟踪演练2已知实数x，y满足(x1)2(y1)29，求x2y2的最大值和最小值.解由已知，可把点(x，y)视为圆(x1)2(y1)29上的点，设(为参数).则x2y2(13cos )2(13sin )2116(sin cos )116sin.1sin1，116x2y2116.x2y2的最大值为116，最小值为116.要点三参数方程的实际应用例3某飞机进行投弹演习，已知飞机离地面高度为h2 000 m，水平飞行速度为v1100 m/s，如图所示.(1)求飞机投弹t s后炸弹的水平位移和离地面的高度；(2)如果飞机追击一辆速度为v220 m/s同向行驶的汽车，欲使炸弹击中汽车，飞机应在距离汽车的水平距离多远处投弹？(g10 m/s2)解(1)如图所示，建立平面直角坐标系，设炸弹投出机舱的时刻为0 s，在时刻t s时其坐标为m(x，y)，由于炸弹作平抛运动，依题意，得即令y2 0005t20，得t20(s)，所以飞机投弹t s炸弹的水平位移为100t m，离地面的高度为(2 0005t2)m，其中，0t20.(2)由于炸弹水平分运动和汽车的运动均为匀速直线运动，以汽车参考系.水平方向s相对v相对t，所以飞机应距离汽车投弹的水平距离为s(v1v2)t(10020)201 600(m).规律方法本题通过点的坐标的参数方程利用运动学知识使问题得解.由于水平抛出的炸弹做平抛运动，可以分解为在水平方向上的匀速直线运动和竖直方向上的自由落体运动，炸弹飞行的时间也就是它作自由落体运动所用的时间.跟踪演练3如果本例条件不变，求：(1)炸弹投出机舱10 s后这一时刻的水平位移和高度各是多少m?(2)如果飞机迎击一辆速度为v220 m/s相向行驶的汽车，欲使炸弹击中汽车，飞机应在距离汽车的水平距离多远处投弹？解(1)将t10代入得所以炸弹投出机舱10 s后这一时刻的水平位移和高度分别是1 000 m和1 500 m.(2)由于炸弹水平分运动和汽车的运动均为匀速直线运动，以汽车为参考系.水平方向s相对v相对t，所以飞机应距离汽车投弹的水平距离为s(v1v2)t(10020)202 400(m).1.曲线的普通方程直接地反映了一条曲线上点的横、纵坐标之间的联系，而参数方程是通过参数反映坐标变量x、y间的间接联系.在具体问题中的参数可能有相应的几何意义，也可能没有什么明显的几何意义.曲线的参数方程常常是方程组的形式，任意给定一个参数的允许取值就可得到曲线上的一个对应点，反过来，对于曲线上的任一点也必然对应着参数相应的允许取值.2.求曲线参数方程的主要步骤第一步，画出轨迹草图，设m(x，y)是轨迹上任意一点的坐标.画图时要注意根据几何条件选择点的位置，以利于发现变量之间的关系.第二步，选择适当的参数.参数的选择要考虑以下两点：一是曲线上每一点的坐标x，y与参数的关系比较明显，容易列出方程；二是x，y的值可以由参数唯一确定.第三步，根据已知条件、图形的几何性质、问题的物理意义等，建立点的坐标与参数的函数关系式，证明可以省略.1.下列方程：(1)(m为参数)；(2)(m，n为参数)；(3)(4)xy0中，参数方程的个数为()a.1 b.2 c.3 d.4解析由参数方程的概念知是参数方程，故选a.答案a2.当参数变化时，由点p(2cos ，3sin )所确定的曲线过点()a.(2，3) b.(1，5) c. d.(2，0)解析当2cos 2，即cos 1，3sin 0.过点(2，0).答案d3.参数方程(t为参数)表示的曲线是()a.两条直线 b.一条射线c.两条射线 d.双曲线解析当t0时是一条射线；当t0时，也是一条射线，故选c.答案c4.已知(t为参数)，若y1，则x_.解析当y1时，t21，t1，当t1时，x2；当t1时，x0.x的值为2或0.答案2或05.已知直线yx与曲线(为参数)相交于两点a和b，求弦长|ab|.解由得(x1)2(y2)24，其圆心为(1，2)，半径r2，则圆心(1，2)到直线yx的距离d.|ab|22.一、基础达标1.已知o为原点，参数方程(为参数)上的任意一点为a，则|oa|()a.1 b.2 c.3 d.4解析|oa|1，故选a.答案a2.已知曲线c的参数方程是(为参数)，曲线c不经过第二象限，则实数a的取值范围是()a.a2 b.a3 c.a1 d.a0解析曲线c的参数方程是(为参数)，化为普通方程为(xa)2y24，表示圆心为(a，0)，半径等于2的圆.曲线c不经过第二象限，则实数a满足a2，故选a.答案a3.圆心在点(1，2)，半径为5的圆的参数方程为()a.(02)b.(02)c.(0)d.(02)解析圆心在点c(a，b)，半径为r的圆的参数方程为(0，2).故圆心在点(1，2)，半径为5的圆的参数方程为(02).答案d4.将参数方程(为参数)化为普通方程为()a.yx2 b.yx2c.yx2(2x3) d.yx2(0y1)解析将参数方程中的消去，得yx2.又x2，3.答案c5.若点(3，3)在参数方程(为参数)的曲线上，则_.解析将点(3，3)的坐标代入参数方程(为参数)得解得2k，kz.答案2k，kz6.已知圆c的参数方程为(为参数)，以原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为sin 1，则直线l与圆c的交点的直角坐标为_.解析由圆c的参数方程为可求得其在直角坐标系下的方程为x2(y1)21，由直线l的极坐标方程sin 1可求得其在直角坐标系下的方程为y1，由可解得所以直线l与圆c的交点的直角坐标为(1，1)，(1，1).答案(1，1)，(1，1)7.已知曲线c：(为参数)，如果曲线c与直线xya0有公共点，求实数a的取值范围.解x2(y1)21.圆与直线有公共点，则d1，解得1a1.二、能力提升8.若p(2，1)为圆o：(02)的弦的中点，则该弦所在直线l的方程是()a.xy30 b.x2y0c.xy10 d.2xy50解析圆心o(1，0)，kpo1.kl1.直线l方程为xy30.答案a9.如图，以过原点的直线的倾斜角为参数，则圆x2y2x0的参数方程为_.解析将x2y2x0配方，得y2，圆的直径为1.设p(x，y)，则x|op|cos 1cos cos cos2，y|op|sin 1cos sin sin cos ，圆x2y2x0的参数方程为(为参数).答案(为参数)10.曲线(t为参数)与圆x2y24的交点坐标为_.解析sin t1，1，y0，2.方程表示的曲线是线段x1(0y2).令x1，由x2y24，得y23，0y2，y.答案(1，)11.设点m(x，y)在圆x2y21上移动，求点p(xy，xy)的轨迹.解设点m(cos ，sin )(02)，点p(x，y).则22，得x22y1.即x22.所求点p的轨迹为抛物线x22的一部分.12.已知点m(x，y)是圆x2y22x0上的动点，若4x3ya0恒成立，求实数a的取值范围.解由x2y22x0，得(x1)2y21，又点m在圆上，x1cos ，且ysin (为参数)，因此4x3y4(1cos )3sin 45sin()451.(由tan 确定)4x3y的最大值为1.若4x3ya0恒成立，则a(4x3y)max，故实数a的取值范围是1，).三、探究与创新13.已知