人教A版选修44参数方程和普通方程的互化 学案.docx

3参数方程和普通方程的互化学习目标1.了解参数方程化为普通方程的意义.2.掌握参数方程化为普通方程的基本方法.3.能够利用参数方程化为普通方程解决有关问题.知识链接普通方程化为参数方程，参数方程的形式是否唯一？提示不一定唯一.普通方程化为参数方程，关键在于适当选择参数，如果选择的参数不同，那么所得的参数方程的形式也不同.预习导引参数方程与普通方程的互化(1)曲线的参数方程和普通方程是曲线方程的不同形式.一般地，可以通过消去参数而从参数方程得到普通方程.(2)如果知道变数x，y中的一个与参数t的关系，例如xf(t)，把它代入普通方程，求出另一个变数与参数的关系yg(t)，那么就是曲线的参数方程.在参数方程与普通方程的互化中，必须使x，y的取值范围保持一致.要点一把参数方程化为普通方程例1在方程(a，b为正常数)中，(1)当t为参数，为常数时，方程表示何种曲线？(2)当t为常数，为参数时，方程表示何种曲线？解方程(a，b是正常数)，(1)sin cos 得xsin ycos asin bcos 0.cos 、sin 不同时为零，方程表示一条直线.(2)(i)当t为非零常数时，原方程组为22得1，即(xa)2(yb)2t2，它表示一个圆.(ii)当t0时，表示点(a，b).规律方法1.消去参数的常用方法：将参数方程化为普通方程，关键是消去参数，如果参数方程是整式方程，常用的消元法有代入消元法、加减消元法.如果参数方程是分式方程，在运用代入消元或加减消元之前要做必要的变形.另外，熟悉一些常见的恒等式至关重要，如sin2cos21，(exex)2(exex)24，1等.2.把参数方程化为普通方程时，要注意哪一个量是参数，并且要注意参数的取值对普通方程中x及y的取值范围的影响.本题启示我们，形式相同的方程，由于选择参数的不同，可表示不同的曲线.跟踪演练1参数方程(为参数)化成普通方程为_.解析cos2sin21，x2(y1)21.答案x2(y1)21要点二把普通方程化成参数方程例2求方程4x2y216的参数方程：(1)设y4sin ，为参数；(2)若令yt(t为参数)，如何求曲线的参数方程？若令x2t(t为参数)，如何求曲线的参数方程？解(1)把y4sin 代入方程，得到4x216sin216，于是4x21616sin216cos2，x2cos .4x2y216的参数方程是和(为参数)(2)将yt代入椭圆方程4x2y216，得4x2t216，则x2.x.因此，椭圆4x2y216的参数方程是，和(t为参数).同理将x2t代入椭圆4x2y216，得椭圆的参数方程为和(t为参数).规律方法1.将圆的普通方程化为参数方程(1)圆x2y2r2的参数方程为(为参数)；(2)圆(xa)2(yb)2r2的参数方程为(为参数).2.普通方程化为参数方程关键是引入参数(例如xf(t)，再计算yg(t)，并且要保证等价性.若不可避免地破坏了同解变形，则一定要通过xf(t)，yg(t)，调整t的取值范围，使得在普通方程转化为参数方程的过程中，x，y的取值范围保持一致.跟踪演练2设ytx(t为参数)，则圆x2y24y0的参数方程是_.解析把ytx代入x2y24y0得x，y，参数方程为(t为参数).答案(t为参数)要点三参数方程的应用例3已知x、y满足x2(y1)21，求：(1)3x4y的最大值和最小值；(2)(x3)2(y3)2的最大值和最小值.解由圆的普通方程x2(y1)21得圆的参数方程为(0，2).(1)3x4y3cos 4sin 445sin()，其中tan ，且的终边过点(4，3).55sin()5，145sin()9，3x4y的最大值为9，最小值为1.(2)(x3)2(y3)2(cos 3)2(sin 4)2268sin 6cos 2610sin().其中tan .且的终边过点(4，3).1010sin()10，162610sin()36，所以(x3)2(y3)2的最大值为36，最小值为16.规律方法1.运用参数思想解题的关键在于参数的选择.选择参数时，应注意所选择的参数易于与两个坐标产生联系.由于三角函数的巨大作用，常选择角为参数，若轨迹与运动有关，常选择时间为参数.2.解决与圆有关的最大值和最小值问题，常常设圆的参数方程，然后转化为求三角函数的最大值和最小值问题.3.注意运用三角恒等式求最值：asin bcos sin().其中tan (a0)，且的终边过点(a，b).跟踪演练3如图，已知点p是圆x2y216上的一个动点，定点a(12，0)，当点p在圆上运动时，利用参数方程求线段pa的中点m的轨迹.解因为圆x2y216的参数方程为(为参数)，所以可设点p(4cos ，4sin )，设点m(x，y)，由线段中点坐标公式得(为参数)，即点m的轨迹的参数方程为(为参数)，所以点m的轨迹是以点(6，0)为圆心、2为半径的圆.1.参数方程和普通方程的互化参数方程化为普通方程，可通过代入消元法和三角恒等式消参法消去参数方程中的参数，通过曲线的普通方程来判断曲线的类型.由普通方程化为参数方程要选定恰当的参数，寻求曲线上任一点m的坐标x，y和参数的关系，根据实际问题的要求，我们可以选择时间、角度、线段长度、直线的斜率、截距等作为参数.2.同一道题参数的选择往往不是唯一的，适当地选择参数，可以简化解题的过程，降低计算量，提高准确率.求轨迹方程与求轨迹有所不同，求轨迹方程只需求出方程即可，而求轨迹往往是先求出轨迹方程，然后根据轨迹方程指明轨迹是什么图形.3.参数方程与普通方程的等价性把参数方程化为普通方程后，很容易改变了变量的取值范围，从而使得两种方程所表示的曲线不一致，因此我们要注意参数方程与普通方程的等价性.1.与普通方程x2y10等价的参数方程为(t为参数)()a. b.c. d.解析a化为普通方程为x2y10，x1，1，y0，1.b化为普通方程为x2y10，x1，1，y0，1.c化为普通方程为x2y10，x0，)，y(，1.d化为普通方程为x2y10，xr，yr.答案d2.将参数方程(t为参数)化为普通方程为_.解析由xt得x2t22，又yt2，x2y2.t22，y2.答案x2y2(y2)3.参数方程(为参数)表示的曲线的普通方程是_.解析y2(sin cos )2sin22sin cos cos212sin cos 1x，又xsin 21，1，曲线的普通方程是y2x1(1x1).答案y2x1(1x1)4.已知某条曲线c的参数方程为(其中t是参数，ar)，点m(5，4)在该曲线上.(1)求常数a；(2)求曲线c的普通方程.解(1)由题意，可知故所以a1.(2)由已知及(1)可得，曲线c的方程为由第一个方程，得t，代入第二个方程，得y，即(x1)24y为所求.一、基础达标1.曲线(为参数)的方程等价于()a.x b.yc.y d.x2y21解析由x|sin |得0x1；由ycos 得1y1.故选a.答案a2.已知直线l：(t为参数)与圆c：(为参数)，则直线l的倾斜角及圆心c的直角坐标分别是()a.，(1，0) b.，(1，0)c.，(1，0) d.，(1，0)解析直线消去参数得直线方程为yx，所以斜率k1即倾斜角为.圆的标准方程为(x1)2y24，圆心坐标为(1，0).答案c3.参数方程(t为参数)化为普通方程为()a.x2y21b.x2y21去掉(0，1)点c.x2y21去掉(1，0)点d.x2y21去掉(1，0)点解析x2y21，又x1时，1t2(1t2)不成立，故去掉点(1，0).答案d4.若x，y满足x2y21，则xy的最大值为()a.1 b.2 c.3 d.4解析由于圆x2y21的参数方程为(为参数)，则xysin cos 2sin，故xy的最大值为2.故选b.答案b5.在直角坐标系xoy中，以原点o为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.若极坐标方程为cos 4的直线与曲线(t为参数)相交于a，b两点，则|ab|_.解析由cos 4，知x4.又x3y2(x0).由得或|ab|16.答案166.在极坐标系中，圆c1的方程为4cos，以极点为坐标原点，极轴为x轴的正半轴建立平面坐标系，圆c2的参数方程(为参数)，若圆c1与c2相切，则实数a_.解析圆c1的直角坐标方程为x2y24x4y，其标准方程为(x2)2(y2)28，圆心为(2，2)，半径长为2，圆c2的圆心坐标为(1，1)，半径长为|a|，由于圆c1与圆c2外切，则|c1c2|2|a|3或|c1c2|a|23a或a5.答案或57.已知曲线c的参数方程为(t为参数，t0).求曲线c的普通方程.解由x两边平方得x2t2，又y3，则t(y6).代入x2t2，得x22.3x2y60(y6).故曲线c的普通方程为3x2y60(y6).二、能力提升8.已知在平面直角坐标系xoy中圆c的参数方程为：(为参数)，以ox为极轴建立极坐标系，直线极坐标方程为：cos0，则圆c截直线所得弦长为()a. b.2 c.3 d.4解析圆c的参数方程为的圆心为(，1)，半径为3，直线普通方程为xy0，即xy0，圆心c(，1)到直线xy0的距离为d1，所以圆c截直线所得弦长|ab|224.答案d9.过原点作倾斜角为的直线与圆相切，则_.解析直线为yxtan ，圆为(x4)2y24，直线与圆相切时，易知tan ，或.答案或10.在直角坐标系xoy中，已知曲线c1：(t为参数)与曲线c2：(为参数，a0)有一个公共点在x轴上，则a_.解析曲线c1的普通方程为2xy3，曲线c2的普通方程为1，直线2xy3与x轴的交点坐标为，故曲线1也经过这个点，代入解得a(舍去).答案11.在平面直角坐标系中，以坐标原点o为极点，x轴的正半轴为极轴建立坐标系.已知直线l上两点m，n的极坐标分别为(2，0)，圆c的参数方程为(为参数).(1)设p为线段mn的中点，求直线op的平面直角坐标方程；(2)判断直线l与圆c的位置关系.解(1)由题意知，m，n的平面直角坐标分别为(2，0)，.又p为线段mn的中点，从而点p的平面直角坐标为，故直线op的平面直角坐标方程为yx.(2)因为直线l上两点m，n的平面直角坐标分别为(2，0)，所以直线l的平面直角坐标方程为xy20.又圆c的圆心坐标为(2，)，半径为r2，圆心到直线l的距离dr，故直线l与圆c相交.12.已知曲线c1：(为参数)，曲线c2：(t为参数).(1)指出c1，c2各是什么曲线，并说明c1与c2公共点的个数；(2)若把c1，c2上各点的纵坐标都压缩为原来的一半，分别得到曲线c1，c2.写出c1，c2的参数方程.c1与c2公共点的个数和c1与c2公共点的个数是否相同？说明你的理由.解(1)c1是圆，c2是直线.c1的普通方程为x2y21，圆心c1(0，0)，半径r1.c2的普通方程为xy0.因为圆心c1到直线xy0的距离为1，所以c2与c1只有一个公共点.(2)压缩后的参数方程分别为c1：(为参数)，c2：(t为参数)，化为普通方程为c1：x24y21，c2：yx，联立消元得2x22x10，其判别式(2)24210，所以压缩后的直线c2与椭圆c1仍然只有一个公共点，和c1与c2公共点的个数相同.三、探究与创新13.已知