六年级上册数学教材分析.doc

六年级上册数学教材分析本册教材共有七个单元，其中“数与代数”的内容有分数乘除法、分数四则混合运算、百分数、解决问题策略，“空间与图形”的内容有长方体和正方体。综合与实践有树叶的比和互联网的普及和探索规律活动表面涂色的正方体。一、 教材的主要调整与变化第一单元的方程移到了五年级下册，与五下的方程合并成一个单元；删去了可能性单元，一方面数学课程标准降低了概率部分的教学要求，不再要求对随机现象发生的可能性的大小作定量的描述。另一方面学生对用分数描述简单随机现象发生的可能性大小，理解起来有一定的困难，所以删去实验教材六年级上册的可能性单元。原来的综合实践与应用调整为树叶的比和互联网的普及，其中树叶的比主要引导学生综合应用比、统计等有关知识，探索并发现树叶中隐含的简单规律；互联网的普及主要引导学生通过调查，了解本班同学及家庭互联网的普及情况，体验应用百分数描述和分析数据的过程。增设“探索规律”的活动表面涂色的正方体，引导学生通过把表面涂有颜色的正方体切成若干个小正方体的操作，探索小正方体表面涂色的各种情况中隐含的简单规律；设置“动手做”的栏目，安排了3次“动手做”的活动。除此以外教材还合理整合分数、比、百分数等教学内容，以凸显知识间的联系，帮助学生建立合理的认知结构。首先把分数除法和比合并成一个单元，把这两个单元合并在一个单元教学，更有利于学生体会知识间的联系，建构模块化的知识系统；其次把认识百分数和六年级下册百分数的应用合并成一个单元，认识百分数的目的在于运用百分数的知识解决问题，而运用百分数的知识解决问题，又可以促进对百分数的理解。把这两个单元合并起来，可以更好的体现教学内容体系的完整性和连贯性，促进学生的数学理解。从调整后的教材来看，六上的教学内容除了长正方体和解决问题的策略，其他内容都为分数百分数的知识，可以说教学任务比较重。虽然六上大的教学板块没有多大的变动，但每个单元还是有小的变化，下面我们一个一个单元进行分析。二、各单元教材分析长方体和正方体本单元系统教学长方体和正方体的知识，教材把内容整理成三部分，先教学长方体和正方体的形状与结构特点，使学生具有清晰的立体图形的表象；接着教学长方体和正方体的表面积，使学生理解表面积的含义，知道长方体和正方体的表面积计算方法，并且灵活应用表面积知识解决实际问题；然后教学体积和容积的知识，使学生初步建立体积与容积的概念，认识常用的体积单位与容积单位，掌握计算长方体和正方体体积的方法，解决有关体积或容积的实际问题。具体安排如下例1、例2长方体的形状特征、正方体的形状特征例3长方体、正方体的表面展开图例4长方体、正方体表面积的意义与计算方法例5表面积知识的实际应用例6、例7体积的意义、容积的意义例8常用的体积单位和容积单位例9、例10长方体、正方体的体积计算公式例11用“底面积高”计算长方体或正方体的体积例12体积单位间的进率与简单换算单元整理与练习本单元教学内容在编排上有以下特点。第一， 有一条合理的编排线索。先教学长方体、正方体的特征，再教学它们的表面积，然后教学体积，是一条符合知识间的发展关系，有利于学生认知的线索。第二，加强了空间观念。教学长方体和正方体，历来都很重视发展空间观念。本单元不仅在传统的基础知识的教学时加强培养，还充实了长方体、正方体表面展开的内容。把几何体与其展开图之间的转化作为空间观念的一个内容，把能进行这些转化作为空间观念的一种表现。第三，注重知识的实际应用。本单元教学的知识与学生的日常生活有密切的联系。在现实的问题情境中能发现和认识数学知识，习得的概念和方法能应用于解决实际问题。教材尽力从数学的角度提出问题、解释问题，引导学生综合应用数学知识、技能解决问题，处处能看到数学与生活的有机结合。如认识长方体、正方体的特征以后，收集这样的实物并量出长、宽、高或棱长；在做纸盒和鱼缸的实际问题中教学表面积的计算和应用；用初步建立的体积（容积）概念比较物体的大小；用学到的体积单位计量常见物体的体积、常见容器的容量；灵活应用体积公式计算沙坑里沙的厚度、塑胶跑道的用料问题与实验教材相比，本单元主要有两点变化1揭示长方体、正方体的关系。对于长方体和正方体的关系，实验教材是在六年级下册总复习单元安排的。一方面，理解概念间的属种关系是弄清概念外延的必要前提，也是建立概念的重要环节；另一方面到了六年级学生的理解能力、思维能力都有了相当程度的发展，探索并理解这一关系不会有太多困难。本次修订，安排专门环节教学长方体和正方体之间的关系，教材要求学生比较长方体和正方体有哪些相同的地方，体会正方体具有长方体的所有特征：它们都有6个面，都是相对的面完全相同；它们都有12条棱，都是相对的棱长度相等；它们都有8个顶点。正方体有些特征是长方体不具备的，在这些比较的基础上，教材明确指出“正方体是特殊的长方体”，并用集合表达这种关系。集合图用一个较大的圈表示所有的长方体，用一个较小的圈表示所有的正方体，小圈在大圈里面，表示正方体是长方体中的特殊部分。帮助学生明晰长方体和正方体的外延，更好地掌握长方体、正方体的特征。2.精心设计数学活动线索。这也是本册教材的亮点之一。教材特别强调针对教学内容的重点、难点和关键，精心设计数学活动线索，为教与学的双边活动提供实实在在的启示。例如（例5），教学用长方体表面积计算方法解决问题时，原来教材提出问题直接呈现出计算方法，现在把它细化了，首先提出“求需要玻璃多少平方分米，就是求长方体哪几个面面积的和，可以怎样计算？”引导学生讨论是求哪几个面，再具体研究计算这些面的方法。二是“用长方体表面积的方法解决实际问题时，要注意什么？” 因为现实生活里使用长方体或正方体表面积的知识，解决的实际问题复杂多变。有些物体有6个面，有些物体只有5个或4个面。需要学生根据实际问题确定是求哪几个面，根据长方体面的特征，确定选择长宽高的哪一个数据算出结果，所以教材在教学长方体正方体表面积时没有出现公式，要求学生正确理解题意，联系生活经验，灵活应用数学知识。教学建议（一）观察、整理-有条理地认识长方体和正方体的特征观察物体、整理特点是认识长方体的主要教学活动，例题把教学过程设计成三步。1. 观察长方体，认识直观图，以及面、棱和顶点。例题以三上的经验为教学起点，在观察物体的基础上理解长方体、正方体的直观图，认识它们的面、棱和顶点。把立体的样子画在纸上，从实物到它们的直观图，是空间观念的一次发展。把立体与其直观图有机联系，感受直观图真实表达了立体的形状，并在看到直观图时，能想到相应的立体，这是空间观念的表现。直观图是教学难点，从有利于学生理解出发，可以分两步出现。先画出能够看到的面，再勾出不能看到的面。2.分类观察，由“量”到“质”认识长方体的特征。认识长方体的特征，鼓励主动探索，重视合作交流，遵循逐渐认识的规律。教学要注意：一是学生对长方体的认识不会一步到位，总是由表及里、由浅入深、点滴积累、逐步进展的。教学长方体的特征既要让学生自主，又要教师及时引导点拨。如发现6个面都是长方形比较容易，而相对的面完探索全相同往往需要教师引导学生去关注、去比较。至于长方体的3组棱以及每组4条棱长度相等，可能更需要教师的指点。二是例题例题里观察的是一般的长方体，目的是紧扣长方体的本质特征教学。把较特殊的长方体安排在练习三第1、2题里出现，学生不会因为它有两个面是正方形，对它是长方体产生怀疑。这样安排也符合正方体从属于长方体的关系。三是要通过教学长、宽、高继续认识长方体，通常把长方体竖直位置的棱称为高，上面或下面的一条较长的棱称为长、较短的棱称为宽。从长方体的任何一个顶点，都能找到长方体的长、宽、高，不但要让学生在立体上指出，还应要求他们在直观图上看出来。如果适量地把长方体横放、竖放、侧放，根据不同的摆放位置，让学生说说它的长、宽、高，可以防止死记硬背，发展空间观念。3. 观察物体，独立发现正方体的特征。正方体比长方体简单，又有认识长方体特征的经验，所以正方体特征的教学可以让学生自主探索。（二） 展开、折叠-认识长方体和正方体的表面展开图1. 让学生初步知道表面“展开图”的含义，加强对正方体的认识。知道表面展开图是平面图形，清楚地看到正方体的表面展开图由6个完全相同的正方形组成。教学这道例题除了仔细展开正方体纸盒的各个面，还要注意展开以后的回顾与反思。让学生回忆是怎样展开正方体表面的，思考为什么展开图里有6个同样的正方形，正方形的边长与正方体的棱长是什么关系通过反思，加强对表面展开图的体会，加强对正方体特征的认识，在立体与它的表面展开图关系的思辨中发展空间观念。 “豆荚”卡通要求学生“沿着其他棱试着剪一剪”，再次进行展开正方体表面的活动，体会沿着不同位置的棱剪，得到的展开图形状不同。理解正方体表面展开图既有多样性，又有确定性。2. 让学生自主研究长方体的表面展开图，加强对长方体的认识。长方体的表面展开图，学生已有学习正方体表面展开图的活动经验会支持他们主动地操作、交流。 “玉米”卡通提出的“从展开图中找到3组相对的面”是富有思维含量的问题，能引发学生进一步研究展开图，并把展开图与立体联系起来思考。要鼓励学生反复进行“展开表面围成长方体展开表面围成长方体”的折叠、展开活动，仔细研究展开图里的每一个长方形，想想它在长方体上的位置；看长方体的各个面，想想它在展开图里的位置。让学生在体验立体与表面展开图相互转化的过程中发展空间观念。另外，还可以在表面展开图上想长方体的长、宽、高，并把长、宽、高转换成展开图中各个长方形的长与宽。学生进行这些转化，也能加强对长方体的认识，还能为学习表面积作些准备。3. 判断哪些图形折叠后能围成正方体或长方体，加强对“体”的感受。配合例3的“练一练”第2题，练习一第6题要求观察教科书附页里的图形，想想沿着虚线折叠，哪些图形能围成长方体。第7题要求分别找到三个长方体或正方体的表面展开图。教材编排这些习题，目的是加强立体与它的表面展开图的相互转换。学生进行这些判断往往会有困难，这里提出两点教学建议：第一，在例3和“试一试”里要把沿不同的棱剪纸盒得到的各个展开图充分展示和交流，先认识“标准”和“比较标准”状态的展开图，再体会展开图还有其他形状，并在各个展开图上指出立体中三组相对的面。第二，允许学生灵活地“先想后围”或者“先围后想”。如果看到的图形是“标准”的或者接近“标准”的，可以先判断它能不能围成立体，想想围成的立体是什么样子，然后动手折叠，验证刚才的判断与想象。如果看到的图形不是“标准”状态的，可以先动手操作，从中体会为什么能围成或围不成立体。（三） 分解、组合-有意义地建构长方体和正方体表面积的知识1. 联系已有知识经验，探索表面积的知识。例4创设的问题情境是做一个长方体纸盒要用多少硬纸板，引导学生联系已有经验，探索表面积的知识。 “辣椒”卡通和“蘑菇”卡通的算法是比较典型的两种方法，他们有相同的目标：求出纸盒各个面面积的总和。但他们的算法不同：一种算法是分别求出3组相对的面的面积，再相加求出总面积；另一种算法是先求出3组相对面中各一个面的面积和，再把面积和乘2。两种算法都得益于练习一第3题的孕伏，都是计算长方体表面积的较好方法，而乘法分配律可以沟通两种算法的内在联系。教材里不归纳表面积公式，并不意味可以淡化表面积算法的教学，而是要让学生联系表面积意义自主建构表面积的算法。2. 联系生活经验，灵活解决实际问题。现实生活里经常会使用长方体或正方体表面积的知识，解决的实际问题复杂多变。有些物体有6个面，有些物体只有5个或4个面。这就要求学生正确理解题意，联系生活经验，灵活应用数学知识。例5呈现一个长方体玻璃鱼缸，题目指出它“无盖”。教材通过鱼缸的示意图帮助学生理解这个实际问题的特点，明白所用玻璃的面积是长方体5个面的面积和。例题安排学生交流解决问题的思路，鼓励他们灵活应用表面积的知识。“番茄”卡通和“辣椒”卡通都是计算玻璃鱼缸5个面的总面积，而具体的算法不一样。一种算法是有哪5个面，就把这5个面的面积相加。即把鱼缸的前、后、左、右和下面的面积相加。另一种算法是缺少哪个面，就从6个面的总面积里减去那个面的面积，即“表面积-上面的面积”。两条思路各有特点，前一条思路对空间想象的要求比较高，必须找准并正确计算有关的5个面的面积。后一条思路的思维负荷稍轻些，只要集中力量思考缺少的一个面。在整理解题思路以后，教材让学生选择一种方法算出结果，加强对思路的理解与把握。至于“还有其他方法吗”，一般只是利用前一种思路解题，列出略有不同的算式。如5个面的面积连加，或者前面的面积2+左面的面积2+下面的面积等。要注意，这道例题鼓励学生解决问题的思路与方法多样，不是要求他们一题多解，而是希望学生积累解决长、正方体表面积实际问题的经验，学会从实际问题出发，确定计算哪几个面的面积和。只要选择一种方法解决问题。练习二配合例4和例5的教学，习题的设计有两个特点。一是“实”，扎扎实实地练习表面积的意义和算法。尤其是第1、2两题，分别消化计算长方体表面积的两条基本思路与两种常用方法。二是“活”，灵活应用表面积的知识。解决的实际问题中，有些求5个面的面积，有些求4个面的面积，还有只求一组相对面的面积。教材为这些实际问题配了示意图，帮助学生直观感受实际问题涉及几个面、是哪几个面。第9题要求计算教室里的粉刷面积，要在四面墙壁和顶面的基础上去掉门窗的面积。第10题要求计算长方体火柴盒的内盒与外盒各用多少硬纸，要把测量长度和计算表面积结合起来。这两题都有利于培养学生的实践能力。(练一练的第1题编排在练习二的第6题，删除了关于台阶占地面积)（四） 实验、领悟-初步建立体积和容积的概念 “物体所占空间的大小叫作物体的体积”这句话虽然不长，却含有“空间”“物体占有空间”“空间有大小”等比较抽象的内涵。教材安排了比较丰富且有层次的感知活动，让学生初步感受体积的意义。1. 在有限的空间里领悟体积。对小学生来说，“空间”似乎看得见又好像看不见，似乎摸得着又好像摸不着，真是似懂非懂。教材从“有限”空间切入，逐步向“无限”空间扩展，有利于学生感受与体积有关的现象，积累关于体积的感性认识。教学过程设计成四步：第一步利用杯子里的有限空间，初步体会“空间”和“物体占有空间”。第二步是感受不同的物体占的空间有大、有小。第三步在“无限”空间里，继续体会每个物体都占有一定的空间。在这些感性认识的基础上，就能意义接受教材关于物体体积意义的描述，理解“物体所占空间的大小叫作物体的体积”这句话的含义。第四步是让学生举例，并比比列举的两个物体体积的大小。把抽象的概念具体化，引导学生自完整地说出“的体积比的体积大（小）”。还要联系物体解释什么是它的体积，如电冰箱的体积是它占有空间的大小，电冰箱的体积比电视机的体积大。2. 从体积引出容积，初步建立容积概念。容积与体积是两个既有联系、也有区别的概念。教学容积的意义要以体积概念为生长点，这是教材把体积和容积安排在连续的两道例题里教学的原因。教学一方面要以旧引新，另一方面要体现容积与体积是不同的概念。从“容器能够容纳物体”的事实，接受“容积”这个数学术语；从“有些容器容纳的物体大，有些容器容纳的物体小”，理解容积是容器“能够容纳的体积”。为了帮助学生建立容积概念，可以适当补充一些实例，让学生懂得“容器”，体会每个容器能容纳的体积是有限的、确定的。在充分感受的基础上，得出教材关于容积意义的描述。（五） 通过认识、应用，初步掌握常用的体积单位本单元教学的体积单位有立方厘米、立方分米、立方米。有了体积单位，就能测量、表达物体的体积，也能进一步体会体积的意义。1. 认识体积单位包括两方面内容。例8教学常用的体积单位，首先是测量、计量体积需要体积单位，然后是各个体积单位的具体含义。2. 掌握体积单位有两方面的要求。掌握体积单位，要能应用体积单位计量物体的体积。在这部分教材里，一是说出由1立方厘米小正方体摆成的物体的体积，二是为常见的物体选择合适的体积单位。练习三第9题要求为物体选择合适的体积单位。学生能不能填出合适的单位，一般决定于三个因素：一是对物体的熟悉程度，二是具有体积单位的正确表象，三是能够开展有效而周密的思考。如学生都熟悉西瓜，了解一个西瓜大致是多大，如果西瓜的体积是8立方厘米或者是8立方米，显然都不符合实际。所以，计量一个西瓜的体积，用立方分米这个单位比较恰当。反之，如果勉强学生为不熟悉的物体选择体积单位，他们只能脱离实际地乱猜，这是毫无意义的。教材里的橡皮、集装箱、水桶都以图画呈现，能够唤起学生对这些事物的回忆。他们联系现实生活里的这些物品，就能寻找到适当的体积单位。3. 进一步教学升与毫升。四年级（下册）曾经教学升与毫升，初步知道它们都是计量液体的单位，也是容器的容量单位。对1升、1毫升液体是多少有了初步的认识。现在教学升和毫升，主要有两个内容： 第一，升和毫升都是体积单位，用于计量液体的体积，也用于计量容器的容积。把升与毫升纳入体积单位的范畴，建立新的知识结构，是已有认识的深化和提高。第二，1升等于1立方分米，1毫升等于1立方厘米，利用1立方分米、1立方厘米的表象理解1升与1毫升的实际大小，使原有认识更清晰、更牢固。（六） 通过测量、发现，探索长方体和正方体的体积计算公式1. 让学生探索求积公式。长方体、正方体体积公式的教育价值不只是让学生知道公式和应用公式。如果把教学目标只是定位在记忆并按公式计算上，学生在这个内容学习中得到的发展是不充分的。其实，得出体积计算公式有许多教学活动可以开展，从中能加强对体积意义、体积单位的理解，能积累数学活动经验、提升数学思维水平、发展解决问题的策略，能培养探索精神、实践能力，还有利于形成积极的情感态度。因此，教材十分重视得出体积计算公式的过程，编排三道例题教学这部分内容。例9和例10通过摆学具、量体积，推导出长方体和正方体的体积计算公式。例11深入剖析长方体与正方体的体积公式，形成更加上位的认识与算法。写正方体体积的字母公式时，根据字母表示数的书写规则和人们的习惯，一般乘号省去不写，表示成Va3。字母公式中a3是新知识，它的写法、读法以及表示的意思都要对学生讲述清楚。 “练一练”第2题计算整数或小数的立方，是配合正方体体积计算的专项练习，解决正方体体积的实际问题，经常会遇到这样的式子。其中13、103、0.13要提醒学生特别注意，防止算错。2. 深入理解体积公式。学生经过操作实践，得到的长方体体积公式和正方体体积公式，进一步深入研究这两个体积计算公式，还能发现相同的内涵。体积公式“底面积高”，这本身就是一次认知的简化。而且，“底面积高”还是计算所有直柱体体积的方法。无论底面是直线图形的柱体，还是底面是曲线图形的柱体，体积公式都是VSh。前一点意义，在本单元的教学中就能体现；后一点意义，在以后的教学中会逐渐体现出来。配合例11的“练一练”第3题，已知一根长方体木料的长与横截面的边长，求这根木料的横截面面积和体积。“横截面”是首先出现的概念。教材利用示意图帮助学生理解横截面的含义。安排先算出横截面的面积，再求木料的体积，学生可以通过计算横截面的面积，进一步体验这个面的含义。这样，长方体和正方体的体积公式还能演变成“横截面面积长”或者“横截面面积棱长”，从而对体积计算有更加充实、更加丰富的体验。（七） 通过计算、类比，理解体积单位的进率1. 求两个同样大小的正方体的体积，发现和理解进率。2. 应用进率进行简单的换算。单元的整理与练习中第2题利用量杯测量形状不规则的土豆的体积。没有放土豆的量杯，水面在600毫升的刻度上；放了土豆的量杯，水面上升到800毫升刻度上。水面上升200毫升的原因是“土豆占有空间”，所以土豆的体积是200立方厘米。教学这道题要注意三点：一是让学生看懂图意，看清量杯水面位置的变化。二是让学生从物体占有空间的角度，解释量杯水面上升的原因，加强对体积意义的理解。三是计量量杯里的水的体积可以用毫升为单位，表示土豆体积应该用立方厘米为单位。第710题都比较复杂。首先是题意比较复杂，学生理解题意会有些难度。其次是解答过程比较复杂，设计解题步骤会有些难度。三是列算式和计算比较麻烦，得出正确结果不是很容易。为此，要重视学生的读题、说题，让他们自己读、反复读，直至读懂题目；让他们复述题意，把实际问题的内容（包括已知些什么、求什么）用自己的话说清楚。只有当实际问题正确且完整地进入短时记忆状态，才有可能顺利解题。要重视学生的独立思考和合作交流，让他们经过自己的努力和相互的启发，形成解题的思路与方案。要重视对解题结果的检验，对解题过程和方法的反思，在正确解题的同时，积累解决问题的经验。“探索与实践”求一张纸的体积。一张纸的长、宽可以测量，“厚”则很难量得。对小学生来说，这个“厚”是无法测量的。教材鼓励学生小组合作，具体想办法解决问题。如，选择若干张同样的纸，摆成一个长方体，先求得长方体的体积，再计算一张纸的体积；又如，把一张纸对折几次，折成一个能够测量长、宽、高的长方体，算出的长方体的体积，就是那张纸的体积。分数乘法本单元在分数的意义和性质、分数的加法和减法等基础上编排，教学分数乘法的知识。通过本单元的教学，学生将进一步理解分数的意义，扩展原来的乘法概念，掌握分数乘法的计算，并且为学习分数除法作充分的准备。分数乘法的知识主要有两块：一块是分数乘法的意义，另一块是分数乘法的计算。分数乘法是小学计算教学的重要内容。解决分数乘法的实际问题离不开计算，分数除法也要转化成分数乘法才能进行。本单元教材把分数乘法的意义与计算结合起来同步教学，一共编排7道例题，具体安排见下表：例1分数与整数相乘，求几个相同分数的和例2分数与整数相乘，求一个数的几分之几是多少例3求一个数的几分之几是多少的实际问题例4、例5分数乘分数，分数乘法的计算法则例6三个分数连乘例7倒数的知识单元整理与练习教材在编排上有以下特点。第一，以计算法则的教学为编排主线，把运算的意义、方法以及实际应用的教学有机结合在一起，优化了全单元的内容结构。乘法运算的范围从整、小数扩大到分数，其意义、算法以及实际应用都有较大的发展。因此，分数乘法的意义、计算法则、解决实际问题是本单元的三个重要内容。教材以计算为主线，在研究算法的过程中体会运算意义，通过运算概念的完善、发展，进一步理解算法；在解决实际问题的背景中教学计算知识，应用学到的算法解决实际问题。意义、法则、应用三方面的有机结合，优化了知识结构，能充分发挥教学的功能和价值。第二，知识发展线索清晰，前后联系紧密，各道例题的教学任务明确。先教学整数乘分数，后教学分数乘分数，符合简单到复杂的编排原则。而且，整数乘分数还能与整数乘法建立联系，应用整数乘法知识，为分数乘法的教学开好头。整数乘分数先是求几个相同分数的和，再是求整数的几分之几是多少。前者在运算意义上与整数乘法一致，算法是例1的重点。正由于运算意义和整数乘法一致，可以把整数乘分数转化成同分母分数相同，体会并得出整数乘分数的计算法则。后者在运算意义上有很大的扩展，乘法不仅能求几个相同加数连加的和，还能求一个数的几分之几是多少，这是例2的教学重点。而例2的算法，在前面已经解决了。分数乘分数先教学基础知识，再培养计算技能。例4和例5要把“求一个数的几分之几是多少”的认识迁移到分数乘分数，深入理解分数乘法的意义，还要解决分数乘分数的算法，并形成统摄分数乘整数、分数乘分数的计算法则。所以，这两道例题着重教学基础知识。例6教学分数连乘，巩固计算法则的同时，培养分子、分母交叉约分的技能。第三，编排“倒数”知识，为分数除法作准备。本次修订，进一步细化了重点、难点内容的认知线索，以便于教师更好的组织学生的探索活动。例如，简单的分数乘法实际问题的教学，提出问题后，教材首先要求学生“先涂色表示红花的朵数，再说说可以怎样计算”，引导学生在操作、思考与交流中理解10朵的1/2是多少，就是把10朵花平均分成2份，求其中的一份是多少，可以用102算出结果，接着告诉学生“求10朵的1/2是多少，可以用乘法计算，”这样，既清晰提示了具体的学习方法，又为学生留出了适当的探索空间，有利于学生有序、有效地开展学习和探索活动，增强课堂教学的实效性。教学建议1.引导学生利用已有的乘法知识和经验，建构新运算的意义与算法。例1的第（1）题通过涂色，体会数学问题是“求3个3/10是多少”，并在图上看到3朵绸花用的绸带是9/10米，从而激活已有的乘法概念以及同分母分数加法等知识。教材让学生探索分数乘整数的算法，把“分子相加、分母不变”加工成“分子与整数相乘、分母不变”，从而获得新的计算方法。学生在教材设计的方框里填数，经历了“分子相加”转化成“分子与整数相乘”的过程，也就实现了新的计算方法的主动建构。例1的第（2）题求做5朵这样的绸花一共要用绸带几分之几米，不再从分数加法过渡到分数乘法，而是直接列出乘法算式，并用分数乘整数的方法计算。这是把第（1）题的学习成果作为第（2）题的教学资源，有利于学生进一步体验应用分数乘整数解决相同分数连加的问题比较简便，巩固运算的意义与算法。“萝卜”卡通先按“分子和整数相乘，分母不变”计算，再把积约分化简，代表了多数学生的算法。“白菜”卡通告诉学生“可以先约分，再计算”。教材写出“分子与整数相乘，分母不变”的式子以后，先把整数与分母约分，然后相乘求出积的分子，得到的结果是最简分数。学生计算分数加、减法，总是先按照法则计算，最后才化简结果。这种习惯会带进分数乘法的计算里。其实，在分数乘法里“先约分、再相乘”，是为了计算简便，容易得出最简分数的积。教学应指导学生理解并喜欢这样的算法，因为这对下面继续教学分数乘法十分重要。“练一练”第1题，让学生在给定的长方形里涂色表示4个3/16，并计算43/16的积。把运算意义和计算方法有机结合，有加强概念和培养运算能力的作用。例2着重教学用分数乘法求一个数的几分之几是多少，创设的问题情境是10朵绸花的1/2是几朵？10朵绸花的2/5是几朵？这些问题在三年级初步认识分数时曾经解决过。那时的解题是通过分实物的操作活动和102、1052这些整数乘、除运算进行的。例2教学这些实际问题，目的是要应用分数乘法的知识进行解答，帮助学生形成“求一个数的几分之几是多少，可以用乘法计算”的认识，并且用来解决其他求一个数的几分之几是多少的问题。在教学例2之前，乘法只用于求几个相同加数的和；在教学例2以后，乘法还可以求一个数的几分之几是多少。这是乘法概念十分重要的扩展，例2的教学重点就在这里。为了帮助学生理解乘法的新含义，教材编写注意了三点：一是联系分数的意义体会分数乘法的含义。教材把10朵花平均分成2份，其中1份是红花，对10朵花的1/2作出具体而形象的解释。一方面让学生在体会“10朵的1/2”的意义时想到102这种算法，另一方面又利用102促进对10的1/2的理解。类似地，教学10朵的2/5时，利用把10朵花平均分成5份，其中2份是绿花的实物图，以及1052的计算，帮助学生体会10的2/5的含义。二是直接介绍新知识。教材说“求10朵的1/2是多少，可以用乘法计算”，并且写出算式101/2。还说“求10朵的2/5是多少，也可以用乘法计算”，列出了算式102/5。在这两个实例的基础上，引导学生概括出“求一个数的几分之几是多少，可以用乘法计算”这个结论，扩展了原来的乘法概念，使乘法有了新的应用领域。三是加强比较，沟通新旧算法的联系，帮助学生理解分数乘法。“豆荚”卡通提出的问题“101/2和102有什么联系？102/5和1052有什么联系？”引导学生体会101/2和102都是求10的1/2是多少，都是把10平均分成2份，求其中的一份是多少。两个算式虽然运算不同，意义却是一致的。同样，算式102/5和1052都是把10平均分成5份，求这样的2份是多少，都可以理解为求10的2/5是多少，它们也是算式不同、意义相同。2.沟通分数乘法和整数乘法之间的联系。练习五第69题配合例2安排。第6题的各个问题，都能根据数量关系“1瓶饮料的毫升数瓶数几瓶饮料的毫升数”列出算式，只是饮料瓶数有时是整数，有时是分数。当瓶数是整数时，求几个900毫升（1瓶饮料的净含量）是多少；当瓶数是分数时，求900毫升的几分之几是多少。这些内容既体现了分数乘法和整数乘法的不同，也反映了分数乘法与整数乘法有内在的一致性。应该在学生独立解题以后，组织他们比较几个问题的数量关系，解释列出的算式的意思，及时调整自己的认知结构。第9题通过“参加长跑的人数有关的倍数或分数=参加相应项目的人数”，把求一个数的几倍是多少和求一个数的几分之几是多少组织在一道题里，也有许多可以比较异同的内容，应该挖掘和利用。3.数形结合，关注数量关系，突破难点例3继续教学一步计算的实际问题。因为“比一个数多（少）几分之几”是较难理解的数量关系，而这样的关系又普遍存在于现实生活的实际问题里，人们经常会碰到，所以单独编排一道例题教学。解答例3的关键是理解红花比黄花“多1/10”、绿花比黄花“少2/5”的含义。求红花比黄花多多少朵、绿花比黄花少多少朵，虽然仍是一步计算的分数乘法问题，但数量关系比较难懂，这自然成为例题的教学重点。教材用条形图呈现三种颜色花的朵数，借助图的格子直观表达数量关系。表示黄花朵数的直条刚好是10格，表示红花朵数的直条比黄花多1格，形象地表达了“红花朵数比黄花多1/10”的含义。这个数量关系把黄花朵数作为单位“1”的数量，平均分成10份，红花比黄花多这样的1份。教材通过“玉米”卡通的提问，引导学生关注数量关系，明白红花比黄花多1/10的意思是“红花比黄花多黄花朵数的1/10”，或者解释为“红花比黄花多的朵数是黄花朵数的1/10”。从红花比黄花多50朵的1/10，得出求红花比黄花多多少朵就是求“50的1/10是多少”，从而列出算式501/10来解决问题。绿花朵数比黄花少2/5的含义，既要在条形图里看出，也要仿照红花的朵数比黄花多1/10那样分析、推理得出。在条形图里，表示绿花朵数的直条比黄花的直条少4格，少的格数正好是黄花（10格）的2/5，这表明绿花比黄花少的朵数是黄花朵数的2/5。在绿花比黄花少2/5这句话里，黄花朵数是作为单位“1”的数量，平均分成5份，绿花少这样的2份，这表明绿花比黄花少的朵数是50朵的2/5。教材要求学生提炼出求绿花比黄花少多少朵的数学问题，根据“50的2/5是多少”列式计算。练习五里的习题，十分重视引导学生理解一个数比另一个数多（少）几分之几的含义，因为这是分析数量关系的关键。第10题要求把一个数比另一个数多（少）几分之几的数量关系用数学式子表示，要求学生先说说各个分数的意义，再把数量关系式补充完整。如皮球的个数比足球多2/5，应该把足球个数看作单位“1”的数量，平均分成5份，皮球比足球多的个数相当于这样的2份。由此得出，皮球比足球多的个数是“足球个数2/5”，数量关系式很自然地形成了。数量关系式可以视为一种数学模型。从解题角度看数量关系式，它有助于列出算式或方程；从思维角度看数量关系式，它精简了文字叙述数量关系的语言，压缩了思维过程；从教学的角度看数量关系式，它能加深对概念的理解，及时暴露认知的偏差。如果学生对比一个数多（少）几分之几的理解不正确，一定会在写的数量关系式上表现出来。仍然以皮球个数比足球多2/5为例，如果写出“足球个数2/5皮球个数”则表明理解是错误的。解答第111/5题都要以正确的数量关系式为前提，教材编排这些问题的意图是很清楚的。4.引导学生开展推理，探索计算法则，体会算法的合理性。 例4和例5教学分数乘法的计算法则，分数乘分数的计算方法并不复杂，学生记住和应用算法也不难。但是，理解为什么可以分子相乘作积的分子、分母相乘作积的分母，却很不容易。教材编排两道例题教学分数乘分数，充分发挥图形直观的作用， 学生在例4中首次接触分数乘分数，需要感知它的意义和算法。例题先在长方形纸上涂色表示它的1/2，再画斜线分别表示1/2的1/4和1/2的3/4，让学生在直观图上体会数量关系，明白1/2的1/4和1/2的3/4都把1/2作为单位“1”，把1/2平均分成4份，表示这样的1份和3份。在理解数量关系的基础上列出算式，感悟运算的含义，同时借助直观看出结果。例题依次安排三项教学活动：第一项活动是分别说出两个长方形里画斜线部分各占1/2（涂色部分）的几分之几，引出新的数量关系。学生能够看出每个长方形里都把1/2平均分成4份，斜线画了其中的1份和3份，得出这样的1份是1/2的1/4，这样的3份是1/2的3/4，发展了对一个数的几分之几的认识。第二项活动根据1/2的1/4、1/2的3/4列出相应的算式。例题要求每个长方形里画斜线部分各是这张纸的几分之几，数学问题分别是1/2的1/4是多少、1/2的3/4是多少。根据初步的分数乘法概念，从“求一个数的几分之几是多少，用分数乘法计算”推理得出1/2的1/4可以用1/21/4计算，1/2的3/4可以用1/23/4计算。学生在写两道乘法算式时，体会“一个数”不仅可以是整数，而且可以是分数，这就进一步完善了分数乘法的概念。第三项活动从图画里看出两道算式的积。因为1/2的1/4是长方形纸的1/8，1/2的3/4是长方形纸的38，所以1/21/41/8、1/23/43/8。在看图写出积的过程中，初步感知分子相乘的得数是积的分子，分母相乘的得数是积的分母。例5继续研究分数乘分数的计算方法。教材直接给出两道算式2/31/5、2/34/5，还在两个长方形里涂色表示了2/3。第一项学习活动在长方形里画斜线，以得出两道算式的积。画斜线前应该先想乘法算式的意义。算式2/31/5是求2/3的1/5是多少，要把表示2/3的那个涂色部分平均分成5份，并用斜线画出其中的1份。这1份刚好占长方形的2/15，所以2/15就是2/31/5的积。类似地，2/34/5是求2/3的4/5是多少，要把表示2/3的涂色部分平均分成5份，用斜线画出其中的4份，由此得到2/34/5的积是8/15。第二项活动要求在教材里写出两道乘法算式的积，感受积的分子是两个乘数分子的乘积，积的分母是两个乘数分母的乘积。例4和例5都是教学分数乘分数的计算，它们的教学线索不同，学生的认知程度也不同。学生在例4中经历“看图写式求积”的过程，感受“分子相乘、分母相乘”的可能性；在例5中通过“看式画图求积”体验“分子相乘、分母相乘”的合理性。两道例题都让学生感受分数乘分数的算法，有助于他们形成计算法则。为了得出分数乘分数的计算法则，教材安排学生回顾例4、例5里的四道乘法算式以及相应的积，体会它们的共同特点：都是分数乘分数的乘法；两个乘数分子相乘的积刚好是积的分子，两个乘数分母相乘的积刚好是积的分母。于是归纳出分数乘分数的一般算法“用分子相乘的积作分子，分母相乘的积作分母”。 “练一练”是在得出了分数乘法计算法则以后进行的，但教材不希望学生用法则计算，而是要求他们结合图形直观，再次体会分数乘分数的意义与算法。例如，左图里的涂色部分是长方形的1/3，画斜线部分是涂色部分的1/4。求画斜线部分占长方形的几分之几，就是求1/3的1/4是多少。图形下面算式1/31/4的意义，可以理解为“求1/3的1/4是多少”，和画斜线部分的图意完全一致。在图形里能够看到，1/3的1/4是1/12，按法则计算1/31/4的得数也是1/12，这就又一次验证了计算法则的正确性。5掌握分数连乘的算法与技巧，培养运算能力例6主要教学分数连乘的算法以及交叉约分的技巧。教学分两段进行：先通过解决实际问题，引出分数连乘的算式；再示范分数连乘计算时的交叉约分，教学连乘的算法。例6用线段图表示数量关系，整理解题思路。先画一条线段表示一班做的绸花朵数，由于二班做的朵数是一班的8/9，所以把表示一班朵数的线段平均分成9份，便于画出表示二班朵数的线段。教材要求学生画表示三班做花的朵数，画的时候要分析“3”/4的意思，理解这里是把二班做的朵数看作单位“1”。通过画图就能很快知道应先算二班做的朵数。例题先分步列式解答，再列综合式解答。教学要以综合算式为主，因为在综合算式里要讲分数连乘的算法。关于分数连乘计算有两点内容：一是各个乘数的分子连乘的得数是积的分子，各个乘数的分母连乘的得数是积的分母。二是要尽量先约分，再相乘。就是说，要把分子、分母之间能够进行的约分都完成以后，相乘就简单了。两点内容学生都能接受，先充分地约分可能会不大适应。教学不必在为什么这样约分上纠缠，学生有计算结果应是最简分数的认识，能够理解计算过程中要尽可能地约分。教学要清楚地展示约分活动，如整数135和分母9之间的约分，分子8和分母4的约分。在“练一练”里还要指导不相邻的分子与分母的约分，如22/275/119/10中的分母27和分子9的约分，帮助学生逐渐掌握约分的技巧。6. 重视概念的形成以及对概念的准确把握。例7教学倒数的知识，为下单元的分数除法作准备。倒数的知识主要是两点： 一点是倒数的概念，另一点是求倒数的方法。前一点是基础知识，后一点是计算分数除法所需要的基本技能。建立倒数概念之后，求一个数的倒数就容易了。分数除法本单元在分数的意义和分数乘法的基础上编排，重点教学分数除法的知识。包括分数除法的计算法则；已知一个数的几分之几是多少，求这个数的实际问题；“比”的意义、性质，按比例分配等内容。本单元一共编排11道例题，具体安排见下表：例1分数除以整数例2、例3整数除以分数例4分数除以分数例5已知一个数的几分之几是多少，求这个数的实际问题例6分数连除、分数乘除混合运算例7、例8比的意义、比和除法的关系例9比的基本性质例10化简比例11按比例分配的实际问题单元整理与练习从编排来看第一，计算内容编排成两段： 一是计算法则，二是乘除两步计算。两段之间穿插解决实际问题，留出了巩固法则、形成计算能力的时空。第二，计算法则的教学编排细致，从分数除以整数到整数除以分数，再到分数除以分数，最后才形成包摄性强的法则。分数除法是转化成分数乘法计算的，转化的方法是乘除数的倒数，例1至例4都教学这样的转化。前两道例题在操作中开展形象思维，体会转化是合理的；后两道例题通过猜想与验证，理解转化是必然的。这样的编排循序渐进，使法则的教学不是被动接受，而是主动建构；不仅是形成知识技能，还是发展数学思考、培养解决问题策略的载体。第三、在分数除法里教学比的知识，是本单元教材的又一个亮点。（把分数除法和比合并成一个单元）小学数学把两个数的比看作这两个数相除。显然，在教学除法时可以安排比的教学。比与除法有关，除法与分数有关，那么比与分数应该也有联系。数学教学专家认为，分数和比的融合能够加强对分数的认识，从分数联想它能反映的比，丰富了分数的含义，扩展了解决分数问题的思路和途径。比的基本性质和分数基本性质很相似，利用分数性质可以约分或通分，利用比的性质可以化简比，其中的内在联系以及技能的相互对应，能够优化学生的认知结构，提高他们学习能力。第四，改进传统分数除法应用题的教学，也是本单元教材的亮点。联系分数乘法的意义，分析“已知一个数的几分之几是多少，求这个数”的实际问题的数量关系，很容易列方程解答。这就不再把分数乘法问题与分数除法问题作为两类完全不同的问题去识别，而是突出它们最本质的数量关系，作为同一数量关系的两种不同情况，分别列算式和列方程解答。这也就充分利用了数学的基础知识与基本方法，能够有效减轻学生的学习负担。教学建议1.在图画上平均分，从操作中感悟算法分数除以整数、整数除以分数，是分数除法中比较简单的两种情况。教材希望学生初步体会，分数除法可以通过被除数乘除数的倒数进行计算。为了有利于学生获得这种体会，例1到例3都选择可以操作的素材。例1用图画呈现4/5升果汁，让学生在图上把它平均分成2份，并算出结果。一部分学生在操作中看到4/5平均分成2份，每份是2/5，列出算式4/522/5。“蘑菇”卡通的思考代表了这部分学生的想法，它的“把4个1/5平均分成2份”清楚地解释了4/52的意思。另一部分学生在直观情境的支持下，得出把4/5平均分成2份，每份是4/5的1/2。“辣椒”卡通把这样的思考用式子的变换表示出来，就是4/524/51/2。显然，前一种算法与分数除法的计算法则有距离，后一种算法才是分数除法的一般算法。教学例1，要在学生独立探索的前提下，突出“辣椒”的算法。这是他们第一次感悟分数除法与分数乘法的联系，对本单元教学分数除法计算有定向作用。接着例1的“试一试”计算4/53。从表面上看，似乎只是把除数“2”变成“3”，其实它的计算里有很丰富的教学内容。如果采用上面提到的“蘑菇”卡通的算法，由于商的分子不是整数，无论是表示还是化简都很麻烦。如果采用4/51/3这种方法，能够很快得到结果。挖掘“试一试”的教学内容，要注意三点：一是让学生经历选择算法的过程，在具体的计算实践中体会例1的两种算法，只有一种适用“试一试”的题。二是让学生完成教材安排的填空，再次经历分数除以整数转化成分数乘分数的过程，并作出对转化的解释，更清楚地懂得把4/5平均分成3份，就是求4/5的1/3。三是让学生说说分数除以整数可以怎样计算，以进一步加强转化意识与方法。例2教学整数除以分数。这里的除数都是1/2、1/3、1/4等分子都是1的分数。选择这样的除数，是为了便于通过操作解决问题，感受整数除以分数的计算方法。这道例题的教学大致分三步进行：第一步是列出整数除以分数的算式。第二步是看图计算41/2，初步感悟算法。由于每人分1/2个，因此教材把4个橙子按1/2个、1/2个地画，一共画了8个1/2。一部分学生会像“番茄”卡通那样，从图画里看到可以分给8人，于是写出除法算式的商，即41/28（人）。另一部分学生会像“萝卜”卡通那样，从1个橙子分给2人，得出4个橙子可以分给428（人）。教学不能因得到问题的答案而停止，而要继续研究41/2的算法。由于41/2和42都是求4个橙子可以分给几人，得数都是8，所以它们能组成等式41/242。教材要求学生想一想“1/2和2有什么关系”，引导他们观察等式，研究等式从左边到右边的变化，初步发现整数除以分数可以变成这个整数乘分数的倒数。得到等式并看到变化是这一步教学的主要任务，一定要让学生明白等式是怎样得到的，以及等式所蕴含的数学内容。第三步通过画图操作，计算41/3和41/4。通过操作找出等式，思考“括号里的数与除数有什么关系”，引导他们继续关注分数除法改写成分数乘法的要领。2.验证猜想确认算法。例3仍然是整数除以分数。不过它的除数不是几分之一那样的分数，而是几分之几的分数。如果说例2是整数除以