人教A版选修45 1.2.2绝对值不等式的解法 课件（53张）.ppt

2 绝对值不等式的解法 自主预习 1 含绝对值不等式 x a的解法 1 x a a0 a 0 a 0 a x a 空集 x r x r且x 0 x a或x a 2 ax b c c 0 和 ax b c c 0 型不等式的解法 1 ax b c 2 ax b c c ax b c ax b c或ax b c 3 x a x b c和 x a x b c型不等式的三种解法 1 利用绝对值不等式的几何意义 2 利用x a 0 x b 0的解 将数轴分成三个区间 然后在每个区间上将原不等式转化为不含绝对值的不等式而解之 3 通过构造函数 利用函数图象 即时小测 1 若不等式 8x 9 7和不等式x2 ax b 0的解集相同 则a b 解析 由 8x 9 7得 2 x 所以 a 2 所以答案 2 不等式的解集是 解析 由知 0 解得0 x 2 答案 x 0 x 2 3 不等式 x 1 2 x的解集是 解析 当x 1时 原不等式可化为x 1 2 x 解得x 当x 1时 原不等式可化为 x 1 2 x 此不等式无解 综合上述 不等式 x 1 2 x的解集为答案 知识探究 探究点绝对值不等式的解法1 x 的几何意义是什么 提示 x 表示数轴上的点x到原点0的距离 2 x a x b a b 型的不等式如何来解 提示 可通过两边平方去绝对值符号的方法求解 归纳总结 1 x a x b 的几何意义数轴上的点x到点a b的距离之和 差 2 解含绝对值不等式的关键解含绝对值不等式的关键是去掉绝对值符号 转化为不含绝对值的不等式 3 f x 0 x2 a2的思想去掉绝对值符号 首先使f x g x 都有意义 典例 1 2016 承德高二检测 若不等式 8x 9 0的解集相同 则a b的值为 a a 8 b 10b a 4 b 9c a 1 b 9d a 1 b 22 对于x r 解不等式 2x 3 x 3 解题探究 1 8x 9 7的解集是什么 提示 2 典例2中不等式 2x 3 x 3等价于什么 提示 2x 3 x 3 2x 3 x 3 2x 3 x 3或2x 3 x 3 解析 1 选b 8x 9 0的解集相同 所以 2和是方程ax2 bx 2 0的两根 由根与系数的关系得 2 方法一 原不等式等价于 2x 3 x 3 即2x 3 x 3或2x 3 x 3 解得x 6或x 0 所以不等式的解集为 0 6 方法二 由题知解得x 6或x 0 所以不等式的解集为 0 6 方法技巧 含有一个绝对值号不等式的常见类型及其解法 1 形如 f x a a r 型不等式 当a 0时 f x a f x a或f x a 当a 0时 f x a f x 0 当aa f x 有意义即可 2 形如 f x g x 型不等式 f x g x f x g x 或f x g x 其中g x 可正也可负 3 形如aa 0 型不等式 af x 型不等式 f x f x f x 0 变式训练 1 不等式 5x x2 3 b x 1 x 2或3 x 6 c x 1 x 6 d x 2 x 3 解析 选b 不等式 5x x2 3或x 2 由 6 5x x2解得 1 x 6 综上知不等式 5x x2 6的解集为 x 1 x 2或3 x 6 2 解不等式 1c c 0 或 ax b 0 型不等式后逐一求解 也可利用分区讨论法分两种情况去掉绝对值符号 还可用平方法转化为不含绝对值的不等式 解析 方法一 原不等式等价于不等式组即解得 1 x 1或3 x 5 所以原不等式的解集为 x 1 x 1或3 x 5 方法二 原不等式可转化为 或 由 得3 x 5 由 得 1 x 1 所以原不等式的解集是 x 1 x 1或3 x 5 方法三 原不等式的解集就是1 x 2 2 9的解集 即解得所以 1 x 1或3 x 5 所以原不等式的解集是 x 1 x 1或3 x 5 类型二含有两个绝对值号不等式的解法 典例 2016 商丘高二检测 已知函数f x 2x 1 2x a 1 a 3时 求不等式f x 6的解集 2 若关于x的不等式f x a恒成立 求实数a的取值范围 解题探究 典例 1 如何去掉 2x 1 2x 3 6的绝对值符号 2 如何求f x 的最小值 提示 1 将x分成x x 和x 三种情况 通过分类讨论去掉绝对值 将原不等式等价转化为三个一元一次不等式组 解这些不等式组即可得到原不等式的解集 2 利用绝对值不等式性质 a b a b 求出 2x 1 2x a 的最小值 1 a 解析 1 当a 3时 f x 6为 2x 1 2x 3 6 等价于解得 x 2或 x 或 1 x 所以不等式f x 6的解集为 1 2 2 因为 2x 1 2x a 2x 1 2x a 1 a 所以a 1 a 解得a 即实数a取值范围 延伸探究 1 若将本例条件 f x 2x 1 2x a 换为 f x 2x 1 2x a 且f x a对任意x恒成立 求a的取值范围是什么 解析 因为 2x 1 2x a 2x 1 2x a 1 a 因为f x 所以a的取值范围是 2 本例条件不变 若f x 2x 4 的解集包含 1 2 求a的取值范围 解析 f x 2x 4 即 2x 4 2x 1 2x a 而 2x 4 2x 1 2x 4 2x 1 5 所以 2x a 5 得由条件得 解得 7 a 1 所以a的取值范围是 7 1 方法技巧 1 形如 f x g x 型不等式的解法此类问题的简单解法是利用平方法 即 f x g x f x 2 g x 2 f x g x f x g x 0 2 x a x b c x a x b c c 0 型不等式的解法 1 x a x b c x a x b c c 0 型不等式有三种解法 分区间 分类 讨论法 图象法和几何法 分区间讨论的方法具有普遍性 但较麻烦 几何法和图象法直观 但只适用于数据较简单的情况 2 零点分段法 的关键在于对绝对值代数意义的理解 即 x 也即x r x为非负数时 x 为x x为负数时 x 为 x 即x的相反数 3 x a x b c x a x b c c 0 型不等式的图象解法和画出函数f x x a x b c的图象是密切相关的 正确地画出其图象的关键是写出f x 的分段表达式 不妨设a b 于是f x 这种图象法的关键是合理构造函数 正确画出函数的图象 求出函数的零点 体现了函数与方程结合 数形结合的思想 变式训练 1 解不等式 x 1 x 1 3 解析 当x 1时 原不等式可化为 x 1 x 1 3 解得x 当 1 x 1时 原不等式可化为x 1 x 1 3 即2 3无解 当x 1时 原不等式可化为x 1 x 1 3解得x 综上所述 原不等式的解集是 x x 或x 2 已知函数f x x a x 3 a r 1 当a 1时 解不等式f x 1 2 若当x 0 3 时 f x 4 求a的取值范围 解析 1 当a 1时 不等式为 x 1 x 3 1 当x 3时 不等式化为 x 1 x 3 1 不等式不成立 当 3 x 1时 不等式化为 x 1 x 3 1 解得 x 1 当x 1时 不等式化为 x 1 x 3 1 不等式必成立 综上 不等式的解集为 2 当x 0 3 时 f x 4即 x a x 7 由此得a 7且a 2x 7 当x 0 3 时 2x 7的最小值为7 所以a的取值范围是 7 7 补偿训练 已知f x x 3 x 1 6 若不等式f x m 1的解集为r 求m的取值范围 解析 因为对任意x r f x m 1恒成立 f x x 3 x 1 6 3 x x 1 6 3 x x 1 6 4 6 2 于是有m 1 2 得m 3 即m的取值范围是 3 自我纠错绝对值不等式