2018-2019学年赣州市南康中学高一上学期期中数学试题（解析版）

2018-2019学年江西省赣州市南康中学高一上学期期中数学试题一、单选题1已知集合，则（ ）ABCD【答案】B【解析】由，由交集的定义，即可得到所求集合【详解】解：集合，由，可得则，故选：【点睛】本题考查集合的交集的求法，注意运用对数函数的性质，考查定义法解题，属于基础题2（ ）ABCD【答案】B【解析】直接由有理指数幂的运算性质求解即可【详解】解：故选：【点睛】本题考查了有理指数幂的化简求值，属于基础题3已知函数，则的值为（ ）ABC或D或【答案】A【解析】当时，当时， ，由此能求出的值【详解】解：函数，当时，解得；当时，解得，不成立综上，的值为故选：【点睛】本题考查函数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意函数性质的合理运用4设是函数的零点，且，则的值为（ ）A0B1C2D3【答案】B【解析】因为函数是单调递增函数，故，所以，故选B.5若函数（且）的图象与函数的图象关于直线对称，且，则（ ）A2BC3D4【答案】B【解析】 因为函数（ 且）的图象关于对称，所以函数与互为反函数，故.又，则，所以，故选B.6函数的值域是（ ）ABCD【答案】B【解析】设，当时，当时，函数的值域是，选B.7已知函数的定义域为，则函数的定义域为（ ）ABC D【答案】C【解析】由已知函数定义域，可得，求解分式不等式得答案【详解】解：函数的定义域为，由，得，则函数的定义域为故选：C【点睛】本题考查函数的定义域及其求法，是基础题8下列函数 ：；为奇函数的有（ ）A个B个C个D个【答案】B【解析】根据题意，依次分析四个所给函数的奇偶性，综合即可得答案【详解】解：根据题意，依次分析个函数：对于，其定义域为，不关于原点对称，不是奇函数；对于，有，解可得，即函数的定义域为，则，即函数为奇函数，对于，其定义域为R，有，即，即函数为奇函数；对于，若为无理数，则也为无理数，则，同理当为有理数时，也有，即函数为偶函数；则为奇函数；故选：【点睛】本题考查函数的奇偶性的判断，注意先分析函数的定义域9下列三个数的大小顺序是（ ）ABCD【答案】A【解析】利用对数运算性质可得：，根据即可得出【详解】解：，故选：【点睛】本题考查了指数函数与对数函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于基础题10汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1升汽油行驶的里程，下图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下的燃油效率情况. 下列叙述中正确的是（ ）A消耗1升汽油，乙车最多可行驶5千米B以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油最多C甲车以80千米/小时的速度行驶1小时，消耗10升汽油D某城市机动车最高限速80千米/小时. 相同条件下，在该市用丙车比用乙车更省油【答案】D【解析】【详解】解：对于A，由图象可知当速度大于40km/h时，乙车的燃油效率大于5km/L，当速度大于40km/h时，消耗1升汽油，乙车的行驶距离大于5km，故A错误；对于B，由图象可知当速度相同时，甲车的燃油效率最高，即当速度相同时，消耗1升汽油，甲车的行驶路程最远，以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油最少，故B错误；对于C，由图象可知当速度为80km/h时，甲车的燃油效率为10km/L，即甲车行驶10km时，耗油1升，故行驶1小时，路程为80km，燃油为8升，故C错误；对于D，由图象可知当速度小于80km/h时，丙车的燃油效率大于乙车的燃油效率，用丙车比用乙车更省油，故D正确故选D【考点】1、数学建模能力；2、阅读能力及化归思想.11高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一,享有“数学王子”的称号，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家,用其名字命名的“高斯函数”为:设，用表示不超过的最大整数,则称为高斯函数,例如:， ，已知函数，则函数的值域是（ ）ABCD【答案】D【解析】利用分离常数法可得,求得的值域, 由表示不超过的最大整数,即可求得函数的值域.【详解】 ，由于 的值域为: 根据表示不超过的最大整数 函数的值域是.故选:D.【点睛】本题主要考查新定义函数的理解和运用,考查分离常数法求函数的值域,考查化归与转化的数学思想方法.解题关键是在解答时要先充分理解的含义.12已知函数，若关于的方程有7个不同实数解则（ ）A且B且C且D且【答案】A【解析】作出函数的图象，令，由图象可知 有4个不等实根，时，有3个不相等的实数根，时无实根.题中原方程有且只有7个不等实根，即有两个实根，一根为0，另一根大于零，则，所以选A.【点睛】涉及较复杂复合型的方程的根的个数问题解决方法是换元法，令，先画出函数的图象，根据根的个数判断原方程的根应该有几个，每个根应在哪个区间？问题转化为一元二次方程的根的分布问题，利用一元二次方程的根的分布列不等式，求出参数的取值范围.二、填空题13已知幂函数过点，则函数的单调递增区间为_【答案】【解析】利用待定系数法求出幂函数的表达式，然后利用幂函数的性质确定函数的单调性【详解】解：设幂函数为，因为幂函数的图象过点，所以，解得，所以，所以幂函数的单调递增区间为故答案为：【点睛】本题主要考查幂函数的解析式的求法和幂函数的性质，利用待定系数法求出函数的解析式是解决本题的关键14已知是定义在上的偶函数，当时，则时，_【答案】【解析】根据题意，设，则，由函数的解析式可得的表达式，结合函数的奇偶性可得的解析式，即可得答案【详解】解：根据题意，设，则，又由函数为偶函数，则，则；故答案为：【点睛】本题考查函数奇偶性的性质与应用，涉及函数解析式的求法，属于基础题15已知，设函数的最大值为，最小值为，则的值为_【答案】【解析】设，因为是上的增函数，所以是上的增函数函数在上的最大值是，最小值是所以函数的最大值与最小值之和，由此能求出的值【详解】解：，设，则，即有，因为是上的增函数，所以是上的增函数函数在上的最小值是，最大值是所以函数的最大值与最小值之和【点睛】本题考查函数在闭区间上函数的最值，解题时要认真审题，注意函数性质的综合运用，属于中档题.16某学校为了加强学生数学核心素养的培养，锻炼学生自主探究学习的能力，他们以教材第82页第8题的函数为基本素材，研究该函数的相关性质，取得部分研究成果如下：同学甲发现：函数的定义域为；同学乙发现：函数是偶函数；同学丙发现：对于任意的都有；同学丁发现：对于任意的，都有；同学戊发现：对于函数定义域中任意的两个不同实数，总满足.其中所有正确研究成果的序号是_【答案】【解析】，故正确； ，奇函数，故错误；对于任意的，故正确；对于任意的，有，而，故正确；对于函数定义域中任意的两个不同实数，总满足，即说明是增函数，但是减函数，故错误，综上正确，故答案为.【 方法点睛】本题主要通过对多个命题真假的判断，主要综合考查函数的定义域、单调性、函数的奇偶性以及对数式的运算，属于难题.这种题型综合性较强，也是高考的命题热点，同学们往往因为某一处知识点掌握不好而导致“全盘皆输”，因此做这类题目更要细心、多读题，尽量挖掘出题目中的隐含条件，另外，要注意从简单的自己已经掌握的知识点入手，然后集中精力突破较难的命题.三、解答题17计算：（1）；（2）已知，求的值【答案】（1）；（2）1.【解析】（1）直接利用有理指数幂的运算性质求解；（2）直接利用对数的运算性质求解【详解】解：（1）；（2）由，得，【点睛】本题考查了有理指数幂的化简求值，考查了对数的运算性质，是基础题18已知三个集合：，（1）求；（2）已知求实数的取值范围【答案】（1）；（2）【解析】（1）解方程求出集合，计算；（2）根据，且，求出集合的元素特征，求出实数的取值范围【详解】解：（1），；（2），；又，；解得或，当时满足条件，当时不满足条件，舍去；所以实数的取值是【点睛】本题考查了集合的定义与运算问题，属于基础题题19已知函数 （1）判断函数的奇偶性和单调性；（2）当时，有，求的取值范围【答案】（1）见解析；（2）【解析】（1）先确定函数的定义域，再由与的关系，即可判断出奇偶性；再由指数函数的单调性即可判断出函数的单调性；（2）由（1）中函数的奇偶性可得 ，再由函数的单调性，即可得出结果.【详解】(1)函数的定义域为 ,所以为奇函数， 当时，单调递减，所以单调递增; 当时，单调递增，所以单调递增，综上所述函数增函数.(2)因为所以即,由(1)得为奇函数且是R上的增函数所以由得 ，即 ，解得综上得 所以的取值范围是.【点睛】本题主要考查函数的基本性质，判断函数的单调性只需借助基本初等函数的单调性即可，判断函数的奇偶性，需要结合定义处理，利用函数基本性质解不等式，也是常考内容，属于基础题型.20已知，函数（1）求函数的定义域；（2）求函数的最大值及此时的值【答案】（1）；（2）时，函数有最大值【解析】（1）由已知的定义域及复合函数的定义域的求解可知，解不等式可求（2）由已知可求，结合二次函数的性质可求函数的最值及相应的x【详解】解：（1），由题意可得，解可得，即函数的定义域；（2），设，则，而在单调递增，当，即时，函数有最大值【点睛】本题主要考查了对数函数的性质，二次函数闭区间上的最值求解，及复合函数的定义域的求解，本题中的函数的定义域是容易出错点21某种新产品投放市场的100天中，前40天价格呈直线上升，而后60天其价格呈直线下降，现统计出其中4天的价格如下表：时间第4天第32天第60天第90天价格（千元）2330227（1）写出价格关于时间的函数关系式；（表示投放市场的第天）；（2）销售量与时间的函数关系：，则该产品投放市场第几天销售额最高？最高为多少千元？【答案】（1）；（2）第天和第天，最高销售额为（千元）.【解析】试题分析：（1）直线上升或直线下降都是直线方程，利用直线方程两点式求出两段函数的解析式；（2）价格乘以销售量等于销售额，销售额是二次函数，利用二次函数的对称轴求出最大值.试题解析：（1）由题意，设同样设(2)设该产品的日销售额为此时当此时综上，销售额最高在第10天和第11天，最高销售额为808.5（千元）【考点】函数应用问题.【方法点晴】对函数应用问题的考查，常与二次函数、基本不等式及导数等知识交汇，以解答题为主要形式出现.对一次函数、二次函数模型的考查主要有以下两个命题角度：(1)单一考查一次函数或二次函数模型的建立及最值问题；(2)以分段函数的形式考查一次函数和二次函数.应用问题首要问题是阅读问题，将实际问题转化为函数问题来求最优解.22设二次函数满足下列条件：当时，的最小值为0，且成立；当时，恒成立.（1）求的解析式；（2）若对，不等式恒成立、求实数的取值范围；（3）求最大的实数，使得存在实数，只要当时，就有成立.【答案】（1）；（2）；（3）9.【解析】（1）由知函数图象的对称轴是，最小值为0，因此顶点为，这样函数解析式可写为，在不等式令得，从而有，由此可求得；（2）不等式化为，当时，应有，当，应有由此可得的取值范围；（3）由，即的图象与直线切于点，因此把的图象向右平移，就有一部分满足，由此可找到的最大值【详解】解：（1）由题意，函数