人教B版必修4 1.3.2.1 余弦函数的图象与性质 教案.doc

示范教案教学分析1上节刚刚学习了正弦函数的图象与性质，对于本节的学习，有两个内容：一是余弦函数的图象，二是余弦函数的性质我们可以完全类比正弦函数，只是作余弦函数图象时可通过平移的方法得到，这也是类比思想、数形结合思想、图象变换思想方法的应用2由于三角函数是刻画周期变化现象的重要数学模型，这也是三角函数不同于其他类型函数的最重要的地方，而且对于周期函数，只要认识清楚它在一个周期的区间上的性质，那么我们就会完全清楚它在整个定义域内的性质教材要求我们研究三角函数性质“就是要研究这类函数性质具有的共同特点”，这是对数学思考方向的一种引导3余弦函数性质的难点，在于函数周期性的正确理解与运用，以下的奇偶性，无论是由图象观察，还是由诱导公式进行证明，都很容易；单调性只要求由图象观察，不要求证明而余弦函数的最大值和最小值可以作为单调性的一个推论，只要注意引导学生利用周期进行正确归纳即可4教科书没有直接通过余弦线画余弦函数的图象主要是通过分析诱导公式cosxsin(x)，探索余弦函数与正弦函数之间的关系，给出余弦函数图象教学时应结合对诱导公式的分析，深刻理解正弦与余弦函数之间的关系，从而得出余弦函数的图象与性质三维目标1通过类比正弦函数图象的作图方法，会用几何法画出余弦函数的图象；通过诱导公式能用图象平移的方法得到余弦函数的图象2观察函数ycosx，x0,2的图象上，哪些点起着关键作用，并会用关键点画出函数ycosx在x0,2上的简图3通过类比、知识迁移的学习方法，提高探究新知的能力，并通过正弦函数和余弦函数的图象与性质的对比，理解两种函数的区别及内在联系重点难点教学重点：会通过平移得到余弦函数的图象，并会用五点法画出余弦函数的图象，由余弦函数得出余弦函数的性质教学难点：余弦函数性质的灵活运用课时安排1课时导入新课思路1.(直接导入)我们在研究了正弦函数的图象，你能类比正弦函数图象的作法作出余弦函数的图象吗？从学生画图象、观察图象入手，由此展开余弦函数性质的探究思路2.(复习导入)研究函数就是要讨论一些性质，ycosx是函数，我们当然也要探讨它的一些属性本节课，我们就来研究正弦函数、余弦函数最基本的几条性质请同学们回想一下，一般来说，我们是从哪些方面去研究一个函数的性质的呢(定义域、值域、奇偶性、周期性、单调性、最值)？然后逐一进行探究推进新课活动：先让学生充分思考、交流后再回答对回答正确的学生，教师可鼓励他按自己的思路继续探究；对找不到思考方向的学生，教师可参与到他们中去，并适时地给予点拨、指导在上一节中，要求学生不仅会画图，还要识图，这也是学生必须掌握的基本功因此在研究余弦函数图象与性质时，教师要引导学生充分挖掘余弦函数曲线或单位圆中的三角函数线，当然用多媒体课件来研究三角函数性质是最理想的因为单位圆中的三角函数线更直观地表现了三角函数中的自变量与函数值之间的关系，是研究三角函数性质的好工具用三角函数线研究三角函数的性质，体现了数形结合的思想方法，有利于我们从整体上把握有关性质对问题(1)学生不一定画准确，教师要求学生尽量画准确，能画出它们的变化趋势由诱导公式ycosxcos(x)sin(x)sin(x)可知，ycosx的图象就是函数ysin(x)的图象从而，余弦函数ycosx的图象可以通过将正弦曲线ysinx向左平移个单位长度得到(如图1所示)余弦函数ycosx的图象叫余弦曲线图1由图1可以看出，余弦曲线上有五个点起关键作用，这五个点是(0,1)，(，0)，(，1)，(，0)，(2，1)我们可以利用这五个点画出余弦函数的简图(如图2)图2教师引导学生类比正弦函数的性质学习，让学生观察余弦函数的图象，从定义域、值域、周期性、最大值与最小值、单调性、奇偶性这几个方面探究可完全放给学生自己探究，教师仅是适时地给予引导学生很容易得出余弦函数ycosx，xr具有以下主要性质：(1)定义域余弦函数的定义域是r.(2)值域余弦函数的值域是1,1当且仅当自变量x2k(kz)时，余弦函数ycosx取得最大值1；当且仅当x2k(kz)时，余弦函数取得最小值1.(3)周期性余弦函数是周期函数，它的最小正周期是2.由于余弦函数具有周期性，为了研究问题方便，我们可以选取任意一个x值，讨论余弦函数在区间x，x2上的性质，然后拓展到整个定义域(，)上(4)奇偶性余弦函数的图象关于y轴对称，即cos(x)cosx.余弦函数是偶函数这个变化情况可从下表及图象中直观地显示出来，教师可引导学生画图并列出下表：图3x0cosx10101类比正弦函数性质的探究，学生可能通过图象已经看出来了，在余弦曲线上也有其他的对称点和对称轴，如余弦曲线还关于直线x0，x等多条直线对称，余弦曲线还关于点(，0)等多个点对称，这是由它的周期性而来的教师可就此引导学生进一步探讨，以开阔学生的视野(5)单调性我们选取长度为2的区间，可以看出，当x由增大到0时，cosx的值由1增大到1，当x由0增大到时，cosx的值由1减小到1.因此，余弦函数在区间，0上递增，在区间0，上递减由余弦函数的周期性可知，余弦函数在每一个区间(2k1)，2k(kz)上都是递增的，在每一个区间2k，(2k1)(kz)上都是递减的所以这两类闭区间的每一个都是余弦函数的单调区间探究余弦函数的性质后，学生自然会拿它与正弦函数的性质进行比较一番，这种习惯很好比较最能澄清问题的本质属性，比较是最好的学习方法当我们仔细对比正弦函数、余弦函数性质后，会发现它们有很多共同之处我们不妨把两个图象中的直角坐标系都去掉，会发现它们其实都是同样形状的曲线所以它们的定义域相同，都为r.值域也相同，都是1,1最大值都是1，最小值都是1，只不过由于y轴放置的位置不同，使取得最大(或最小)值的时刻不同它们的周期相同，最小正周期都是2.它们的图象都是轴对称图形和中心对称图形，且都是以图象上函数值为零所对应的点为对称中心，以过最值点且垂直于x轴的直线为对称轴但是由于y轴的位置不同，对称中心及对称轴与x轴交点的横坐标也不同它们都不具备单调性，但都有单调区间，且都是增、减区间间隔出现也是由于y轴的位置改变，使增、减区间的位置有所不同也使奇偶性发生了改变由此可以看出，图象的平移变换对函数的性质会产生怎样的影响讨论结果：(1)(3)略例1画出函数ycosx1，xr的简图，并根据图象讨论函数的性质活动：课堂上可放手让学生自己去求，教师适时地指导、点拨、纠错并提示1对余弦函数的图象与性质的影响让学生进一步熟悉“五点法”作图，领悟图象作法的要领，最终达到熟练掌握从实际教学来看，“五点法”作图易学却难掌握，学生需练扎实的基本功可先让学生按“列表、描点、连线”三步来完成对学生出现的种种失误，教师不要着急，在学生操作中一一纠正，这对以后学习大有好处解：按五个关键点列表，描点画出图象(如图4所示)x02cosx10101cosx101210图4不难看出，函数ycosx1的主要性质有(如下表所示)函数ycosx1定义域r值域2,0奇偶性偶函数周期2单调性当x(2k1)，2(k1)(kz)时，函数是递增的；当x2k，(2k1)(kz)时，函数是递减的最大值与最小值当x2k(kz)时，最大值为0；当x(2k1)(kz)时，最小值为2点评：“五点法”是画正弦函数、余弦函数简图的基本方法，本例是最简单的变化本例的目的是让学生熟悉“五点法”如果是多媒体教学，要突破课件教学的互动性，多留给学生一些动手操作的时间，或者增加图象纠错的环节，效果将会更加令人满意，切不可教师画图学生看完成本例余弦后，学生从图象上就可以一目了然地说出函数的性质了这也让学生从中体会到了数形结合的好处.变式训练求下列函数的最大值或最小值：(1)y3cosx1；(2)y(cosx)23.解：(1)当cosx取最大值1时，y3cosx1取最小值2；当cosx取最小值1时，y3cosx1取最大值4.(2)当cosx时，y(cosx)23取得最小值3；当cosx1时，y(cosx)23取得最大值.例2利用三角函数的单调性，比较cos()与cos()的大小解：cos()coscos，cos()cos()cos.因为0cos，即cos()0，cos0)的最小正周期是，则_.答案：10例4判断下列函数的奇偶性：(1)ycosx2；(2)ysinxcosx.解：(1)把函数ycosx2记为f(x)cosx2.因为f(x)cos(x)2cosx2f(x)，对于xr该等式都成立，所以函数ycosx2是偶函数(2)把函数ysinxcosx记为f(x)sinxcosx.因为f(x)sin(x)cos(x)sinxcosxf(x)，对于xr这个等式都成立，所以函数ysinxcosx是奇函数.变式训练函数y1cosx的图象()a关于x轴对称 b关于y轴对称c关于原点对称 d关于直线x对称答案：b例5在给定的直角坐标系(如图5)中，作出函数f(x)cos(2x)在区间0，上的图象解：列表取点如下：x02x2f(x)1001描点连线作出函数f(x)cos(2x)在区间0，上的图象如图6. 图5 图6点评：本题按说难度不大，但学生得分率却不高，画图是学生较薄弱的环节1由学生回顾归纳并说出本节学习了哪些数学知识？学习了哪些数学思想方法？这节课我们研究了余弦函数的图象与性质通过对两个函数从定义域、值域、最值、奇偶性、周期性、增减性、对称性等几方面的的比较，加深了我们对这两个函数的理解同时也巩固了本节课所学的余弦函数的图象的画法及性质的理解，将我们所学内容很快地就纳入了已有的知识系统2进一步熟悉了数形结合的思想方法，转化与化归的思想方法，类比思想的方法及观察、归纳、特殊到一般的辩证统一的观点课本本节练习a组3,4,5.1本节教案设计的容量较大，指导思想是让学生在课堂上充分探究、大量活动作为函数的性质，从初中就开始学习，到高中学习幂、指数、对数函数后，对函数性质有了较深的认识这是高中所学的最后一个基本初等函数但由于以前所学的函数不是周期函数，所以理解较为容易，而正弦函数、余弦函数除具有以前所学函数的共性外，又有其特殊性，共性中包含特性，特性又离不开共性，这种普通性与特殊性的关系通过教学应让学生有所领悟2在学完余弦函数性质后，应着重引导学生比较正、余弦函数的性质的异同，以加深他们对两个函数的区别与联系的认识；让学生在同一坐标系中画出正弦、余弦函数的图象，在解题中突出数形结合思想较好地利用图象解决问题，这也是本节课主要强调的数学思想3学习正、余弦函数性质后，引导学生对过去所学的知识重新认识，例如cos(2)cos这个公式，以前我们只简单地把它看成一个诱导公式，现在我们认识到了它表明余弦函数的周期性，以提升学生的思维层次备用习题1函数ycosx，x，的值域是()a0,1 b1,1c0， d，12对于函数yf(x)下列命题中正确的是()a该函数的值域是1,1b当且仅当x2k(kz)时，函数取得最大值1c该函数是以为最小正周期的周期函数d当且仅当2kx2k(kz)时，f(x)03已知x，cosx，则m的取值范围是()am1 b33 d3m74或m14定义在r上的函数f(x)既是偶函数又是周期函数，若f(x)的最小正周期是，且当x0，时，f(x)sinx，则f()的值为()a b. c d.5定义在r上的函数f(x)满足f(x)f(x)及f(x)f(x)，则f(x)可以是()af(x)2sinx bf(x)2sin3xcf(x)2cosx df(x)2cos3x6已知函数y2cosx(0x1 000)的图象与直线y2围成一个封闭的平面图形，则这个封闭图形的面积是_7根据余弦函数的图象，求满足cos2x的x的集合参考答案：1a画出ycosx，x，的图象，从而得出y0,1，故选a.2d