人教B版必修4 1.3.1　正弦函数的图象与性质 教案.docVIP

示范教案教学分析研究函数的性质常常以图象直观为基础，这点学生已经有些经验，通过观察函数的图象，从图象的特征获得函数的性质是一个基本方法，这也是数形结合思想的应用正弦函数、余弦函数的教学也是如此先研究它们的图象，在此基础上再利用图象来研究它们的性质显然，加强数形结合是深入研究函数性质的基本要求由于三角函数是刻画周期变化现象的数学模型，这也是三角函数不同于其他类型函数的最重要的地方，而且对于周期函数，我们只要认识清楚它在一个周期的区间上的性质，那么它的性质也就完全清楚了研究三角函数性质“就是要研究这类函数具有的共同特点”，这是对数学思考方向的一种引导由于正弦线已经从“形”的角度描述了三角函数，因此利用单位圆中的三角函数线画正弦函数图象是一个自然的想法当然，我们还可以通过三角函数的定义、三角函数值之间的内在联系性等来作图，从画出的图形中观察得出五个关键点，得到“五点法”画正弦函数的简图在这里，教学过程一定要慢一些，让学生有一个形成正确概念的过程因此在小学里，度量角度使用的是角度制(六十进制)，现在用弧长度量(十进制)再转化为x轴上点的坐标(或向量的数量)实践证明，这个抽象过程对初学者来讲，有一定的难度另外要强调单位圆的教学，引领学生沿单位圆旅行，通过观察正弦函数线来认识正弦函数的性质正弦函数的性质部分是这一章的重点由单位圆中的三角函数线和正弦函数的图象，完全可让学生自己总结正弦函数的四条重要性质：定义域与值域、周期性、奇偶性和单调性要求学生在理解的基础上，强化记忆三维目标1通过实验演示，让学生经历图象画法的过程及方法，通过对图象的感知，形成正弦曲线的初步认识，进而探索正弦曲线准确的作法，养成善于发现、善于探究的良好习惯2通过本节学习，理解正弦函数图象的画法借助图象变换，了解函数之间的内在联系通过三角函数图象的三种画法：描点法、几何法、五点法，体会用“五点法”作图给我们学习带来的好处，并会熟练地画出一些较简单的函数图象进一步掌握三角函数图象各种变换的内在联系3通过本节的学习，渗透由抽象到具体的思想，加深数形结合思想的认识，理解动与静的辩证关系，树立科学的辩证唯物主义观重点难点教学重点：正弦函数的图象教学难点：将单位圆中的正弦线通过平移转化为正弦函数图象上的点课时安排3课时第一课时导入新课思路1.(复习导入)遇到一个新的函数，非常自然的是画出它的图象，观察图象的形状，看看有什么特殊点，并借助图象研究它的性质，如：值域、单调性、奇偶性、最大值与最小值等我们也很自然的想知道ysinx的图象是怎样的呢？回忆我们在必修1中学过的指数函数、对数函数的图象是什么？是如何画出它们图象的(列表描点法：列表、描点、连线)？进而引导学生通过取值，画出当x0,2时，ysinx的图象思路2.(情境导入)请学生动手做一做章头图表示的“简谐运动”实验教师指导学生将塑料瓶底部扎一个小孔做成一个漏斗，再挂在架子上，就做成了一个简易单摆在漏斗下方放一块纸板，板的中间画一条直线作为坐标系的横轴把漏斗灌上沙并拉离平衡位置，放手使它摆动，同时匀速拉动纸板，这样就可在纸板上得到一条曲线，它就是简谐运动的图象物理中把简谐运动的图象叫作“正弦曲线”它表示了漏斗对平衡位置的位移s(纵坐标)随时间t(横坐标)变化的情况有了上述实验，你对正弦函数的图象是否有了一个直观的印象？画函数的图象，最基本的方法是我们以前熟知的列表描点法，但不够精确下面我们利用正弦线画出比较精确的正弦函数图象推进新课(1)作正弦函数图象的各点的纵坐标都是查三角函数表得到的数值，由于对一般角的三角函数值都是近似值，不易描出对应点的精确位置.我们如何得到任意角的三角函数值并用线段长(或用有向线段数值)表示x角的三角函数值？怎样得到函数图象上点的两个坐标的准确数据呢？简单地说，就是如何得到ysinx，x0，2的精确图象呢？(2)如何得到ysinx，xr时的图象？活动：教师先让学生阅读教材、思考讨论，先引导学生弄清什么是角的正弦线此处的难点在于为什么要用正弦线来作正弦函数的图象，怎样在x轴上标横坐标？为什么将单位圆分成12份？学生思考探索仍不得要领时，教师可进行适时的点拨只要解决了ysinx，x0,2的图象，就很容易得到ysinx，xr时的图象了对问题(1)，第一步，可以想象把单位圆圆周剪开并12等分(教材中的说明中强调“所分的等份越细，画出的图象越精确”)，再把x轴上从0到2这一段分成12等份由于单位圆周长是2，这样就解决了横坐标问题过o1上的各分点作x轴的垂线，就可以得到对应于0、2等角的正弦线，这样就解决了纵坐标问题(相当于“列表”)第二步，把角x的正弦线向右平移，使它的起点与x轴上的点x重合，这就得到了函数对(x，y)(相当于“描点”)第三步，再把这些正弦线的终点用平滑曲线连接起来，我们就得到函数ysinx在0,2上的一段光滑曲线(相当于“连线”)如图1所示(这一过程用课件演示，让学生仔细观察怎样平移和连线过程然后让学生动手作图，形成对正弦函数图象的感知)这是本节的难点，教师要和学生共同探讨图1对问题(2)，因为终边相同的角有相同的三角函数值，所以函数ysinx在x2k，2(k1)，kz且k0上的图象与函数ysinx在x0,2上的图象的形状完全一致，只是位置不同于是我们只要将函数ysinx，x0,2的图象向左、右平行移动(每次2个单位长度)，就可以得到正弦函数ysinx，xr的图象(这一过程用课件处理，让同学们仔细观察整个图的形成过程，感知周期性)图2讨论结果：(1)利用正弦线，通过等分单位圆及平移即可得到ysinx，x0,2的图象(2)左、右平移，每次2个长度单位即可问题：用以上方法作图，虽然精确，但不太实用，自然我们想寻求快捷地画出正弦函数图象的方法.你认为哪些点是关键性的点？活动：对此问题，教师可引导学生从图象的整体入手观察正弦函数的图象，发现在0,2上有五个点起关键作用，只要描出这五个点后，函数ysinx在0,2上的图象的形状就基本上确定了这五点如下：(0,0)，(，1)，(，0)，(，1)，(2，0)因此，在精确度要求不太高时，我们常常先找出这五个关键点，然后用光滑的曲线将它们连接起来，就可快速得到函数的简图今后，我们作正弦函数的简图，一般都是先找出确定图象形状的关键的五个点，然后在描点作图时要注意到，被这五个点分隔的区间上函数变化情况，在x0，2附近函数增加或下降快一些，曲线“陡”一些，在x，附近，函数变化慢一些，曲线变得“平缓”这种作图方法叫做五点法在精确度要求不高的情况下，我们常用“五点法”作ysinx在0,2上的近似曲线讨论结果：略例 1用五点法画出下列函数在区间0,2上的简图(1)ysinx；(2)y1sinx.活动：本例的目的是让学生会用“五点法”画图，并通过独立完成课后练习1领悟画正弦函数图象的要领，最终达到熟练掌握从实际教学来看，“五点法”画图易学却难掌握，学生需练好扎实的基本功可先让学生按“列表、描点、连线”三步来完成对学生出现的种种失误，教师不要着急，在学生操作中指导一一纠正，这对以后学习大有好处解：(1)按五个关键点列表：x02ysinx01010ysinx01010描点并将它们用光滑的曲线连接起来(图3)图3 (2)按五个关键点列表：x02sinx010101sinx12101描点并将它们用光滑的曲线连接起来(图4)图4点评：“五点法”是画正弦函数简图的基本方法，本例是最简单的变化本例的目的是让学生熟悉“五点法”如果用多媒体教学，要突破课件教学的互动性，多留给学生一些动手操作的时间，或者增加图象纠错的环节，效果将会令人满意，切不可教师画图学生看2画出函数y|sinx|，xr的简图活动：教师引导学生观察探究ysinx的图象并思考|sinx|的意义，发现只要将其x轴下方的图象翻上去即可进一步探究发现，只要画出y|sinx|，x0，的图象，然后左、右平移(每次个单位)就可以得到y|sinx|，xr的图象让学生尝试寻找在0，上哪些点起关键作用，易看出起关键作用的点有三个：(0,0)，(，1)，(，0)然后列表、描点、连线，让学生自己独立操作完成，对其失误的地方再予以一一纠正解：按三个关键点列表：x0sinx010y|sinx|010描点并将它们用光滑的曲线连接起来(图5)图5点评：通过本例，让学生更深刻地理解正弦曲线及“五点法”画图的要义，并进一步从图象变换的角度认识函数之间的关系，也为下一步将要学习的周期打下伏笔.变式训练1方程sinx的根的个数为()a7b8c9 d10解析：这是一个超越方程，无法直接求解，可引导学生考虑数形结合的思想方法，将其转化为函数y的图象与ysinx的图象的交点个数问题，借助图形直观求解解好本题的关键是正确地画出正弦函数的图象如图6，从图中可看出，两个图象有7个交点图6答案：a2用五点法作函数y2sin2x的图象时，首先应描出的五点横坐标可以是 ()a0，2 b0，c0，2，3，4 d0，答案：b以提问的方式，先由学生反思学习内容并回答，教师再作补充完善1单位圆中圆心角的弧度数与正弦线的数量是如何组成图象上点坐标的？2为什么将单位圆圆周12等分？有什么好处？3怎样利用“周而复始”的特点，把区间0,2上的图象扩展到整个定义域的？这节课学习了正弦函数图象的画法除了代数描点法、几何描点法之外，“五点法”作图是比较方便、实用的方法，应熟练掌握数形结合思想、运动变化观点都是学习本课内容的重要思想方法课本本节练习b组1、2.1本节课操作性强，学生活动量较大新课从实验演示入手，形成图象的感知后，探索正弦曲线准确的作法，形成理性认识问题设置层层深入，引导学生发现问题，解决问题，并对方法进行归纳总结，体现了新课标“以学生为主体，教师为主导”的课堂教学理念如用多媒体课件，则可生动地表现出函数图象的变化过程，更好地突破难点2本节课所画的图象较多，能迅速准确地画出函数图象对初学者来说是一个较高的要求，重在学生动手操作，不要怕学生出错通过画图可以培养学生的动手能力，尤其是“五点法”，每个点都要准确地找到，然后迅速画出图象3本小节教案的设计思想是让学生亲自动手操作，因此教师一定要放慢一些，让学生有一个形成正确概念的过程教材课后还设置了计算机上的练习等拓展性栏目教学时，应留给学生一定的时间去思考、探究这些问题一、备用习题1用“五点法”画出下列函数的图象：(1)y2sinx，x0,2；(2)ysinx，x0,22如图7中的曲线对应的函数解析式是()图7ay|sinx| bysin|x|cysin|x| dy|sinx|参考答案：1解：按五个关键点列表如下：x02y2sinx21232ysinx在直角坐标系中描出这五个点，作出相应的函数图象，如下图所示(1)如图8.图8 (2)如图9.图92c二、潮汐与港口水深我国东汉时期的学者王充说过“涛之兴也，随月盛衰”唐代学者张若虚(约660年至约720年)在他的春江花月夜中，更有“春江潮水连海平，海上明月共潮生”这样的优美诗句古人把海水白天的上涨叫作“潮”，晚上的上涨叫作“汐”实际上，潮汐与月球、地球都有关系在月球万有引力的作用下，就地球的海面上的每一点而言，海水会随着地球本身的自转，大约在一天里经历两次上涨、两次降落由于潮汐与港口的水深有密切关系，任何一个港口的工作人员对此都十分重视，以便合理地加以利用例如，某港口工作人员在某年农历八月初一从0时至24时记录的时间t(h)与水深d(m)的关系如下：t03691215182124d57.552.557.552.55 (1)把上表中的九组对应值用直角坐标系中的九个点表示出来(如下图中实心圆点所示)，观察它们的位置关系，不难发现，我们可以选用正弦型函数d52.5sint，t0,24)来近似地描述这个港口这一天的水深d与时间t的关系，并画出简图(如图10)图10由此图或利用科学计算器，可以得到t取其他整数时d的近似值，从而把上表细化(2)利用这个函数及其简图，例如这一年农历八月初二或九月初一，假设有一条货船的吃水深度(即船底与水面的距离)为4 m，安全条例规定至少要有1.5 m的安全间隙(即船底与水底的距离)，那么根据5.5d7.5，就可以近似得到此船何时能进入港口和在港口能逗留多久如果此船从凌晨2时开始卸货，吃水深度由于船减少了载重而按0.3 m/h的速度递减，还可以近似得到卸货必须在什么时间前停止才能将船驶向较深的某目标水域不同的日子，潮汐的时刻和大小是不同的农历初一和十五涨的是大潮，尤以八月十五中秋为甚以上的估算必须结合其他数据一起考虑，才能加以科学利用第二课时导入新课思路1.(类比导入)我们在研究一个函数的性质时，如幂函数、指数函数、对数函数的性质，往往通过它们的图象来研究本节可先让学生画出正弦函数的图象，从学生画图象、观察图象入手，由此展开正弦函数性质的探究思路2.(直接导入)研究函数就是要讨论函数的一些性质，ysinx是函数，我们当然也要探讨它们的一些性质本节课，我们就来研究正弦函数最基本的几条性质请同学们回想一下，一般来说，我们是从哪些方面去研究一个函数的性质的呢(定义域、值域、奇偶性、单调性、最值)？然后逐一进行探究推进新课(1)回忆并画出正弦曲线，观察它的形状及在坐标系中的位置；(2)观察正弦曲线，说出正弦函数的定义域是什么？(3)观察正弦曲线，说出正弦函数的值域是什么？由值域又能得到什么？(4)观察正弦曲线，函数值的变化有什么特点？(5)观察正弦曲线，它有哪些对称？图1活动：先让学生充分思考、讨论后再回答对回答正确的学生，教师可鼓励他们按自己的思路继续探究，对找不到思考方向的学生，教师可参与到他们中去，并适时地给予点拨、指导在上一节中，要求学生不仅会画图，还要识图，这也是学生必须熟练掌握的基本功因此，在研究正弦函数性质时，教师要引导学生充分挖掘正弦函数曲线或单位圆中的三角函数线，当然用多媒体课件来研究三角函数性质是最理想的，因为单位圆中的三角函数线更直观地表现了三角函数中的自变量与函数值之间的关系，是研究三角函数性质的好工具用三角函数线研究三角函数的性质，体现了数形结合的思想方法，有利于我们从整体上把握有关性质由于在三角函数定义一节中，我们已经探究出正弦函数的定义域是全体实数因此，教师引导学生观察图1，启发学生想想看，自己能发现正弦函数有哪些性质？让学生自己探究，教师给予适时地点拨(1)值域：从正弦线可以看出，正弦线的长度小于或等于单位圆半径的长度；从正弦曲线可以看出，正弦曲线分布在两条平行线y1和y1之间，这都表明|sinx|1，也就是说，正弦函数的值域是1,1当且仅当x2k(kz)时，正弦函数取得最大值1；当且仅当x2k(kz)时，正弦函数取得最小值1.(2)周期性：由诱导公式sin(x2k)sinx(kz)可知，当自变量x的值每增加或减少2的整数倍时，正弦函数的值重复出现在单位圆中，当角的终边绕原点转动回到原处时，正弦线的数量(长度和符号)不发生变化，以及正弦曲线连续不断无限延伸的形状都是这一性质的几何表示这种性质称为三角函数的周期性一般地，对于函数f(x)，如果存在一个非零常数t，使得定义域内的每一个x值，都满足f(xt)f(x)，那么函数f(x)就叫做周期函数，非零常数t叫做这个函数的周期根据这个定义，正弦函数ysinx是一个周期函数，2k(kz，且k0)都是它的周期对于一个周期函数f(x)，如果在它的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做它的最小正周期在2k(kz，且k0)中，最小的正数为2，因此正弦函数ysinx有最小正周期2.今后本书所涉及到的周期，如果不加特殊说明，均指最小正周期教师可再举例说明正弦函数的这种特性如：人的情绪、体力、智力都有周期性的变化现象，在日常生活和工作中，人们常常有这样的自我感觉，有的时候体力充沛，心情愉快，思维敏捷；有的时候却疲倦乏力，心灰意冷，反应迟钝；也有的时候思绪不稳，喜怒无常，烦躁不安，糊涂健忘，这些感觉呈周期性发生，贯穿人的一生，这就是人体节律这种有规律性的重复，我们称之为周期性现象又如，取一个钟表实际操作，我们发现钟表上的时针、分针和秒针每经过一周就会重复，这也是一种周期现象并指出，三角函数就是描述客观世界中周期性变化规律的重要数学模型，它有着广泛的实践意义和理论价值，是高考考查的重点内容(3)奇偶性：由诱导公式sin(x)sinx可知，正弦函数ysinx是奇函数，正弦曲线关于原点对称至此，一部分学生已经看出来了，在正弦曲线上还有其他的对称点和对称轴，如正弦曲线还关于直线x对称，等等这是由它的周期性而来的，教师可就此对学生进一步引导，为今后的学习打下伏笔(4)单调性：在正弦函数的一个周期中，如，由正弦线或正弦曲线都可以看出，当x由增加到时，sinx由1增加到1；当x由增大到时，sinx由1减小到1.这种变化情况如下表所示：x0sinx10101由正弦函数的周期性可知：正弦函数ysinx在每一个闭区间2k，2k(kz)上，都从1增大到1，是增函数；在每一个闭区间2k，2k(kz)上，都从1减小到1，是减函数讨论结果：(1)略；(2)定义域为r.(3)值域为1,1，最大值是1，最小值是1.(4)周期性，单调性(5)奇偶性(奇函数)思路1例 1设sinxt3，xr，求t的取值范围活动：教师引导学生回顾正弦函数值域并指出这也是正弦函数的有界性可由学生自己独立完成解：因为1sinx1，所以1t31.由此解得2t4.例 2函数y3sin2x，xr有最大值、最小值吗？如果有，请写出取最大值、最小值时的自变量x的集合，并说出最大值、最小值分别是什么解：令z2x，使函数y3sinz，zr取得最大值的z的集合是z|z2k，kz，由2xz2k，得xk.因此使函数y3sin2x，xr取得最大值的x的集合是x|xk，kz同理，使函数y3sin2x，xr取得最小值的x的集合是x|xk，kz函数y3sin2x，xr的最大值是3，最小值是3.点评：以前我们求过最值，本例也是求最值，但这里最值对应的自变量x的值却不唯一，这从正弦函数的周期性容易得到解释求解本例的基本依据是正弦函数的最大(小)值的性质，对于形如yasin(x)b的函数，一般通过变量代换(如设zx化归为yasinzb的形式)，然后进行求解这种思想对于利用正弦函数的其他性质解决问题时也适用变式训练求使下列函数取得最大值和最小值的x的取值范围，并说出最大值和最小值是什么：(1)ysin2x；(2)ysinx2；(3)y(sinx1)22.解：(1)当2x2k(kz)，即xk(kz)时，函数ysin2x取得最大值，最大值是1；当2x2k(kz)，即xk(kz)时，函数ysin2x取得最小值，最小值1.(2)由于函数ysinx与函数ysinx2同时取得最大值或同时取得最小值，因此：当x2k(kz)时，函数ysinx2取得最大值，最大值为3；当x2k(kz)时，函数ysinx2取得最小值，最小值为1.(3)设tsinx，则有y(t1)22，且t1,1，于是问题就变成求闭区间上二次函数的最大值和最小值问题了在闭区间1,1上，当t1时，|t1|最大，函数y(t1)22取得最大值(11)226.由tsinx1，得x2k(kz)，这就是说，当x2k(kz)时，函数y(sinx1)22取得最大值6.在闭区间1,1上，当t1时，|t1|最小，函数y(t1)22取得最小值，最小值为2.由tsinx1，得x2k(kz)，这就是说，当x2k(kz)时，函数y(sinx1)22取得最小值2.例 3利用三角函数的单调性，比较sin()与sin()的大小解：因为sin()点评：推进本例时应提醒学生注意，在今后遇到的三角函数值大小比较时，必须将已知角化到同一个单调区间内，其次要注意首先大致地判断一下有没有符号不同的情况，以便快速解题.变式训练不通过求值，指出下列各式大于零还是小于零：(1)sin()sin()；(2)sin()sin()解：(1)因为，且函数ysinx在区间，上是增函数，所以sin()0；(2)sin()sinsinsin()sin，sin()sinsin，因为0，且ysinx在0，上是增函数，所以sinsin，sin()sin()，即sin()sin()0，xr)的周期t，下一节我们还将进一步研究这类函数的性质.变式训练1函数ysin(2x)图象的对称轴方程可能是()axbxcx dx答案：d2求函数y2sin(x)的周期解：因为y2sin(x)2sin(x)，根据上例可得周期t6.由学生回顾归纳并说出本节学习了哪些数学知识，学习了哪些数学思想方法这节课我们研究了正弦函数的性质重点是掌握正弦函数的性质，通过对正弦函数从定义域、值域、最值、奇偶性、周期性、增减性、对称性等几方面的研究，更加深了我们对这个函数的理解同时也巩固了上节课所学的正弦函数的图象的画法课本本节练习a组4、5.1本节是三角函数的重点内容，设计的容量较大，指导思想是让学生在课堂上充分探究、大量活动作为函数的性质，从初中就开始学习，到高中学习了幂函数、指数、对数函数后有了较深的认识，这是高中所学的最后一个基本初等函数但由于以前所学的函数不是周期函数，所以理解较为容易，而正弦函数除具有以前所学函数的共性外，又有其特殊性，共性中包含特性，特性又离不开共性，这种普通性与特殊性的关系通过教学应让学生有所领悟2在解题中突出数形结合思想，在训练中降低变化技巧的难度，加大应用图象与性质解题的力度较好地利用图象解决问题，这也是本节课主要强调的数学思想方法3学习三角函数的性质后，引导学生对过去所学的知识重新认识，例如sin(2)sin这个公式，以前我们只简单地把它看成一个诱导公式，现在我们认识到了，它表明正弦函数的周期性，以提升学生的思维层次备用习题1函数ysin(2x)的单调增区间是()a2k，2k(kz) b4k，4k(kz)ck，k(kz) dk，k(kz)2满足sin(x)的x的集合是()ax|2kx2k，kzbx|2kx2k，kzcx|2kx2k，kzdx|2kx2k，kzx|2kx(2k1)，kz3若f(x)xcos(x)m(xr)是奇函数，则实数m的值为_4求函数ylgsinx的定义域和值域5已知函数yf(x)的定义域是0，求函数f(sin2x)的定义域参考答案：1d2.a3.4解：由题意得sinx0，2kx(2k1)，kz.又00时)向左或(当0且1)的图象，可以看作是把ysinx(xr)上所有的点的横坐标缩短(当1时)或伸长(当00，0)一个周期的图象如图7所示，求函数的解析式图7解：根据“五点法”的作图规律，认清图象中的一些已知点属于五点法中的哪一点，而选择对应的方程xi0，2(i1,2,3,4,5)，得出的值方法一：由图知a2，t3，由3，得，y2sin(x)由“五点法”知，第一个零点为(，0)，0，故y2sin(x)方法二：得到y2sin(x)同方法一由图象并结合“五点法”可知，(，0)为第一个零点，(，0)为第二个零点.y2sin(x)点评：要熟记判断“第一点”和“第二点”的方法，然后再利用x10或x2求出.2.函数f(x)x3sinx1(xr)，若f(a)2，则f(a)的值为()a3 b0 c1 d2答案：b3将函数ysin(x)的图象f向右平移个单位长度得到图象f，若f的一条对称轴是直线x，则的一个可能取值是()a. b c. d答案：a1由学生自己回顾本节学习的数学知识：函数yasin(x)的图象变