人教A版必修二 4.1.2圆的一般方程 课件（22张）.ppt

4 1 2圆的一般方程 一 二 一 圆的一般方程 问题思考 1 圆的标准方程 x a 2 y b 2 r2 r 0 展开可得到一个什么式子 提示 x2 y2 2ax 2by a2 b2 r2 0 2 把x2 y2 dx ey f 0配方后 将得到怎样的方程 这个方程是不是就一定表示圆 一 二 4 做一做 1 圆x2 y2 6x 0的圆心坐标是 答案 3 0 2 若方程x2 y2 dx ey f 0表示以 2 4 为圆心 以4为半径的圆 则f 答案 4 一 二 二 由圆的一般方程判断点与圆的位置关系及与圆有关的轨迹问题 问题思考 1 已知点m x0 y0 和圆的方程x2 y2 dx ey f 0 d2 e2 4f 0 则其位置关系如何判断 2 填空 点m的坐标 x y 满足的关系式称为点m的轨迹方程 求符合某种条件的动点m的轨迹方程 实质上就是利用题设中的几何条件 通过 坐标化 将其转化为关于变量x y之间的方程 思考辨析判断下列说法是否正确 正确的在后面的括号内画 错误的画 1 方程x2 y2 dx ey f 0表示圆 2 利用圆的一般方程无法判断点与圆的位置关系 3 圆的标准方程与一般方程可以相互转化 4 利用待定系数法求圆的一般方程 需要三个独立的条件 答案 1 2 3 4 探究一 探究二 探究三 思维辨析 圆的一般方程的概念 例1 判断方程x2 y2 4mx 2my 20m 20 0能否表示圆 若能表示圆 求出圆心和半径 思路分析 解答本题可直接利用d2 e2 4f 0是否成立来判断 也可把左端配方 看右端是否为大于零的常数 解法一由方程x2 y2 4mx 2my 20m 20 0可知d 4m e 2m f 20m 20 d2 e2 4f 16m2 4m2 80m 80 20 m 2 2 因此 当m 2时 它表示一个点 当m 2时 原方程表示圆 此时 圆的圆心为 2m m 探究一 探究二 探究三 思维辨析 解法二原方程可化为 x 2m 2 y m 2 5 m 2 2 因此 当m 2时 它表示一个点 当m 2时 原方程表示圆 此时 圆的圆心为 2m m 反思感悟任何一个圆的方程都可化为x2 y2 dx ey f 0的形式 但形如x2 y2 dx ey f 0的方程不一定表示圆 判断它是否表示圆可以有以下两种方法 1 计算d2 e2 4f 若其值为正 则表示圆 若其值为0 则表示一个点 若其值为负 则不表示任何图形 探究一 探究二 探究三 思维辨析 变式训练1若x2 y2 2x y k 0是圆的方程 则实数k的取值范围是 探究一 探究二 探究三 思维辨析 求圆的一般方程 例2 已知 abc的三个顶点为a 1 4 b 2 3 c 4 5 求 abc的外接圆方程 外心坐标和外接圆半径 思路分析 设出圆的方程 将各点坐标代入方程列方程组求解 解法一设 abc的外接圆方程为x2 y2 dx ey f 0 a b c在圆上 abc的外接圆方程为x2 y2 2x 2y 23 0 即 x 1 2 y 1 2 25 外心坐标为 1 1 外接圆半径为5 探究一 探究二 探究三 思维辨析 解法二设 abc的外接圆方程为 x a 2 y b 2 r2 a b c在圆上 即外接圆的圆心为 1 1 半径为5 圆的标准方程为 x 1 2 y 1 2 25 展开易得其一般方程为x2 y2 2x 2y 23 0 探究一 探究二 探究三 思维辨析 反思感悟求圆的方程时 如果由已知条件容易求得圆心坐标 半径或需利用圆心的坐标或半径列方程的问题 一般采用圆的标准方程 再用待定系数法求出a b r 如果已知条件与圆心和半径都无直接关系 一般采用圆的一般方程 再用待定系数法求出常数d e f 实际上 本题也可以先求出线段ab ac的垂直平分线方程 再求出它们的交点 即为圆心 并求出半径 探究一 探究二 探究三 思维辨析 变式训练2圆心在直线y x上 且过点a 1 1 b 3 1 的圆的一般方程是 探究一 探究二 探究三 思维辨析 求动点的轨迹方程 例3 已知等腰三角形的顶点是a 4 2 底边一个端点是b 3 5 求另一个端点c的轨迹方程 并说明它的轨迹是什么图形 思路分析 设出点c的坐标 根据 ab ac 列出方程并化简 解 设另一端点c的坐标为 x y 依题意 得 ac ab 由两点间距离公式 得 整理 得 x 4 2 y 2 2 10 这是以点a 4 2 为圆心 以为半径的圆 如图所示 又因为a b c为三角形的三个顶点 所以a b c三点不共线 即点b c不能重合 探究一 探究二 探究三 思维辨析 反思感悟求动点的轨迹方程的常用方法1 直接法 能直接根据题目提供的条件列出方程 2 代入法 找到所求动点与已知动点的关系 代入已知动点所在的方程 探究一 探究二 探究三 思维辨析 求本例中线段ac中点m的轨迹方程 解 设m x y 又a 4 2 m为线段ac的中点 c 2x 4 2y 2 点c在圆 x 4 2 y 2 2 10 x 3 且x 5 上 2x 4 4 2 2y 2 2 2 10 探究一 探究二 探究三 思维辨析 忽略了二元二次方程表示圆的条件而致误 典例 已知点a a 2 在圆x2 y2 2ax 3y a2 a 0的外部 求a的取值范围 错解 因为点a a 2 在圆的外部 所以a2 4 2a2 3 2 a2 a 0 解得a 2 故所求a的取值范围为 2 提示 以上解题过程中都有哪些错误 出错的原因是什么 你如何改正 如何防范 上述解法的错误在于忘记判断二元二次方程表示圆的条件 探究一 探究二 探究三 思维辨析 正解 因为点a在圆的外部 防范措施对于二元二次方程x2 y2 dx ey f 0只有在d2 e2 4f 0的前提下 它才表示圆 故求解本题在判定出点与圆的位置关系后 要验证所求参数的范围是否满足d2 e2 4f 0 探究一 探究二 探究三 思维辨析 变式训练已知点 1 1 在圆x2 y2 ax 2y 4 0的内部 求a的取值范围 解析 方程x2 y2 ax 2ay 2a2 a 1 0表示圆 a2 4a2 4 2a2 a 1 0 3a2 4a 4 0 a 2 3a 2 0 2 a 答案 d 解析 由题意知 直线2x y