人教A版必修二 4.1.2圆的一般方程 课件（25张）.ppt

4 1 2圆的一般方程 3 圆的标准方程的两个基本要素 是和 1 圆的标准方程 x a 2 y b 2 r2 其中圆心坐标为c a b 半径为r 2 当圆心在坐标原点上 这时a b 0 那么圆的方程为x2 y2 r2 研究圆的标准方程 将圆的标准方程展开 化简 整理 可得x2 y2 2ax 2by a2 b2 r2 0 取d 2a e 2b f a2 b2 r2 可写成 x2 y2 dx ey f 0 也就是说 任何一个圆的方程都可以通过展开写成下面方程的形式 x2 y2 dx ey f 0 圆的一般方程 x a 2 y b 2 r2 配方得 不一定是圆 以 1 2 为圆心 以2为半径的圆 配方得 不是圆 探究 圆的一般方程 方程 在什么条件下表示圆 配方可得 把方程 1 当 时 方程 表示以 为圆心 为半径的圆 提示 2 当 时 只有一实数解 方程 它表示一个点 3 当 时 没有实数解 它不表示任何图形 方程 得结论 给定义 方程x2 y2 dx ey f 0的轨迹可能是圆 点或无轨迹 我们把d2 e2 4f 0时x2 y2 dx ey f 0所表示的圆的方程称为圆的一般方程 圆的标准方程 x a 2 y b 2 r2 圆的一般方程x2 y2 dx ey f 0突出了形式上的特点 1 x2和y2的系数相同 且不等于0 2 没有xy这样的二次项 以上两点是二元二次方程ax2 bxy cy2 dx ey f 0表示圆的条件 必要不充分条件 明确指出了圆心和半径 圆的一般方程 做一做 请把正确的答案写在横线上 1 圆x2 y2 2x 4y 1 0的圆心坐标是 2 若方程x2 y2 axy 4y 1 0表示圆 则a 3 圆心是 3 4 且经过点m 5 1 的圆的一般方程是 即时训练 4 6 3 变式练习 巩固训练 若方程x2 y2 2mx 2y m2 5m 0表示圆 求 1 实数m的取值范围 2 圆心坐标和半径 解析 1 据题意知d2 e2 4f 2m 2 2 2 4 m2 5m 0 即4m2 4 4m2 20m 0 解得m 故m的取值范围为 2 将方程x2 y2 2mx 2y m2 5m 0写成标准方程为 x m 2 y 1 2 1 5m 故圆心坐标为 m 1 半径r 例题分析 例1 求过三点o 0 0 m1 1 1 m2 4 2 的圆的方程 并求出这个圆的圆心坐标和半径 分析 圆的一般方程需确定三个系数 用待定系数法 解 设所求的圆的方程为x2 y2 dx ey f 0 因为o m1 m2三点在圆上 所以它们的坐标是方程的解 解此方程组 可得 d 8 e 6 f 0 所求圆的方程为 x2 y2 8x 6y 0 将此方程左边配方得圆的标准方程 x 4 2 y 3 2 52 于是圆心坐标 4 3 半径为r 5 方法 待定系数法和配方法 圆的一般方程 规律总结 1 待定系数法求圆的方程的三个步骤 abc的三个顶点a 1 4 b 2 3 c 4 5 则 abc的外接圆方程是 x2 y2 2x 2y 23 0 变式练习 建立点m的坐标与点a的坐标之间的关系 就可以建立点m的坐标满足的条件 求出点m的轨迹方程 例2已知线段ab的端点b的坐标是 4 3 端点a在圆 x 1 2 y2 4上运动 求线段ab的中点m的轨迹方程 解 设点m的坐标为 x y 点a的坐标为 x0 y0 由于点b的坐标是 4 3 且点m是线段ab的中点 于是有 规律总结 用代入法求轨迹方程的一般步骤 拓展延伸 求轨迹方程的四种常用方法 1 直接法 直接法是将动点满足的几何条件或者等量关系直接坐标化 列出等式化简即得动点轨迹方程 2 定义法 若动点轨迹的条件符合某一基本轨迹的定义 如圆等 可用定义直接求解 3 相关点法 根据相关点所满足的方程 通过转换而求动点的轨迹方程 4 参数法 若动点的坐标 x y 中的x y分别随另一变量的变化而变化 我们可以以这个变量为参数 建立轨迹的参数方程 答案 b 2 若方程x2 y2 4x 2y 5k 0表示圆 则实数k的取值范围是 a rb 1 c 1 d 1 答案 b 解析 d2 e2 4f 0 16 4 20k 0 k 1 故选b 3 点p x0 y0 是圆x2 y2 4上的动点 点m是op o是原点 的中点 则动点m的轨迹方程是 答案 x2 y2 1 4 圆c x2 y2 2x 6y 9 0关于直线x y 1 0对称的曲线方程是 a x2 y2 2x 6y 9 0 b x2 y2 6x 2y 9 0 c x2 y2 8x 15 0 d x2 y2 8x 15 0 c 5 圆x2 y2 4x 26y b2 0与坐标轴相切 那么b可以取的值是 a 2或 13 b 1或2 c 1或 2 d 1或1 a 知识探究二 圆的直径方程 思考1 已知点a 1 3 和b 5 5 如何求以线段ab为直径的圆方程 思考2 一般地 已知点a x1 y1 b x2 y2 则以线段ab为直径的圆方程如何 x x1 x x2 y y1 y y2