第一部分数学Ⅰ必做题部分专题Ⅰ-4课时达标自测.doc

A卷(全员必做)1(2013广东高考)若曲线ykxln x在点(1，k)处的切线平行于x轴，则k_.解析：y|x10，即当x1时，kk10，解得k1.答案：12(2013连云港模拟)已知e为自然对数的底数，则函数yxex的单调递增区间是_解析：令yex(1x)0，又ex0，1x0，x1.答案：1，)3(2013徐州质检)设a为实数，函数f(x)x3ax2(a2)x的导数是f(x)，且f(x)是偶函数，则曲线yf(x)在原点处的切线方程为_解析：由已知得f(x)3x22axa2为偶函数，a0，f(x)x32x，f(x)3x22.又f(0)2，f(0)0，yf(x)在原点处的切线方程为y2x.答案：y2x4如果函数y在xt时取得极小值，那么t_.解析：f(x)，则函数在(，1)上单调递增，在(1,3)上单调递减，在(3，)上单调递增，因此函数在x3处取得极小值，故t3.答案：35若函数f(x)ln x在区间(m，m2)上单调递减，则实数m的范围是_解析：由f(x)ln x，得f(x)，由f(x)0得0x0，f(x)ln x12ax.由于函数f(x)有两个极值点，则f(x)0有两个不等的正根，显然a0时不合题意，必有a0.令g(x)ln x12ax，g(x)2a，令g(x)0，得x，故g(x)在上单调递增，在上单调递减，所以g(x)在x处取得极大值，即fln0，所以0a0)，若对定义域内的任意x，f(x)2恒成立，则a的取值范围是_解析：由题意得f(x)x2，当且仅当x，即x时取等号，f(x)2，只要f(x)min2即可，即22，解得a1.答案：1，)9(2013南通模拟)设函数yf(x)，xR的导函数为f(x)，且f(x)f(x)，f(x)f(x)则下列三个数：ef(2)，f(3)，e2f(1)从小到大依次排列为_(e为自然对数的底数)解析：构造函数g(x)，g(x)g(2)g(3)，即，得e2f(1)ef(2)，e3f(2)e2f(3)，即ef(2)f(3)又f(1)f(1)，所以f(3)ef(2)e2f(1)答案：f(3)ef(2)0)，因而f(1)1，f(1)1，所以曲线yf(x)在点A(1，f(1)处的切线方程为y1(x1)，即xy20.(2)由f(x)1，x0知：当a0时，f(x)0，函数f(x)为(0，)上的增函数，函数f(x)无极值；当a0时，由f(x)0，解得xa，又当x(0，a)时，f(x)0，从而函数f(x)在xa处取得极小值，且极小值为f(a)aaln a，无极大值综上，当a0时，函数f(x)无极值；当a0时，函数f(x)在xa处取得极小值aaln a，无极大值11(2013重庆高考)某村庄拟修建一个无盖的圆柱形蓄水池(不计厚度)设该蓄水池的底面半径为r米，高为h米，体积为V立方米假设建造成本仅与表面积有关，侧面的建造成本为100元/平方米，底面的建造成本为160元/平方米，该蓄水池的总建造成本为12 000元(为圆周率)(1)将V表示成r的函数V(r)，并求该函数的定义域；(2)讨论函数V(r)的单调性，并确定r和h为何值时该蓄水池的体积最大解：(1)因为蓄水池侧面的总成本为1002rh200rh元，底面的总成本为160r2元，所以蓄水池的总成本为(200rh160r2)元根据题意得200rh160r212 000，所以h(3004r2)，从而V(r)r2h(300r4r3)由h0，且r0可得0r0，故V(r)在(0,5)上为增函数；当r(5,5)时，V(r)0，函数f(x)ln xax2的单调递增区间为(0，)；当a0时，若f(x)0，有0x，若f(x)，函数f(x)ln xax2的单调递减区间为，单调递增区间为.综上，当a0时，函数f(x)的单调递增区间为(0，)；当a0时，函数f(x)的单调递减区间为，单调递增区间为.(2)证明：当a时，f(x)，当x(0,2)时函数f(x)是增函数，当x(2，)时函数f(x)是减函数，函数f(x)的最大值为f(2)ln 2.f(1)，在(2，)上取xe4，计算得f(e4)4428f(1)，f(e4)f(1)0，试判断f(x)在定义域内的单调性；(2)若f(x)在1，e上的最小值为，求a的值解：(1)由题意知f(x)的定义域为(0，)，且f(x).a0，f(x)0，故f(x)在(0，)上是单调递增函数(2)由(1)可知，f(x).若a1，则xa0，即f(x)0在1，e上恒成立，此时f(x)在1，e上为增函数，f(x)minf(1)a，a(舍去)若ae，则xa0，即f(x)0在1，e上恒成立，此时f(x)在1，e上为减函数，f(x)minf(e)1，a(舍去)若ea1，令f(x)0得xa，()当1xa时，f(x)0，f(x)在(1，a)上为减函数；()当ax0，f(x)在(a，e)上为增函数，f(x)minf(a)ln(a)1，a.综上所述，a.2(2013北京高考)已知函数f(x)x2xsin xcos x.(1)若曲线yf(x)在点(a，f(a)处与直线yb相切，求a与b的值；(2)若曲线yf(x)与直线yb有两个不同交点，求b的取值范围解：由f(x)x2xsin xcos x，得f(x)x(2cos x)(1)因为曲线yf(x)在点(a，f(a)处与直线yb相切，所以f(a)a(2cos a)0，bf(a)解得a0，bf(0)1.(2)令f(x)0，得x0.当x变化时，f(x)与f(x)的变化情况如下：x(，0)0(0，)f(x)0f(x)1所以函数f(x)在区间(，0)上单调递减，在区间(0，)上单调递增，f(0)1是f(x)的最小值当b1时，曲线yf(x)与直线yb最多只有一个交点；当b1时，f(2b)f(2b)4b22b14b2b1b，f(0)11时曲线yf(x)与直线yb有且仅有两个不同交点综上可知，如果曲线yf(x)与直线yb有两个不同交点，那么b的取值范围是(1，)3(2013江苏十校联考)已知函数f(x)ln xax(aR)(1)求f(x)的单调区间；(2)设g(x)x24x2，若对任意x1(0，)，均存在x20,1，使得f(x1)0)当a0时，由于x0，故ax10，f(x)0，所以f(x)的单调递增区间为(0，)当a0，在区间，上，f(x)0，所以函数f(x)的单调递增区间为，单调递减区间为.综上所述，当a0时，f(x)的单调递增区间为(0，)；当a0时，f(x)的单调递增区间为，单调递减区间为.(2)由题意得f(x)maxg(x)max，而g(x)max2，由(1)知，当a0时，f(x)在(0，)上单调递增，值域为R，故不符合题意当a1ln(a)，解得a0)，函数g(x)f(x)ex(x1)，函数g(x)的导函数为g(x)(1)求函数f(x)的极值；(2)若ae，求函数g(x)的单调区间；求证：x0时，不等式g(x)1ln x恒成立解：(1)f(x)xax2ax，当f(x)0时，x0或x，又a0，当x(，0)时，f(x)0；当x时，f(x)0，f(x)的极小值为f(0)0，f(x)的极大值为f.(2)ae，g(x)x2ex3ex(x1)，g(x)x(exex1)记h(x)exex1，则h(x)exe，当x(，1)时，h(x)0，h(x)是增函数，h(x)h(1)10，则在(0，)上，g(x)0；在(，0)上，g(x)0时，g(x)x(exex1)1ln xexex1，由知，h(x)exex11，记(x)1ln xx(x0)，则(x)，在区间(0,1)上，(x)0，(x)是增函数；在区间(1，)上，(x)0，(x)是减函数，(x)(1)0，即1ln xx0，1，exex11，即g(x)1ln x恒成立5(2013江苏十校联考)设f(x)xln x，g(x)x3x23.(1)如果存在x1，x20,2使得g(x1)g(x2)M成立，求满足上述条件的最大整数M；(2)如果对于任意的s，t，都有f(s)g(t)成立，求实数a的取值范围解：(1)存在x1，x20,2使得g(x1)g(x2)M成立，等价于g(x1)g(x2)maxM.g(x)x3x23，g(x)3x22x3x.g(x)，g(x)随x变化的情况如下表：x02g(x)00g(x)3极小值1由上表可知，g(x)ming，g(x)maxg(2)1.g(x1)g(x2)maxg(x)maxg(x)min，所以满足条件的最大整数M4.(2)对于任意的s，t，都有f(s)g(t)成立，等价于在区间上，函数f(x)