人教B版必修二 2.4　空间直角坐标系 学案.doc

2.4空间直角坐标系2.4.1空间直角坐标系2.4.2空间两点的距离公式1了解空间直角坐标系的建系方式(重点)2能在空间直角坐标系中求出点的坐标和已知坐标作出点(重点)3理解空间两点间距离公式的推导过程和方法(重点)4掌握空间两点间的距离公式，能够用空间两点间距离公式解决简单的问题(难点)基础初探教材整理1空间直角坐标系阅读教材p106p107“练习”以上内容，完成下列问题1空间直角坐标系定义以空间中两两垂直且相交于一点o的三条直线分别为x轴、y轴、z轴，这时就说建立了空间直角坐标系oxyz，其中点o叫做坐标原点，x轴、y轴、z轴叫做坐标轴通过每两个坐标轴的平面叫做坐标平面，分别称为xoy平面、yoz平面、zox平面画法在平面上画空间直角坐标系oxyz时，一般使xoy135，yoz90图示说明本书建立的坐标系都是右手直角坐标系，即在空间直角坐标系中，让右手拇指指向x轴的正方向，食指指向y轴的正方向，中指指向z轴的正方向，则称这个坐标系为右手直角坐标系2.空间中一点的坐标空间一点m的坐标可用有序实数组(x，y，z)来表示，有序实数组(x，y，z)叫做点m在此空间直角坐标系中的坐标，记作m(x，y，z)，其中x叫做点m的横坐标，y叫做点m的纵坐标，z叫做点m的竖坐标判断(正确的打“”，错误的打“”)(1)在空间直角坐标系中，在ox轴上的点的坐标一定是(0，b，c)()(2)在空间直角坐标系中，在yoz平面上的点的坐标一定可写成(0，b，c)()(3)在空间直角坐标系中，在oz轴上的点的坐标可记作(0,0，c)()(4)在空间直角坐标系中，在xoz平面上的点的坐标是(a,0，c)()【解析】(1)错误x轴上的点的坐标是纵坐标与竖坐标都为0.(2)、(3)、(4)正确【答案】(1)(2)(3)(4)教材整理2空间两点间的距离公式阅读教材p108内容，完成下列问题1点p(x，y，z)到坐标原点o(0,0,0)的距离|op|.2任意两点p1(x1，y1，z1)，p2(x2，y2，z2)间的距离|p1p2|.在空间直角坐标系中，a(1,2,3)，b(2,1，m)，若|ab|，则m的值为_【解析】|ab|，(3m)2100,3m10.m7或13.【答案】7或13小组合作型空间中点的坐标的确定在棱长为1的正方体abcda1b1c1d1中，e、f分别是d1d、bd的中点，g在棱cd上，且cgcd，h为c1g的中点，试建立适当的坐标系，写出e、f、g、h的坐标【精彩点拨】要求点的坐标，需求得横、纵、竖坐标的值，即确定出所求点的坐标【自主解答】建立如图所示的空间直角坐标系点e在z轴上，它的x坐标、y坐标均为0，而e为dd1的中点，故其坐标为.由f作fmad、fndc，由平面几何知fm、fn，则f点坐标为.点g在y轴上，其x、z坐标均为0，又gd，故g点坐标为.由h作hkcg于k，由于h为c1g的中点，故hk、ck.dk.故h点坐标为.1建立空间直角坐标系时应遵循以下原则(1)让尽可能多的点落在坐标轴上或坐标平面内；(2)充分利用几何图形的对称性2求某点的坐标时，一般先找出这一点在某一坐标平面上的射影，确定其两个坐标，再找出它在另一轴上的射影(或者通过它到这个坐标平面的距离加上正负号)，确定第三个坐标再练一题1在棱长都为2的正三棱柱abca1b1c1中，建立恰当的空间直角坐标系，并写出三棱柱abca1b1c1各顶点的坐标. 【导学号：45722118】【解】取bc，b1c1的中点分别为o，o1，连接oa，oo1，根据正三棱柱的几何性质，oa，ob，oo1两两互相垂直，且oa2，以oa，ob，oo1所在的直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，如图所示，则正三棱柱abca1b1c1各顶点的坐标分别为：a(，0,0)，b(0,1,0)，c(0，1,0)，a1(，0,2)，b1(0,1,2)，c1(0，1,2).求空间对称点的坐标在空间直角坐标系中，已知点p(2,1,4)(1)求点p关于x轴对称的点的坐标；(2)求点p关于xoy平面对称的点的坐标；(3)求点p关于点m(2，1，4)对称的点的坐标【精彩点拨】对照空间点的对称的规律直接写出各点的坐标【自主解答】(1)由于点p关于x轴对称后，它在x轴的分量不变，在y轴、z轴的分量变为原来的相反数，所以对称点坐标为p1(2，1，4)(2)由于点p关于xoy平面对称后，它在x轴、y轴的分量不变，在z轴的分量变为原来的相反数，所以对称点坐标为p2(2,1，4)(3)设对称点为p3(x，y，z)，则点m为线段pp3的中点，由中点坐标公式，可得x22(2)6，y2(1)13，z2(4)412，所以p3的坐标为(6，3，12)任意一点p(x，y，z)，关于原点对称的点是p1(x，y，z)；关于x轴(横轴)对称的点是p2(x，y，z)；关于y轴(纵轴)对称的点是p3(x，y，z)；关于z轴(竖轴)对称的点是p4(x，y，z)；关于xoy平面对称的点是p5(x，y，z)；关于yoz平面对称的点是p6(x，y，z)；关于xoz平面对称的点是p7(x，y，z).,求对称点的问题可以用“关于谁对称，谁保持不变，其余坐标相反”的口诀来记忆.再练一题2已知m(2,1,3)，求m关于原点对称的点m1，m关于xoy平面对称的点m2，m关于x轴、y轴对称的点m3，m4.【解】由于点m与m1关于原点对称，所以m1(2，1，3)；点m与m2关于xoy平面对称，横坐标与纵坐标不变，竖坐标变为原来的相反数，所以m2(2,1，3)；m与m3关于x轴对称，则m3的横坐标不变，纵坐标和竖坐标变为原来的相反数，即m3(2，1，3)，同理m4(2,1，3)探究共研型空间两点间的距离探究1已知两点p(1,0,1)与q(4,3，1)，请求出p、q之间的距离【提示】|pq|.探究2上述问题中，若在z轴上存在点m，使得|mp|mq|，请求出点m的坐标【提示】设m(0,0，z)，由|mp|mq|，得(1)202(z1)24232(1z)2，z6.m(0,0，6)如图241所示，在长方体abcda1b1c1d1中，|ab|ad|3，|aa1|2，点m在a1c1上，|mc1|2|a1m|，n在d1c上且为d1c的中点，求线段mn的长度图241【精彩点拨】先建立空间直角坐标系，求出点m、n的坐标，然后利用两点间的距离公式求解【自主解答】如图所示，分别以ab，ad，aa1所在的直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系由题意可知c(3,3,0)，d(0,3,0)，|dd1|cc1|aa1|2，c1(3,3,2)，d1(0,3,2)，n为cd1的中点，n.m是a1c1的三分之一分点且靠近a1点，m(1,1,2)由两点间距离公式，得|mn|.利用空间两点间的距离公式求线段长度问题的一般步骤为：再练一题3如图242所示，直三棱柱abca1b1c1中，|c1c|cb|ca|2，accb，d，e分别是棱ab，b1c1的中点，f是ac的中点，求de，ef的长度图242【解】以点c为坐标原点，ca、cb、cc1所在直线为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系|c1c|cb|ca|2，c(0,0,0)，a(2,0,0)，b(0,2,0)，c1(0,0,2)，b1(0,2,2)，由中点坐标公式可得，d(1,1,0)，e(0,1,2)，f(1,0,0)，|de|，|ef|.1点a(1,2,1)在x轴上的投影点和在xoy平面上的投影点的坐标分别为()a(1,0,1)，(1,2,0)b(1,0,0)，(1,2,0)c(1,0,0)，(1,0,0)d(1,2,0)，(1,2,0)【解析】点a(1,2,1)在x轴上的投影点的横坐标是1，纵坐标、竖坐标都为0，故为(1,0,0)，点a(1,2,1)在xoy平面上横、纵坐标不变且竖坐标是0，故为(1,2,0)【答案】b2在空间直角坐标系中，点p(3,4,5)与q(3，4，5)两点的位置关系是()a关于x轴对称b关于xoy平面对称c关于坐标原点对称d以上都不对【解析】点p(3,4,5)与q(3，4，5)两点的横坐标相同，而纵、竖坐标互为相反数，所以两点关于x轴对称【答案】a3已知a(3,2，4)，b(5，2,2)，则线段ab中点的坐标为_. 【导学号：45722119】【解析】设中点坐标为(x0，y0，z0)，则x04，y00，z01，线段ab的中点坐标为(4,0，1)【答案】(4,0，1)4设a(4，7,1)，b(6,2，z)，|ab|11，则z_.【解析】由|ab|11，解得z7或5.【答案】7或55vabcd为正四棱锥，o为底面中心