人教B版 选修22 2.2.1直接证明综合法与分析法 教案.docx

2.2.1直接证明-综合法与分析法一、教学目标1、知识目标：（1）结合已经学过的数学实例，了解直接证明的两种基本方法：分析法和综合法；（2）通过本节内容的学习了解分析法和综合法的思考过程、特点；2、能力目标：学生经历发现问题、提出问题、分析问题、解决问题的过程，提高严谨的态度能力。3、情感、态度与价值观目标：（3）增强学生的数学应用意识，提高学生数学思维的情趣，给学生成功的体验，形成学习数学知识、了解数学文化的积极态度。二、教学重点.难点教学重点：分析法和综合法的思考过程； 教学难点：分析法和综合法的思考过程、特点三、学情分析 合情推理分归纳推理和类比推理，所得的结论的正确性是要证明的。数学结论的正确性必须通过逻辑推理的方式加以证明。本节我们将学习两类基本的证明方法：直接证明与间接证明。四、教学方法启发发现法、课堂讨论法。教具：多媒体、黑板、圆规、三角板。五、教学过程教学过程：探究一：在数学证明中，我们经常从已知条件和某些数学定义、公理、定理等出发，通过推理推导出所要的结论。例如：已知a,b0,求证教师活动：给出以上问题，让学生思考应该如何证明，引导学生应用不等式证明。教师最后归结证明方法。学生活动：充分讨论，思考，找出以上问题的证明方法证明:因为，所以。因为，所以。因此 。一般地，利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立，这种方法叫做综合法。 探究二：证明数学命题时，还经常从要证的结论 q 出发，反推回去，寻求保证 q 成立的条件，即使q成立的充分条件p1，为了证明p1成立，再去寻求p1成立的充分条件p2，为了证明p2成立，再去寻求p2成立的充分条件p3， 直到找到一个明显成立的条件（已知条件、定理、定义、公理等）为止。例如：基本不等式 （a0，b0）的证明就用了上述方法。要证，只需证 ，只需证 ，只需证 由于显然成立，因此原不等式成立。一般地，从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件（已知条件、定理、定义、公理等）为止。这种方法叫做分析法。 （三）、分析归纳，抽象概括用p表示已知条件、已有的定义、定理、公理等,q表示要证明的结论，则综合法可表示为：综合法的特点是：由因导果，即由已知条件出发，利用已知的数学定理、性质和公式，推出结论的一种证明方法。分析法可表示为：分析法的特点是：执果索因 知识应用，深化理解例1、在abc中,三个内角a,b,c的对边分别为,且a,b,c成等差数列, 成等比数列,求证abc为等边三角形.分析：将 a , b , c 成等差数列，转化为符号语言就是2b =a + c; a , b , c为abc的内角，这是一个隐含条件，明确表示出来是a + b + c =； a , b，c成等比数列，转化为符号语言就是此时，如果能把角和边统一起来，那么就可以进一步寻找角和边之间的关系，进而判断三角形的形状，余弦定理正好满足要求于是，可以用余弦定理为工具进行证明证明：由 a, b, c成等差数列，有 2b=a + c 因为a,b,c为abc的内角，所以 a + b + c= 由 ，得 b= 由a, b，c成等比数列，有 由余弦定理及，可得 再由，得 即 ， 因此 从而 a=c由，得a=b=c=所以abc为等边三角形注：解决数学问题时，往往要先作语言的转换，如把文字语言转换成符号语言，或把符号语言转换成图形语言等还要通过细致的分析，把其中的隐含条件明确表示出来例2、求证。分析：从待证不等式不易发现证明的出发点，因此我们直接从待证不等式出发，分析其成立的充分条件。证明：因为都是正数，所以为了证明，只需明 ，展开得 ，只需证 ，因为成立，所以 成立。在本例中，如果我们从“2125”出发，逐步倒推回去，就可以用综合法证出结论。但由于我们很难想到从“2125”入手，所以用综合法比较困难。事实上，在解决问题时，我们经常把综合法和分析法结合起来使用：根据条件的结构特点去转化结论，得到中间结论q；根据结论的结构特点去转化条件，得到中间结论 p若由p可以推出q成立，就可以证明结论成立下面来看一个例子例3 、已知，且 求证：。分析：比较已知条件和结论，发现结论中没有出现角，因此第一步工作可以从已知条件中消去。观察已知条件的结构特点，发现其中蕴含数量关系，于是，由 2一2 得把与结论相比较，发现角相同，但函数名称不同，于是尝试转化结论：统一函数名称，即把正切函数化为正（余）弦函数把结论转化为,再与比较，发现只要把中的角的余弦转化为正弦，就能达到目的证明：因为，所以将 代入，可得. 另一方面，要证 ，即证 ， 即证 ，即证 ，即证 。由于上式与相同，于是问题得证。六、当堂检测1、已知，则( ) ap是q的充分而不必要条件bp是q的必要而不充分条件cp是q的充要条件dp是q的既不充分也不必要条件2、命题：函数在区间（0，1）上是增函数“的证明过程”对函数求导得当x（0，1）时，故函数在区间（0，1）上是增函数：应用了 的证明方法.3、在平面外，=p,