人教B版选修12 第三章 §3.1　数系的扩充与复数的引入 学案.docx

3.1数系的扩充与复数的引入3.1.1实数系3.1.2复数的引入(一)学习目标1.了解引入虚数单位i的必要性和数集的扩充过程.2.理解在数系的扩充中由实数集扩展到复数集出现的一些基本概念.3.掌握复数代数形式的表示方法，理解复数相等的充要条件知识点一复数的概念及代数表示思考为解决方程x22在有理数范围内无根的问题，数系从有理数系扩充到实数系；那么怎样解决方程x210在实数系中无根的问题呢？答案设想引入新数i，使i是方程x210的根，即ii1，方程x210有解，同时得到一些新数梳理(1)复数的概念设a，b都是实数，形如abi的数叫做复数(2)复数的表示复数通常用小写字母z表示，即zabi(a，br)，其中a叫做复数z的实部，b叫做复数z的虚部，i称作虚数单位知识点二复数的分类与复数相等的充要条件思考1复数zabi(a，br)，当b0时，z是什么数？答案实数思考2复数zabi(a，br)，当a0且b0时，z是什么数？答案纯虚数梳理(1)复数的分类复数(abi，a，br)集合表示：(2)复数相等的充要条件如果a，b，c，d都是实数，那么abicdiac，且bd；abi0a0，且b0.1若a，b为实数，则zabi为虚数()2复数zbi是纯虚数()3若两个复数的实部的差和虚部的差都等于0，那么这两个复数相等()类型一复数的概念与分类例1当实数m满足什么条件时，复数lg(m22m7)(m25m6)i：(1)是纯虚数；(2)是实数；(3)是虚数解(1)当时，复数lg(m22m7)(m25m6)i是纯虚数，解得m4.(2)当时，复数lg(m22m7)(m25m6)i是实数，解得m2或m3.(3)当时，复数lg(m22m7)(m25m6)i是虚数，解得m12且m2且m3.反思与感悟利用复数的代数形式对复数分类时，关键是根据分类标准列出实部、虚部应满足的关系式(等式或不等式(组)，求解参数时，注意参数本身的取值范围，如分母不能为0.跟踪训练1实数m为何值时，复数z(m22m3)i分别是(1)实数；(2)虚数；(3)纯虚数解(1)要使z是实数，m需满足m22m30，且有意义，即m10，解得m3.(2)要使z是虚数，m需满足m22m30，且有意义，即m10，解得m1且m3.(3)要使z是纯虚数，m需满足0，m10，且m22m30，解得m0或m2.类型二复数相等例2(1)已知x2y22xyi2i，求实数x，y的值；(2)关于x的方程3x2x1(10x2x2)i有实根，求实数a的值解(1)x2y22xyi2i，解得或(2)设方程的实数根为xm，则原方程可变为3m2m1(10m2m2)i，解得a11或a.反思与感悟两个复数相等，首先要分清两复数的实部与虚部，然后利用两个复数相等的充要条件可得到两个方程，从而可以确定两个独立参数跟踪训练2已知m1，(m22m)(m2m2)i，p1,1,4i，若mpp，求实数m的值解mpp，mp，(m22m)(m2m2)i1或(m22m)(m2m2)i4i.由(m22m)(m2m2)i1，得解得m1；由(m22m)(m2m2)i4i，得解得m2.综上可知m1或m2.1下列复数中，满足方程x220的是()a1 bici d2i答案c2若(x21)(x23x2)i是纯虚数，则实数x的值是()a1 b1c1 d以上都不对答案a解析因为(x21)(x23x2)i是纯虚数，所以x210且x23x20，解得x1，故选a.3下列几个命题：两个复数相等的一个必要条件是它们的实部相等；两个复数不相等的一个充分条件是它们的虚部不相等；1ai(ar)是一个复数；虚数的平方不小于0；1的平方根只有一个，即为i；i是方程x410的一个根；i是一个无理数其中真命题的个数为()a3 b4 c5 d6答案b解析命题正确，错误4复数43aa2i与复数a24ai相等，则实数a_.答案4解析根据复数相等的充要条件，有解得a4.5以2i的虚部为实部，以i2i2的实部为虚部的新复数是_答案22i解析2i的虚部为2，i2i22i，其实部为2.新复数z22i.1区分实数、虚数、纯虚数与复数的关系，特别要明确：实数也是复数，要把复数与实数加以区别对于纯虚数bi(b0，br)不要只记形式，要注意b0.2应用两复数相等的充要条件时，首先要把等号左右两边的复数写成代数形式，即分离实部与虚部，然后列出等式求解3若两个复数全是实数，则可以比较大小，反之，若两个复数能比较大小，则它们必是实数.一、选择题1设a，br，“a0”是“复数abi是纯虚数”的()a充分不必要条件b必要不充分条件c充要条件d既不充分也不必要条件答案b解析因为a，br，当“a0”时“复数abi不一定是纯虚数，也可能b0，即abi0r”而当“复数abi是纯虚数”，则“a0”一定成立所以a，br，“a0”是“复数abi是纯虚数”的必要不充分条件2下列命题中，真命题的个数是()若x，yc，则xyi1i的充要条件是xy1；若a，br且ab，则aibi；若x2y20，则xy0.a0 b1 c2 d3答案a解析对于，由于x，yc，所以x，y不一定是xyi的实部和虚部，故是假命题；对于，由于两个虚数不能比较大小，故是假命题；是假命题，如12i20，但10，i0.3已知复数z113i的实部与复数z21ai的虚部相等，则实数a等于()a3 b3 c1 d1答案c4若sin 21i(cos 1)是纯虚数，则的值为()a2k(kz) b2k(kz)c2k(kz) d.(kz)考点复数的概念题点由复数的分类求未知数答案b解析由题意，得解得(kz)，2k，kz.5若(xy)ix1(x，yr)，则2xy的值为()a. b2 c0 d1答案d解析由复数相等的充要条件知，解得xy0.2xy201.6若复数zi是纯虚数(i为虚数单位)，则tan的值为()a7 bc7 d7或答案c解析复数zi是纯虚数，cos 0，sin 0，sin ，tan ，则tan7.7已知关于x的方程x2(m2i)x22i0(mr)有实数根n，且zmni，则复数z等于()a3i b3ic3i d3i考点复数相等题点由复数相等求参数答案b解析由题意知n2(m2i)n22i0，即解得z3i，故选b.二、填空题8设mr，m2m2(m21)i是纯虚数，其中i是虚数单位，则m_.答案2解析由题意可得解得m2.9若复数zm2m2(m2m2)i为实数，则实数m的值为_答案2或1解析复数zm2m2(m2m2)i为实数，m2m20，解得m2或m1.10复数z(a22a3)(|a2|1)i不是纯虚数，则实数a的取值范围是_答案(，1)(1，)解析若复数z(a22a3)(|a2|1)i是纯虚数，则a22a30，|a2|10，解得a1，当a1时，复数z(a22a3)(|a2|1)i不是纯虚数11已知z1(m2m1)(m2m4)i，mr，z232i.则m1是z1z2的_条件考点复数相等题点由复数相等求参数答案充分不必要解析当z1z2时，必有m2m13，m2m42，解得m2或m1，显然m1是z1z2的充分不必要条件12已知(mn)(m23