人教B版选修21 第三章 §3.1　空间向量及其运算 学案.doc

3.1空间向量及其运算3.1.1空间向量的线性运算学习目标1.了解空间向量、向量的模、零向量、相反向量、相等向量、共线向量等的概念.2.会用平行四边形法则、三角形法则作出向量的和与差，了解向量加法的交换律和结合律.3.掌握数乘向量运算的意义及运算律知识点一空间向量的概念思考类比平面向量的概念，给出空间向量的概念答案在空间，把具有大小和方向的量叫做空间向量梳理(1)在空间，把具有大小和方向的量叫做空间向量，向量的大小叫做向量的长度或模空间向量也用有向线段表示，有向线段的长度表示向量的模，向量a的起点是a，终点是b，则向量a也可记作，其模记为|a|或|.(2)几类特殊的空间向量名称定义及表示零向量起点与终点重合的向量叫做零向量，记为0单位向量模为1的向量称为单位向量相反向量与向量a长度相等而方向相反的向量，称为a的相反向量，记为a相等向量方向相同且模相等的向量称为相等向量，同向且等长的有向线段表示同一向量或相等向量共线向量或平行向量有向线段所在的直线叫做向量的基线如果空间中一些向量的基线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量知识点二空间向量的加减运算及运算律思考由上述的运算过程总结一下，如何求空间两个向量的和与差？下面两个图形中的运算分别运用了什么运算法则？答案先将两个向量平移到同一个平面，然后运用平面向量的运算法则(三角形法则、平行四边形法则)运算即可；图1是三角形法则，图2是平行四边形法则梳理(1)类似于平面向量，可以定义空间向量的加法和减法运算ab，ab.(2)空间向量加法交换律abba，空间向量加法结合律(ab)ca(bc)知识点三数乘向量运算思考实数和空间向量a的乘积a的意义是什么？答案0时，a和a方向相同；0时，a与向量a方向相同；当0时，a与向量a方向相反；当0时，a0.(2)空间向量数乘运算满足以下运算律(a)()a；(ab)ab.1若表示两个相等空间向量的有向线段的起点相同，则终点也相同()2零向量没有方向()3空间两个向量的加减法与平面内两向量的加减法完全一致()4空间向量的数乘中只决定向量的大小，不决定向量的方向()类型一有关空间向量的概念的理解例1给出以下结论：两个空间向量相等，则它们的起点和终点分别相同；若空间向量a，b满足|a|b|，则ab；在正方体abcda1b1c1d1中，必有；若空间向量m，n，p满足mn，np，则mp.其中不正确的个数是()a1b2c3d4答案b解析两个空间向量相等，它们的起点、终点不一定相同，故不正确；若空间向量a，b满足|a|b|，则不一定能判断出ab，故不正确；在正方体abcda1b1c1d1中，必有成立，故正确；显然正确故选b.反思与感悟在空间中，向量、向量的模、相等向量的概念和平面中向量的相关概念完全一致，两向量相等的充要条件是两个向量的方向相同、模相等两向量互为相反向量的充要条件是大小相等，方向相反跟踪训练1(1)在平行六面体abcd-a1b1c1d1中，下列四对向量：与；与；与；与.其中互为相反向量的有n对，则n等于()a1b2c3d4答案b解析对于与，与长度相等，方向相反，互为相反向量；对于与长度相等，方向不相反；对于与长度相等，方向相同故互为相反向量的有2对(2)如图，在长方体abcdabcd中，ab3，ad2，aa1，则分别以长方体的顶点为起点和终点的向量中：单位向量共有多少个？试写出模为的所有向量试写出与向量相等的所有向量试写出向量的所有相反向量解由于长方体的高为1，所以长方体的四条高所对应的向量，共8个向量都是单位向量，而其他向量的模均不为1，故单位向量共有8个由于长方体的左右两侧面的对角线长均为，故模为的向量有，.与向量相等的所有向量(除它自身之外)有，及.向量的相反向量有，.类型二空间向量的加减运算例2如图，已知长方体abcd-abcd，化简下列向量表达式，并在图中标出化简结果的向量(1)；(2).解(1).(2)().向量，如图所示引申探究利用本例题图，化简.解结合加法运算，0.故0.反思与感悟空间向量加法、减法运算的两个技巧(1)巧用相反向量：向量加减法的三角形法则是解决空间向量加法、减法运算的关键，灵活应用相反向量可使向量间首尾相接(2)巧用平移：利用三角形法则和平行四边形法则进行向量的加法运算时，务必要注意和向量、差向量的方向，必要时可采用空间向量的自由平移获得更准确的结果跟踪训练2在如图所示的平行六面体中，求证：2.证明平行六面体的六个面均为平行四边形，()()()2()又，.2.类型三数乘向量运算例3如图所示，在平行六面体abcda1b1c1d1中，设a，b，c，m，n，p分别是aa1，bc，c1d1的中点，试用a，b，c表示以下各向量：(1)；(2)；(3).解(1)()acb.(2)abc.(3)()()abc.引申探究若把本例中“p是c1d1的中点”改为“p在线段c1d1上，且”，其他条件不变，如何表示？解acb.反思与感悟利用数乘运算进行向量表示的技巧(1)数形结合：利用数乘运算解题时，要结合具体图形，利用三角形法则、平行四边形法则，将目标向量转化为已知向量(2)明确目标：在化简过程中要有目标意识，巧妙运用中点性质跟踪训练3如图，在空间四边形oabc中，m，n分别是对边oa，bc的中点，点g在mn上，且mg2gn，如图所示，记a，b，c，试用向量a，b，c表示向量.解()aac(bc)abc.1下列命题中，假命题是()a同平面向量一样，任意两个空间向量都不能比较大小b两个相等的向量，若起点相同，则终点也相同c只有零向量的模等于0d空间中任意两个单位向量必相等答案d2在平行六面体abcda1b1c1d1中，与向量相等的向量共有()a1个b2个c3个d4个答案c解析与相等的向量有，共3个3向量a，b互为相反向量，已知|b|3，则下列结论正确的是()aabbab为实数0ca与b方向相同d|a|3答案d解析向量a，b互为相反向量，则a，b模相等、方向相反故d正确4已知空间四边形abcd，连接ac，bd，设m，g分别是bc，cd的中点，则等于()a.b3c3d2答案b解析()23.5在正方体abcd-a1b1c1d1中，已知下列各式：()；()；()b1c1；().其中运算的结果为的有_个答案4解析根据空间向量的加法运算以及正方体的性质逐一进行判断：()；()；()；().所以4个式子的运算结果都是.1一些特殊向量的特性(1)零向量不是没有方向，而是它的方向是任意的(2)单位向量方向虽然不一定相同，但它们的长度都是1.(3)两个向量模相等，不一定是相等向量，反之，若两个向量相等，则它们不仅模相等，方向也相同若两个向量模相等，方向相反，则它们为相反向量2空间向量加法、减法运算的两个技巧(1)巧用相反向量：向量减法的三角形法则是解决空间向量加法、减法的关键，灵活运用相反向量可使向量首尾相接(2)巧用平移：利用三角形法则和平行四边形法则进行向量加、减法运算时，务必注意和向量、差向量的方向，必要时可采用空间向量的自由平移获得运算结果一、选择题1下列说法正确的是()a零向量是有方向的向量b将空间中所有的单位向量平移到同一起点，则它们的终点构成一个圆c四点a，b，c，d构成平行四边形abcd的充要条件是d若与是相反向量，则a，b，c，d四点必在一条直线上答案a解析规定零向量的方向是任意的，故a正确；b中所有单位向量的终点构成球面而不是圆，故b错误；对于c，是必要条件，不是充分条件，因为当时，有可能a，b，c，d四点共线，故c错误；相反向量指的是方向相反，不一定在同一条直线上2已知空间四边形abcd，连接ac，bd，则为()a.b.c.d0答案a解析.3.如图所示，点d是空间四边形oabc的边bc的中点，a，b，c，则为()a.(ab)cb.(ca)bc.(bc)ada(bc)答案c解析()a(bc)4在正方体abcd-a1b1c1d1中，向量表达式化简后的结果是()a.b.c.d.答案a解析如图所示，.5.在空间平移abc到abc，连接对应顶点，设a，b，c，m是bc的中点，n是bc的中点，如图所示，用向量a，b，c表示向量等于()aabcb.abccabd.a答案d解析a.故选d.6.如图，在四棱柱的上底面abcd中，则下列向量相等的是()a.与b.与c.与d.与答案d解析，|，abdc，即四边形abcd为平行四边形，由平行四边形的性质知，.故选d.7.如图，在平行六面体abcda1b1c1d1中，m为ac与bd的交点，若a，b，c，则下列向量中与相等的向量是()aabcb.abcc.abcdabc答案a解析()c(ab)abc.8p为正六边形abcdef所在平面外一点，o为正六边形abcdef的中心，则等于()a2b4c6d12答案c解析由o是正六边形abcdef的中心，得0，0，0，6.二、填空题9.如图，在平行六面体abcda1b1c1d1中，_；_.答案解析.().10在直三棱柱abca1b1c1中，若ca，cb，c，则_.答案abc解析如图，()cba.11在长方体abcda1b1c1d1中，_.答案2解析()()2.三、解答题12.如图所示，在平行六面体abcdabcd中，化简下列表达式(1)；(2)；(3)；(4).解(1).(2).(3).(4)()().13.如图所示，在三棱柱abca1b1c1中，m是bb1的中点化简下列各式，并在图中标出化简得到的向量：(1)；(2)；(3).解(1).(2)因为m是bb1的中点，所以.又，所以.(3).向量，如图所示四、探究与拓展14.如图所示，已知空间四边形abcd，连接ac，bd，ef，点e，f，g分别是bc，cd，db的中点，请化简(1)；(2)，并标出化简得到的向量解(1).(2)点e，f，g