人教B版选修21 3.2.2平面的法向量与平面的向量表示 作业3.doc

课后导练基础达标1.点a（a,0,0）,b(0,b,0),c(0,0,c),则面abc的一个法向量为（ ）a.（bc,ac,ab） b.(ac,ab,bc)c.(bc,ab,ac) d.(ab,ac,bc)答案：a2.若abc所在平面为,p, 且apb=bpc=cpa=90,则点p在平面内的射影是abc的（ ）a.外心 b.内心 c.重心 d.垂心答案：d3.已知：a,b是直线，是平面，则下列命题中正确的是（ ）a.a,abb b.ab,abc.ab,ba d.a,abb答案：d4.a平面,ab、ac是平面的两条斜线，o是a在平面内的射影，ao=4，oc=，booc,oba=30.求c到ab的距离（ ）a. b.4 c. d.答案：a5.如右图，直三棱柱abcabc中，ac=bc=aa,acb=90,d,e分别为ab，bb的中点.(1)求证：cead;(2)求异面直线ce与ac所成角的余弦值.答案：(1)证明:设=a,=b,cc=c,根据题意,|a|=|b|=|c|且ab=bc=ca=0,=b+c,=-c+b-a.=-c2+b2=0.cead.(2)解:=-a+c,|=|a|,|=|a|.=(-a+c)(b+c)=c2=|a2|,cos,=.6.已知p是正方形abcd平面外一点，m、n分别是pa、bd上的点，且pmma=bnnd=58.求证：直线mn平面pbc.证明：=+=-+=-+=-(-)+(+)=-+=-=().在bc上取点e，使be=bc,于是=(-)=.mnpe.mn平面pbc.7.如右图，已知空间四边形oabc中，m为bc中点，n为ac中点，p为oa中点，q为ob中点，若ab=oc，求证pmqn.证明：=(+),=(+),=+=(+)=(-+)=(+)，=+=(+)=(-+)=(+)=(-).=(+)(-)=(2-2)=(|2-|2).由|=|，=0,即.即.8.如右图，已知正方体abcda1b1c1d1中，cd1和dc1相交于点o，连结ao.求证：aocd1.证明:=+=+=+(+)=+=+,=+=-+,=（+）（-+）=-+=0，即aocd1.9.如右图，已知正三棱柱abca1b1c1侧面的三条对角线ab1、bc1、ca1中，如果ab1bc1，求证：ab1ca1.证明：取ab、a1b1的中点d、d1，连a1d、bd1,a1b1c1abc为正三棱柱综合运用10.如右图，直三棱柱abca1b1c1，底面是等腰直角三角形，acb=90,ac=1,aa1=,d为ab的中点.(1)求证：cd平面abb1a1；（2）过cd作a1b的垂面；（注：写出作图过程，并说明理由）.答案：(1)证明：cdaa1,又cdab,aa1ab=a,cd平面abb1a. (2)解:如下图,作dea1b于e;连接ce,则cea1b(三垂线定理).a1b平面cde,则平面cde即为所求作的平面.11.如右图，在长方体abcda1b1c1d1中，点e、f分别在bb1、dd1上，且aea1b，afa1d.求证：a1c平面aef.证明:cb平面a1b,a1c在平面a1b上的射影为a1b,又a1bae,ae平面a1b.a1cae.同理a1caf,a1c平面aef.12.在直三棱柱abca1b1c1中，abc=90,bc=2,cc1=4,eb1=1,d、f、g分别为cc1、b1c1、a1c1的中点，ef与b1d相交于h.求证：b1d平面abd.证明:由直三棱柱的性质,得平面abc平面bb1c1c,又由已知,abbc.ab平面bb1c1c.又b1d平面bb1c1c,abb1d.由已知,bc=cd=dc1=b1c1.在rtbcd与rtdc1b1中可求得bdc=b1dc1=45.则bdb1=90,即b1dbd.又abbd=b,b1d平面abd.13.已知正方体abcda1b1c1d1的棱长为2，p、q分别是bc、cd上的动点，且|pq|=2，建立如下图所示的坐标系;确定p、q的位置，使得b1qd1p.解:如下图,设bp=t,则cq=,dq=2-,b1(2,0,2),d1(0,2,2),p(2,t,0),q(,2,0).=(,-2,2),=(-2,2-t,2),b1qd1p等价于=0，即-2(2-t)+22=0,即=t，解得t=1.此时，p、q分别是棱bc、cd的中点，即当p、q分别是棱bc、cd的中点时，b1qd1p.14.如下图，正三棱柱abca1b1c1中，ab1bc1，求证：ab1ca1.证明:如下图,将bc1平移,使其与a1c在一个平面内,所以延长b1c1至d,使c1d=b1c1,于是bc1dc为平行四边形,只需证明ab1平面a1cd即可,为此,连a1d.a1c1=b1c1=c1d,a1b1a1d,又aa1a1d,a1d面abb1a1.因此ab1a1d,又ab1dc,可得ab1平面a1dc,ab1ca1.拓展研究15.如下图，在正四棱柱abcda1b1c1d1中，底面边长为,侧棱长为,e、f分别是ab1、cb1的中点，求证：平面d1ef平面ab1c.证明：把正四棱柱如下图放置在坐标系中，则各点坐标为a(,0,0),c(0, ,0),b1(,),d1(0,0,),e(,),f(,).设平面ab1c的法向量为n1=(1,1,1),则n1应垂直和.而=(-2,2,0),=(0,2,3),n1=-+1=0及n1=1+1=0.1=1,1=.n1=(1,1,).