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1 3导数在研究函数中的应用1 3 1单调性 第1章导数及其应用 学习导航 第1章导数及其应用 1 导数与函数的单调性一般地 在某区间上函数y f x 的单调性与导数有如下关系 递增 递减 上述结论可以用下图直观表示 2 一般地 可导函数y f x 在区间 a b 内是增 减 函数的充要条件是 对任意的x a b 都有f x 0 f x 0 且f x 在 a b 的任何子区间内都不恒等于0 1 判断正误 正确的打 错误的打 1 如果函数y f x 在区间 a b 内每一点都有导数 则该函数在区间 a b 内可导 2 任何一个函数在定义域或它的一个区间 a b 上都是可导函数 3 如果函数y f x 在区间 a b 上都有f x 0 那么f x 在区间 a b 内单调递增 4 如果函数y f x 在区间 a b 上单调递增 那么它在区间 a b 上都有f x 0 2 函数f x lnx ax a 0 的单调增区间为 3 函数y x2 4x a的增区间为 减区间为 解析 y 2x 4 令y 0 得x 2 令y 0 得x 2 所以y x2 4x a的增区间为 2 减区间为 2 2 2 4 若f x ax3 bx2 cx d a 0 是r上的增函数 则a b c满足的关系为 a 0 且b2 3ac 求下列函数的单调区间 1 f x x3 x 2 f x 3x2 2lnx 链接教材p28例1 求函数的单调区间 方法归纳求函数单调区间时需注意 1 步骤 2 含有参数的函数求单调区间时应注意分类讨论 函数与其导函数图象间的关系 方法归纳研究一个函数的图象与其导函数的图象之间的关系时 要注意抓住各自的关键要素 对原函数 我们重点考查其图象在哪个区间上单调递增 哪个区间上单调递减 而对于导函数 则应考查其函数值在哪个区间上大于零 哪个区间上小于零 并考查这些区间与原函数的单调区间是否一致 2 若函数y f x 的导函数在区间 a b 上是增函数 则函数y f x 在区间 a b 上的图象可能是 填序号 解析 函数y f x 的导函数y f x 在区间 a b 上是增函数 即在区间 a b 上各点处切线的斜率k是递增的 由图知 符合条件 注意 中f x k为常数 已知函数的单调性求参数的取值范围 方法归纳 1 若函数f x 可导 其导数与函数的单调性的关系如下 以增函数为例来说明 f x 0能推出f x 为增函数 但反之不一定 即f x 0是f x 为增函数的充分不必要条件 f x 为增函数 一定可以推出f x 0 但反之不一定 即f x 0是f x 为增函数的必要不充分条件 2 函数在区间 a b 上单调递增 减 是f x 0 f x 0 在区间 a b 上恒成立的充分条件 可利用分离参数或函数性质求解恒成立问题 对等号成立可单独验证说明 3 2014 高考课标全国卷 改编 若函数f x kx l
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