人教B版选修22 1.3.3 导数的实际应用 课件（53张）.pptx

1 3 3导数的实际应用 第一章 1 3导数的应用 学习目标1 了解导数在解决实际问题中的作用 2 掌握利用导数解决简单的实际生活中的优化问题 题型探究 知识梳理 内容索引 当堂训练 知识梳理 知识点生活中的最优化问题 1 最优化问题的概念在经济生活中 为使经营利润 生产效率 或为使用力 用料 消耗等 需要寻求相应的最佳方案或最佳策略 这些都是最优化问题 2 解决最优化问题的基本步骤 1 分析实际问题中各量之间的关系 写出实际问题中变量之间的函数关系y f x 2 求导函数f x 解方程f x 0 3 比较函数在区间端点和极值点处的函数值的大小 最大的一个为最大值 最小的一个为最小值 4 依据实际问题的意义给出答案 最大 最高 最省 最少 最省 题型探究 类型一平面几何中的最值问题 解答 例1如图所示 在二次函数f x 4x x2的图象与x轴所围成图形中有一个内接矩形abcd 求这个矩形面积的最大值 解设点b的坐标为 x 0 且0 x 2 f x 4x x2图象的对称轴为x 2 点c的坐标为 4 x 0 bc 4 2x ba f x 4x x2 矩形面积为y 4 2x 4x x2 16x 12x2 2x3 y 16 24x 6x2 2 3x2 12x 8 平面图形中的最值问题一般涉及线段 三角形 四边形等图形 主要研究与面积相关的最值问题 一般将面积用变量表示出来后求导数 求极值 从而求最值 反思与感悟 跟踪训练1某市在市内主干道北京路一侧修建圆形休闲广场 如图 圆形广场的圆心为o 半径为100m 并与北京路一边所在直线l相切于点m 点a为上半圆弧上一点 过点a作l的垂线 垂足为点b 市园林局计划在 abm内进行绿化 设 abm的面积为s 单位 m2 aon 单位 弧度 1 将s表示为 的函数 解答 解由题干图知bm aosin 100sin ab mo aocos 100 100cos 则s mb ab 100sin 100 100cos 5000 sin sin cos 0 2 当绿化面积s最大时 试确定点a的位置 并求最大面积 解答 解s 5000 2cos2 cos 1 5000 2cos 1 cos 1 即点a到北京路一边l的距离为150m 类型二立体几何中的最值问题 解答 例2某企业拟建造如图所示的容器 不计厚度 长度单位 米 其中容器的中间为圆柱体 左右两端均为半球体 按照设计要求容器的体积为立方米 假设该容器的建造费用仅与其表面积有关 已知圆柱体部分每平方米建造费用为3千元 半球体部分每平方米建造费用为4千元 设该容器的总建造费用为y千元 1 将y表示成r的函数 并求该函数的定义域 两端两个半球的表面积之和为4 r2 解答 2 确定r和l为何值时 该容器的建造费用最小 并求出最小建造费用 令y 0 得0 r 2 所以当r 2米时 该容器的建造费用最小 为96 千元 解答 引申探究本例中 若r 0 1 求最小建造费用 解由例2 2 可知 当r 1时 ymin 136 最小建造费用为136 万元 1 立体几何中的最值问题往往涉及空间图形的表面积 体积 在此基础上解决与实际相关的问题 2 解决此类问题必须熟悉简单几何体的表面积与体积公式 如果已知图形是由简单几何体组合而成 则要分析其组合关系 将图形进行拆分或组合 以便简化求值过程 反思与感悟 跟踪训练2现需要设计一个仓库 它由上下两部分组成 上部的形状是正四棱锥p a1b1c1d1 下部的形状是正四棱柱abcd a1b1c1d1 如图所示 并要求正四棱柱的高o1o是正棱锥的高po1的4倍 1 若ab 6m po1 2m 则仓库的容积是多少 解答 解由po1 2m知 o1o 4po1 8m 因为a1b1 ab 6m 正四棱柱abcd a1b1c1d1的体积v柱 ab2 o1o 62 8 288 m3 所以仓库的容积v v锥 v柱 24 288 312 m3 2 若正四棱锥的侧棱长为6m 则当po1为多少时 仓库的容积最大 解答 解设a1b1 am po1 hm 则0 h 6 o1o 4hm 连接o1b1 即a2 2 36 h2 类型三实际生活中的最值问题 例3已知一家公司生产某种品牌服装的年固定成本为10万元 每生产1千件需另投入2 7万元 设该公司一年内生产该品牌服装x千件并全部销售完 每千件的销售收入为r x 万元 且r x 1 求年利润w 万元 关于年产量x 千件 的函数解析式 解答 命题角度1利润最大问题 解当0 x 10时 2 当年产量为多少千件时 该公司在这一品牌服装的生产中所获得的年利润最大 并求出最大值 解答 解当年产量为9千件时 该公司在这一品牌服装的生产中所获得的年利润最大 最大利润为38 6万元 解决此类有关利润的实际应用题 应灵活运用题设条件 建立利润的函数关系 常见的基本等量关系有 1 利润 收入 成本 2 利润 每件产品的利润 销售件数 反思与感悟 跟踪训练3某商场销售某种商品的经验表明 该商品每日的销售量y 单位 千克 与销售价格x 单位 元 千克 满足关系式y 10 x 6 2 其中3 x 6 a为常数 已知当销售价格为5元 千克时 每日可售出该商品11千克 1 求a的值 解答 所以a 2 2 若该商品的成本为3元 千克 试确定销售价格x的值 使商场每日销售该商品所获得的利润最大 解答 所以商场每日销售该商品所获得的利润为 2 10 x 3 x 6 2 3 x 6 从而f x 10 x 6 2 2 x 3 x 6 30 x 4 x 6 由上表可知 x 4是函数f x 在区间 3 6 内的极大值点 也是最大值点 所以当x 4时 函数f x 取得最大值 且最大值等于42 答当销售价格为4元 千克时 商场每日销售该商品所获得的利润最大 于是 当x变化时 f x f x 的变化情况如下表 解答 例4有甲 乙两个工厂 甲厂位于一直线河岸的岸边a处 乙厂与甲厂在河的同侧 乙厂位于离河岸40km的b处 乙厂到河岸的垂足d与a相距50km 两厂要在此岸边合建一个供水站c 从供水站到甲厂和乙厂的水管费用分别为3a元 km和5a元 km 问供水站c建在岸边何处才能使水管费用最省 命题角度2费用 用材 最省问题 解如图 由题意知 只有点c位于线段ad上某一适当位置时 才能使总费用最省 设点c距点d为xkm 又设总的水管费用为y元 令y 0 解得x 30 在 0 50 上 y只有一个极值点 根据问题的实际意义 函数在x 30km处取得最小值 此时ac 50 x 20 km 供水站建在a d之间距甲厂20km处 可使水管费用最省 1 用料最省 成本最低问题是日常生活中常见的问题之一 解决这类问题要明确自变量的意义以及最值问题所研究的对象 正确书写函数表达式 准确求导 结合实际作答 2 利用导数的方法解决实际问题 当在定义区间内只有一个点使f x 0时 如果函数在这点有极大 小 值 那么不与端点值比较 也可以知道在这个点取得最大 小 值 反思与感悟 跟踪训练4为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗 房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层 某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层 每厘米厚的隔热层建造成本为6万元 该建筑物每年的能源消耗费用c 单位 万元 与隔热层厚度x 单位 cm 满足关系 c x 0 x 10 若不建隔热层 每年能源消耗费用为8万元 设f x 为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和 1 求k的值及f x 的表达式 解答 解设隔热层厚度为xcm 而建造费用为c1 x 6x 因此得隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和为 2 隔热层修建多厚时 总费用f x 达到最小 并求最小值 解答 当00 答当隔热层修建5cm厚时 总费用达到最小值为70万元 当堂训练 1 方底无盖水箱的容积为256 则最省材料时 它的高为a 4b 6c 4 5d 8 答案 2 3 4 5 1 解析 2 3 4 5 1 解析设底面边长为x 高为h 则v x x2 h 256 令s x 0 解得x 8 判断知当x 8时 s x 取得最小值 2 某产品的销售收入y1 万元 是产品x 千台 的函数 y1 17x2 生产总成本y2 万元 也是x的函数 y2 2x3 x2 x 0 为使利润最大 应生产a 9千台b 8千台c 6千台d 3千台 答案 2 3 4 5 1 解析 解析构造利润函数y y1 y2 18x2 2x3 x 0 y 36x 6x2 由y 0 得x 6 x 0舍去 x 6是函数y在 0 上唯一的极大值点 也是最大值点 2 3 4 5 1 答案 解析 3 将一段长100cm的铁丝截成两段 一段弯成正方形 一段弯成圆形 当正方形与圆形面积之和最小时 圆的周长为 cm 2 3 4 5 1 解析设弯成圆形的一段铁丝长为x 则另一段长为100 x 设正方形与圆形的面积之和为s 2 3 4 5 1 4 某厂生产某种产品x件的总成本 单位 元 为c x 1200 x3 且产品单价的平方与产品件数x成反比 若生产100件这样的产品 单价为50元 则要使总利润最大 产量应定为 件 解析 答案 2 3 4 5 1 25 解析设产品单价为a元 因为产品单价的平方与产品件数x成反比 即a2x k k为比例系数 2 3 4 5 1 由y 0 得x 25 当x 0 25 时 y 0 当x 25 时 y 0 所以当x 25时 y取得最大值 故要使总利润最大 产量应定为25件 2 3 4 5 1 5 某公司租地建仓库 每月土地占用费y1 单位 万元 与仓库到车站的距离成反比 而每月库存货物的运费y2 单位 万元 与到车站的距离成正比 如果在距离车站10千米处建仓库 这两项费用y1和y2分别为2万元和8万元 那么 要使这两项费用之和最小 仓库应建在离车站 千米处 解析 答案 5 令y 0 得x 5 x 5舍去 此点即为最小值点 故当仓库建在离车站5千米处时 两项费用之和最小 2 3 4 5 1 规律与方法 1 利用导数解决生活中最优化问题的基本思路解应用题首先要在阅读材料 理解题意的基础上 把实际问题抽象成数学问题 利用数学