苏教版选修22 1.4导数在实际生活中的应用 学案.docx

学习目标1.了解导数在解决实际问题中的作用.2.掌握利用导数解决简单的实际生活中的优化问题知识点生活中的优化问题1生活中经常遇到求用料最省、利润最大、效率最高等问题，这些问题通常称为优化问题2利用导数解决优化问题的实质是求函数最值3解决优化问题的基本思路：上述解决优化问题的过程是一个典型的数学建模过程类型一平面几何中的最值问题例1如图所示，在二次函数f(x)4xx2的图象与x轴所围成图形中有一个内接矩形abcd，求这个矩形面积的最大值解设点b的坐标为(x,0)，且0x2，f(x)4xx2图象的对称轴为x2，点c的坐标为(4x,0)，|bc|42x，|ba|f(x)4xx2.矩形面积为y(42x)(4xx2)16x12x22x3，y1624x6x22(3x212x8)，令y0，解得x2，0x2，x2.当0x0，函数单调递增；当2x2时，y0)要将直径为d的圆木锯成强度最大的横梁，断面的宽x应为_答案d解析设断面高为h，则h2d2x2.设横梁的强度函数为f(x)，则f(x)kxh2kx(d2x2)，0xd.令f(x)k(d23x2)0，解得xd(舍去负值)当0x0，f(x)单调递增；当dxd时，f(x)0r0，得2r；令y0，得0r2.所以当r2 米时，该容器的建造费用最小为96千元，此时l 米引申探究在本例中，若r(0,1，求最小建造费用解由例2(2)可知，y8r2在(0,1上单调递减，当r1时，ymin136.最小建造费用为136 千元反思与感悟(1)立体几何中的最值问题往往涉及空间图形的表面积、体积，在此基础上解决与实际相关的问题(2)解决此类问题必须熟悉简单几何体的表面积与体积公式，如果已知图形是由简单几何体组合而成，则要分析其组合关系，将图形进行拆分或组合，以便简化求值过程跟踪训练2周长为20 cm的矩形，绕一条边旋转成一个圆柱，则圆柱体积的最大值为_ cm3.答案解析设矩形的长为x cm，则宽为(10x) cm (0x0，当x(，10)时，v(x)0，当x时，v(x)max cm3.类型三实际生活中的最值问题例3已知一家公司生产某种品牌服装的年固定成本为10万元，每生产1千件需另投入2.7万元设该公司一年内生产该品牌服装x千件并全部销售完，每千件的销售收入为r(x)万元，且r(x)(1)求年利润w(万元)关于年产量x(千件)的函数解析式；(2)当年产量为多少千件时，该公司在这一品牌服装的生产中所获得的年利润最大，并求出最大值解(1)当010时，wxr(x)(102.7x)982.7x.所以w(2)当0x10时，令w8.10，得x9.所以当0x9时，w单调递增，当9x10时，令w2.70，得x，当10x0；当x时，w0，所以当x时，wmax3838.6，所以当年产量为9千件时，该公司在这一品牌服装的生产中所获得的年利润最大，最大利润为38.6万元反思与感悟解决此类有关利润的实际应用题，应灵活运用题设条件，建立利润的函数关系，常见的基本等量关系(1)利润收入成本(2)利润每件产品的利润销售件数跟踪训练3某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量y(单位：千克)与销售价格x(单位：元/千克)满足关系式y10(x6)2，其中3x6，a为常数已知销售价格为5元/千克时，每日可售出该商品11千克(1)求a的值；(2)若该商品的成本为3元/千克，试确定销售价格x的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大解(1)因为当x5时，y11，所以1011，所以a2.(2)由(1)可知，该商品每日的销售量为y10(x6)2，所以商场每日销售该商品所获得的利润为f(x)(x3)10(x6)2210(x3)(x6)2,3x6.从而f(x)10(x6)22(x3)(x6)30(x4)(x6)列表如下.x(3,4)4(4,6)f(x)0f(x)极大值f(4)由上表可得，x4是函数f(x)在区间(3,6)内的极大值点，也是最大值点所以当x4时，函数f(x)取得最大值为42.答当销售价格为4元/千克时，商场每日销售该商品所获得的利润最大例4已知a、b两地相距200 km，一只船从a地逆水行驶到b地，水速为8 km/h，船在静水中的速度为v km/h(80)，则y1kv2，当v12时，y1720，720k122，得k5.设全程燃料费为y，由题意得yy1，y.令y0，得v0(舍去)或v16，当v016，即v16 km/h时，全程燃料费最省，ymin32 000(元)；当v016，即v(8，v0时，y0，即y在(8，v0上为减函数，当vv0时，ymin(元)综上，当v016时，即v16 km/h时全程燃料费最省，为32 000元；当v016，即vv0时全程燃料费最省为元反思与感悟(1)用料最省、成本最低问题是日常生活中常见的问题之一，解决这类问题要明确自变量的意义以及最值问题所研究的对象正确书写函数表达式，准确求导，结合实际作答(2)利用导数的方法解决实际问题，当在定义区间内只有一个点使f(x)0时，如果函数在这点有极大(小)值，那么不与端点值比较，也可以知道在这个点取得最大(小)值跟踪训练4为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元该建筑物每年的能源消耗费用c(单位：万元)与隔热层厚度x(单位：cm)满足关系：c(x)(0x10)，若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元设f(x)为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和(1)求k的值及f(x)的表达式；(2)隔热层修建多厚时，总费用f(x)达到最小，并求最小值解(1)设隔热层厚度为x cm，由题设，每年能源消耗费用为c(x)，再由c(0)8，得k40，因此c(x)，而建造费用为c1(x)6x.因此得隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和为f(x)20c(x)c1(x)206x6x(0x10)(2)f(x)6.令f(x)0，即6，解得x5，x(舍去)当0x5时，f(x)0；当5x0，故当x5时，f(x)取到最小值，对应的最小值为f(5)6570.答当隔热层修建5 cm厚时，总费用达到最小值为70万元1方底无盖水箱的容积为256，则最省材料时，它的高为_答案4解析设底面边长为x，高为h，则v(x)x2h256，h.s(x)x24xhx24xx2，s(x)2x.令s(x)0，解得x8，判断知当x8时，s(x)取得最小值h4.2某产品的销售收入y1(万元)是产品x(千台)的函数，y117x2；生产总成本y2(万元)也是x的函数，y22x3x2(x0)，为使利润最大，应生产_千台答案6解析构造利润函数yy1y218x22x3(x0)，y36x6x2，令y0，得x6(x0舍去)，x6是函数y在(0，)上惟一的极大值点，也是最大值点3将一段长100 cm的铁丝截成两段，一段弯成正方形，一段弯成圆形，当正方形与圆形面积之和最小时，圆的周长为_ cm.答案解析设弯成圆形的一段铁丝长为x，则另一段长为100x.设正方形与圆形的面积之和为s，则正方形的边长a，圆的半径r.故s()2()2(0x100)因此s，令s0，则x.由于在(0,100)内，函数只有一个导数为0的点，问题中面积之和的最小值显然存在，故当x时，面积之和最小4要制作一个容积为4 m3，高为1 m的无盖长方体容器，已知底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，则该容器的最低总造价是_元答案160解析设底面长为x，由题意得底面宽为.设总造价为y，则y20x101(2x2)，即y20x80，y20，令y0，得x2.当x2时，ymin160.5某商品每件成本9元，售价30元，每星期卖出432件如果降低价格，销售量可以增加，且每星期多卖出的商品件数与商品单价的降低额x(单位：元，0x21)的平方成正比已知商品单价降低2元时，每星期多卖出24件(1)将一个星期的商品销售利润表示成x的函数；(2)如何定价才能使一个星期的商品销售利润最大？解(1)设商品降价x元，则多卖出的商品件数为kx2.若记商品一个星期的获利为f(x)，则有f(x)(30x9)(432kx2)(21x)(432kx2)由已知条件，得24k22，于是k6.所以f(x)6x3126x2432x9 072，x0,21(2)根据(1)得，f(x)18x2252x43218(x2)(x12)列表如下.x0,2)2(2,12)12(12,21f(x)00f(x)极小值f(2)极大值f(12)故当x12时，f(x)取得极大值因为f(0)9 072，f(12)11 664.所以定价为301218(元)，才能使一个星期的商品销售利润最大1利用导数解决生活中实际问题的一般步骤(1)分析实际问题中各量之间的关系，列出实