苏教版选修22 1.5.1曲边梯形的面积 学案.docx

1.5.1曲边梯形的面积学习目标1.了解“以直代曲”、“以不变代变”的思想方法.2.会求曲边梯形的面积和汽车行驶的路程知识点曲边梯形的面积思考1如何计算下列两图形的面积？ 答案直接利用梯形面积公式求解转化为三角形和梯形求解思考2如图，为求由抛物线yx2与直线x1，y0所围成的平面图形的面积s，图形与我们熟悉的“直边图形”有什么区别？答案已知图形是由直线x1，y0及yx2所围成的，可称为曲边梯形，曲边梯形的一条边为曲线段，而“直边图形”的所有边都是直线段梳理(1)曲边梯形：由直线xa，xb(ab)，y0和曲线yf(x)所围成的图形称为曲边梯形(如图所示)(2)求曲边梯形面积的方法将已知区间a，b等分成n个小区间，当分点非常多(n很大)时，可以认为f(x)在小区间上几乎没有变化(或变化非常小)，从而可以取小区间内任意一点xi对应的函数值f(xi)作为小矩形一边的长于是，可用f(xi)x来近似表示小曲边梯形的面积，这样，和式f(x1)xf(x2)xf(xn)x表示了曲边梯形面积的近似值(如图所示)(3)求曲边梯形面积的步骤：分割以直代曲作和逼近类型一求曲边梯形的面积例1求由直线x0，x1，y0和曲线yx(x1)围成的图形面积解(1)分割把区间0,1等分成n个小区间：0，简写作，(i1,2，n)每个小区间的长度为x.过各区间端点作x轴的垂线，从而得到n个小曲边梯形，它们的面积分别记作s1，s2，si，sn.(2)以直代曲用小矩形面积近似代替小曲边梯形面积，在小区间，上任取一点i(i1,2，n)，为了计算方便，取i为小区间的左端点，用f(i)的相反数f(i)()(1)为其一边长，以小区间长度x为另一边长的小矩形对应的面积近似代替第i个小曲边梯形面积(3)作和sif(i)x()(1)(i1,2，n)ssi(i)x()(1)021222(n1)2012(n1)n(n1)(2n1)(1)(4)逼近当分割无限变细，即x0(亦即n)时，(1)s，即当n时，有s.所以由直线x0，x1，y0和曲线yx(x1)围成的图形面积为.反思与感悟求曲边梯形的面积(1)思想：以直代曲(2)步骤：分割以直代曲作和逼近(3)关键：以直代曲(4)结果：分割越细，面积越精确(5)求和时可用到一些常见的求和公式，如123n；122232n2；132333n32.跟踪训练1求由抛物线yx2与直线y4所围成的曲边梯形的面积解yx2为偶函数，图象关于y轴对称，所求曲边梯形的面积应为抛物线yx2(x0)与直线x0，y4所围图形面积s阴影的2倍，下面求s阴影由得交点为(2,4)，如图所示，先求由直线x0，x2，y0和曲线yx2围成的曲边梯形的面积(1)分割将区间0,2 n等分，则x， 取i.(2)以直代曲、作和si2，s202122232(n1)2(1)(1)(3)逼近当n时，(1)(1).所求平面图形的面积为s阴影24.2s阴影，即抛物线yx2与直线y4所围成的曲边梯形的面积为.类型二求变速运动的路程例2当汽车以速度v做匀速直线运动时，经过时间t所行驶的路程svt.如果汽车做变速直线运动，在时刻t的速度为v(t)t22(单位：km/h)，那么它在1t2(单位：h)这段时间行驶的路程是多少？解将区间1,2等分成n个小区间，第i个小区间为1，1所以siv(1).snsiv(1)(1)2233n021222(n1)202462(n1)3.当n时，3.所以s，所以这段时间行驶的路程为 km.引申探究本例中求小曲边梯形面积时若用另一端点值作为高，试求出行驶路程，比较两次求出的结果是否一样？解将区间1,2等分成n个小区间，第i个小区间为1，1所以siv(1).snsiv(1)31222(n1)2n22462(n1)2n3.当n时，3.所以s，所以这段时间行驶的路程为 km.所以分别用小区间的两个端点求出的行驶路程是相同的反思与感悟求变速直线运动路程的问题，方法和步骤类似于求曲边梯形的面积，用“以直代曲”“逼近”的思想求解求解过程为：分割、以直代曲、作和、逼近应特别注意变速直线运动的时间区间跟踪训练2一辆汽车在笔直的公路上变速行驶，设汽车在时刻t的速度为v(t)t25(t的单位：h，v的单位：km/h)，试计算这辆汽车在0t2这段时间内汽车行驶的路程s(单位：km)解分割在时间区间0,2上等间隔地插入(n1)个分点，将区间分成n个小区间，记第i个小区间为，(i1,2，n)，t，把汽车在时间段0，2上行驶的路程分别记为s1，s2，sn，则有ssi.以直代曲取i(i1,2，n)，siv()t()25(i1,2，n)作和snsi101222n210108(1)(1)10.逼近当n时，s.因此，行驶的路程为 km.1把区间1,3 n等分，所得n个小区间的长度均为_答案解析区间1,3的长度为2，故n等分后，每个小区间的长度均为.2若1 n的力能使弹簧伸长2 cm，则使弹簧伸长12 cm时，克服弹力所做的功为_答案0.36 j3一物体沿直线运动，其速度v(t)t，这个物体在t0到t1这段时间内所走的路程为_答案4直线y0，x1，x2，曲线yx2围成的曲边梯形的面积为_答案5求由直线x0，x1，y0及曲线f(x)x2所围成的图形的面积解(1)分割将区间0,1等分成n个小区间：0，1，每个小区间的长度为x.过各区间端点作x轴的垂线，将曲边梯形分成n个小曲边梯形，它们的面积分别记作s1，s2，sn.(2)以直代曲在区间，上，用处的函数值()2作为高，以小区间的长度x作为底边长的小矩形的面积近似代替第i个小曲边梯形的面积，即si()2.(3)作和曲边梯形的面积为ssi ()20()2()2()21222(n1)2(1)(1)(4)逼近当n时，(1)(1).即曲边梯形的面积为.1求曲边梯形面积和汽车行驶的路程的步骤(1)分割：n等分区间a，b(2)以直代曲：取点ixi1，xi(3)作和：(i).(4)逼近：当n时，(i)s.“以直代曲”也可以用较大的矩形来代替曲边梯形，为了计算方便，可以取区间上的一些特殊点，如区间的端点(或中点)2变速运动的路程，变力做功等问题可转化为曲边梯形面积问题课时作业一、填空题1当n很大时，函数f(x)x2在区间，上的值，可以近似代替为_答案f()2在求由曲线y与直线x1，x3，y0所围成图形的面积时，若将区间n等分，并用每个区间的右端点的函数值近似代替每个小曲边梯形的高，则第i个小曲边梯形的面积si_.答案解析每个区间的长度为，第i个小曲边梯形的高为，第i个小曲边梯形的面积为.3对于由直线x1，y0和曲线yx3所围成的曲边三角形，把区间3等分，则曲边三角形面积的近似值(取每个区间的左端点)是_答案4把区间a，b(ab)n等分之后，第i个小区间是_答案a(ba)，a(ba)解析区间a，b(ab)长度为(ba)，n等分之后，每个小区间长度均为，所以第i个小区间是a(ba)，a(ba)(i1,2，n)5在区间0,8上插入9个等分点之后，则所分的小区间长度x_，第5个小区间是_答案0.83.2,46在求由xa，xb(ab)，yf(x) (f(x)0)及y0围成的曲边梯形的面积s时，在区间a，b上等间隔地插入(n1)个分点，分别过这些分点作x轴的垂线，把曲边梯形分成n个小曲边梯形，下列说法中正确的个数是_n个小曲边梯形的面积和等于s；n个小曲边梯形的面积和小于s；n个小曲边梯形的面积和大于s；n个小曲边梯形的面积和与s之间的大小关系无法确定答案1解析只有正确7若做变速直线运动的物体v(t)t2，在0ta内经过的路程为9，则a的值为_答案3解析将区间0，an等分，记第i个区间为，(i1,2，n)，此区间长为，用小矩形面积()2近似代替相应的小曲边梯形的面积，则 ()2(1222n2)(1)(1)近似地等于速度曲线v(t)t2与直线t0，ta，t轴围成的曲边梯形的面积当n时，(1)(1)9，9，解得a3.8. _.答案解析 (12n).9已知某物体运动的速度vt，t0,10，若把区间10等分，取每个小区间右端点处的函数值为近似小矩形的高，则物体运动的路程近似值为_答案55解析把区间0,1010等分后，每个小区间右端点处的函数值为n(n1,2，10)，每个小区间的长度为1.物体运动的路程近似值s1(1210)55.10当n很大时，可以代替函数f(x)x2在区间，上的值有_个f()；f()；f()；f()答案3解析因为当n很大时，区间，上的任意的取值都可以代替，又，故能代替的有.11直线x0，x2，y0与曲线yx21围成曲边梯形，将区间0,2五等分，按照区间左端点和右端点估计曲边梯形面积分别为_、_.答案3.925.52解析分别以小区间左、右端点的纵坐标为高，求所有小矩形面积之和s1(0210.4210.8211.2211.621)0.43.92；s2(0.4210.8211.2211.621221)0.45.52.二、解答题12有一辆汽车在笔直的公路上变速行驶，在时刻t的速度为v(t)3t22(单位：km/h)，那么该汽车在0t2(单位：h)这段时间内行驶的路程s(单位：km)是多少？解(1)分割在时间区间0,2上等间隔地插入n1个分点，将它分成n个小区间，记第i个小区间为，(i1,2，n)，其长度为t.每个时间段上行驶的路程记为si(i1,2，n)(2)以直代曲取i(i1,2，n)，显然有siv()t3()22(i1,2，n)(3)作和snsi()(1222n2)448(1)(1)4.(4)逼近当n时，8(1)(1)412.所以这段时间内行驶的路程为12 km.13如图所示，求直线x0，x3，y0与二次函数f(x)x22x3所围成的曲边梯