苏教版选修22 1.3.2极大值与极小值(二) 学案.docx

1.3.2极大值与极小值(二)学习目标1.进一步理解极值的概念.2.会应用极值解决相关问题1极大值与导数之间的关系xx1左侧x1x1右侧f(x)f(x)0f(x)0f(x)0f(x)增极大值f(x1)减2.极小值与导数之间的关系xx2左侧x2x2右侧f(x)f(x)0f(x)减极小值f(x2)增类型一求函数的极值例1设f(x)aln xx1，其中ar，曲线yf(x)在点(1，f(1)处的切线垂直于y轴(1)求a的值；(2)求函数f(x)的极值解(1)f(x).由题意，曲线在x1处的切线斜率为0，即f(1)0，从而a0，解得a1.(2)由(1)知f(x)ln xx1(x0)，f(x).令f(x)0，解得x11，x2(舍去)当x(0,1)时，f(x)0，故f(x)在(1，)上为增函数故f(x)在x1处取得极小值，极小值为f(1)3.反思与感悟(1)研究函数首先要研究其定义域(2)令导函数等于零，求出使导函数等于零的自变量的值(3)正确列出表格，使区间不重不漏，界点清楚跟踪训练1设函数f(x)ax3(2a1)x26x(ar)(1)当a1时，求曲线yf(x)在点(1，f(1)处的切线方程；(2)当a时，求f(x)的极大值和极小值解(1)当a1时，f(x)x3x26x，f(x)3x23x6，kf(1)3366，f(1)，所以y6(x1)，即12x2y10为所求切线的方程(2)当a时，f(x)x3x26x，f(x)x2x6.令f(x)0，得x2或x3.当x变化时，f(x)，f(x)的变化状态如下表：x(，2)2(2,3)3(3，)f(x)00f(x)所以f(x)在(，2)上是增函数，在(2,3)上是减函数，在(3，)上是增函数，所以f(x)的极大值为f(2)，f(x)的极小值为f(3).类型二极值的综合应用例2已知函数f(x)x36x29x3，若函数yf(x)的图象与yf(x)5xm的图象有三个不同的交点，求实数m的取值范围解由f(x)x36x29x3，可得f(x)3x212x9，f(x)5xm(3x212x9)5xmx2x3m，则由题意可得x36x29x3x2x3m有三个不相等的实根，即g(x)x37x28xm的图象与x轴有三个不同的交点，g(x)3x214x8(3x2)(x4)，令g(x)0得x或x4.当x变化时，g(x)，g(x)的变化情况如下表：x(，)(，4)4(4，)g(x)00g(x)m16m则函数g(x)的极大值为g()m，极小值为g(4)16m.由g(x)的图象与x轴有三个不同交点，得解得16m.反思与感悟极值问题的综合应用主要涉及极值的正用和逆用，以及与单调性问题的综合，题目着重考查已知与未知的转化，以及函数与方程的思想、分类讨论的思想在解题中的应用，在解题过程中，熟练掌握单调区间问题以及极值问题的基本解题策略是解决综合问题的关键跟踪训练2已知a为实数，函数f(x)x33xa.(1)求函数f(x)的极值，并画出其图象(草图)；(2)当a为何值时，方程f(x)0恰好有两个实数根？解(1)由f(x)x33xa，得f(x)3x23，令f(x)0，得x1或x1.当x(，1)时，f(x)0；当x(1，)时，f(x)0；在区间(x1，x2)，(x3，b)内f(x)0；当x(0,2)时，f(x)0.所以f(x)的增区间是(，0)和(2，)，减区间是(0,2)，极大值是f(0)，极小值是f(2)3若函数f(x)x2x在x0处有极小值，则x0_.答案解析f(x)2xx2xln 2，令f(x)0，得x.4设函数f(x)6x33(a2)x22ax.若f(x)的两个极值点为x1，x2，且x1x21，则实数a的值为_答案9解析f(x)18x26(a2)x2a.由已知f(x1)f(x2)0，从而x1x21，所以a9.5设函数f(x)的定义域为r，x0(x00)是f(x)的极大值点，以下结论一定正确的是_(填序号)xr，f(x)f(x0)；x0是f(x)的极小值点；x0是f(x)的极小值点；x0是f(x)的极小值点答案解析不妨取函数f(x)x3x，则x为f(x)的极大值点，但f(3)f()，排除；取函数f(x)x(x1)2，则x1是f(x)的极大值点，但1不是f(x)的极小值点，排除；f(x)x(x1)2，1不是f(x)的极小值点，排除，f(x)的图象与f(x)的图象关于原点对称，由函数图象的对称性可得x0应为函数f(x)的极小值点，填.1已知函数极值情况，逆向应用，确定函数的解析式，进而研究函数性质时，需注意(1)常根据取极值点处导数为0和极值两个条件列方程组，利用待定系数法求解(2)因为导数值等于零不是此点取极值的充要条件，所以利用待定系数法求解后必须验证根的合理性2运用极值研究曲线交点问题时要注意运用数形结合、等价转化等数学思想方法课时作业一、填空题1已知函数f(x)x3x22ax1.若函数f(x)在(1,2)上有极值，则实数a的取值范围为_答案(，4)2已知函数y3xx3m的极大值为10，则m的值为_答案8解析y33x23(1x)(1x)，令y0得x11，x21，经判断知极大值为f(1)2m10，m8.3函数f(x)x34x4的图象与直线ya恰有三个不同的交点，则实数a的取值范围是_答案(，)解析f(x)x34x4，f(x)x24(x2)(x2)令f(x)0，得x2或x2.当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：x(，2)2(2,2)2(2，)f(x)00f(x)极大值极小值当x2时，函数取得极大值f(2)；当x2时，函数取得极小值f(2).且f(x)在(，2)上递增，在(2,2)上递减，在(2，)上递增根据函数单调性、极值情况，它的图象大致如图所示，结合图象知a0)，令f(x)0，得2a，设(x)，则(x).易知(x)在(0,1)上递增，在(1，)上递减，大致图象如下图若f(x)有两个极值点，则y2a和y(x)图象有两个交点，02a1，0a.5若函数f(x)x3x2ax4在区间(1,1)上恰有一个极值点，则实数a的取值范围为_答案1,5)解析f(x)3x22xa，函数f(x)在区间(1,1)上恰有一个极值点，即f(x)0在(1,1)内恰有一个根又函数f(x)3x22xa的对称轴为x.应满足1a0，b0，且函数f(x)4x3ax22bx2在x1处有极值，则ab的最大值为_答案9解析f(x)12x22ax2b，f(x)在x1处有极值，f(1)122a2b0，ab6.又a0，b0，ab2，26，ab9，当且仅当ab3时等号成立，ab的最大值为9.7如果函数yf(x)的导函数的图象如图所示，给出下列判断：函数yf(x)在区间内单调递增；函数yf(x)在区间内单调递减；函数yf(x)在区间(4,5)内单调递增；当x2时，函数yf(x)有极小值；当x时，函数yf(x)有极大值则上述判断正确的是_(填序号)答案解析函数的单调性由导数的符号确定，当x(，2)时，f(x)0，所以f(x)在(，2)内单调递减，同理f(x)在(2,4)内单调递减，在(2,2)内单调递增，在(4，)内单调递增，所以可排除和，可填.由于函数在x2的左侧递增，右侧递减，所以当x2时，函数有极大值；而在x的左右两侧，函数的导数都是正数，故函数在x的左右两侧均单调递增，所以x不是函数的极值点排除和.8已知f(x)x3ax2(a6)x1有极大值和极小值，则a的取值范围为_答案(，3)(6，)解析f(x)3x22axa6，f(x)的图象是开口向上的抛物线，只有当4a212(a6)0时，图象与x轴的左交点的左、右两侧f(x)的值分别大于零、小于零，右交点左、右两侧f(x)的值分别小于零、大于零，所以才会有极大值和极小值由4a212(a6)0得a6或a0)的极大值为正数，极小值为负数，则a的取值范围是_答案(，)解析f(x)3x23a2(a0)，当xa时，f(x)有极小值，当xa时，f(x)有极大值由题意得解得a.二、解答题11已知函数f(x)x3(m3)x2(m6)x(xr，m为常数)在区间(1，)内有两个极值点，求实数m的取值范围解f(x)x2(m3)xm6.因为函数f(x)在(1，)内有两个极值点，所以导数f(x)x2(m3)xm6在(1，)内与x轴有两个不同的交点，如图所示所以解得m3.故实数m的取值范围是(3，)12设a为实数，函数f(x)x3x2xa.(1)求f(x)的极值；(2)当a在什么范围内取值时，曲线yf(x)与x轴仅有一个交点？解(1)f(x)3x22x1.令f(x)0，则x或x1.当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：x1(1，)f(x)00f(x)极大值极小值f(x)的极大值是f a，极小值是f(1)a1.(2)函数f(x)x3x2xa(x1)2(x1)a1，由此可知，x取足够大的正数时，有f(x)0，x取足够小的负数时，有f(x)0，曲线yf(x)与x轴至少有一个交点由(1)知f(x)极大值fa，f(x)极小值f(1)a1.曲线yf(x)与x轴仅有一个交点，(a)(a1)0，a或a1，当a(1，)时，曲线yf(x)与x轴仅有一个交点13已知x3是函数f(x)aln(1x)x210x的一个极值点(1)求a；(2)求函数f(x)的单调区间；(3)若直线yb与函数yf(x)的图象有3个交点，求b的取值范围解(1)因为f(x)2x10，所以f(3)6100，因此a16.(2)由(1)知，f(x)16ln(1x)x210x，x(1，)f(x)，当x(1,1)(3，)时，f(x)0；当x(1,3)时，f(x)0，所以f(x)的单调增区间是(1,1)和(3，)，f(x)的单调减区间是(1,3)(3)由(2)知，f(x)在(1,1)内单调递增，在(1,3)内单调递减，在(3，)内单调递增，且当x1或x3时，f(x)0，所以f(x)的极大值为f(1