苏教版选修22 2.3 数学归纳法 第2课时 课件（28张）.ppt

第2课时数学归纳法的应用 第2章推理与证明 学习导航 第2章推理与证明 数学归纳法的主要应用数学归纳法是直接证明的一种重要方法 与 有关的 及 等问题 都可以考虑用数学归纳法推证 正整数 恒等式 不等式 数的整除性 数列的通项 前n项和 1 用数学归纳法证明 当n为正奇数时 xn yn能被x y整除 时 第一步验证n 1时 命题成立 第二步归纳假设应写成 2 用数学归纳法证明3n n3 n 3 n n 第一步应验证 解析 n的最小值为3 所以第一步验证n 3时是否成立 假设n 2k 1 k n 时命题正确 再推证n 2k 1时命题正确 n 3时是否成立 3 用数学归纳法证明1 2 3 2n 1 n 1 2n 1 时 从 n k 到 n k 1 左边需增添的代数式是 解析 当n k时 左边共有2k 1个连续自然数相加 即1 2 3 2k 1 所以当n k 1时 左边共有2k 3个连续自然数相加 即1 2 3 2k 1 2k 2 2k 3 所以左边需增添的代数式是 2k 2 2k 3 2k 2 2k 3 用数学归纳法证明几何问题 证明 1 当n 1时 一个圆把平面分成两个部分 且f 1 12 1 2 2 则当n 1时命题成立 2 假设当n k k n 时 命题成立 即k个圆把平面分成f k k2 k 2个部分 如果增加满足条件的任意一个圆 则这个圆必与前k个圆交于2k个点 这2k个点把这个圆分成2k段弧 每段弧把它所在的原有平面分成两部分 因此 这时平面被分割成的总数在原来的基础上又增加了2k个 即有f k 1 f k 2k k2 k 2 2k k 1 2 k 1 2 即当n k 1时 命题也成立 由 1 2 可知 这n个圆把平面分成f n n2 n 2个部分 方法归纳 1 用数学归纳法可以证明与正整数n有关的几何问题 常见的形式有交点的个数问题 直线的条数问题 划分区域问题 以及构成的角度问题 2 用数学归纳法证明几何问题的关键是 找项 即几何元素从k个变成 k 1 个时 所证的几何量将增加多少 这需用到几何知识或借助于几何图形来分析 在实在分析不出来的情况下 可以采用 偷懒 的方法 即将n k 1和n k分别代入要证明的式子 然后作差 即可求出增加量 然后只需稍加证明即可 这也是用数学归纳法证明几何问题的一大技巧 求证 对任意n n x2n 1 y2n 1都能被x y整除 链接教材p88例4 证明 1 当n 1时 x2 1 1 y2 1 1 x y 能被x y整除 结论成立 2 假设当n k k n 时 x2k 1 y2k 1能被x y整除 则当n k 1时 用数学归纳法证明整除问题 x2k 1 y2k 1 x2k 1 x2y2k 1 x2y2k 1 y2k 1 x2 x2k 1 y2k 1 x2 y2 y2k 1 由归纳假设知x2k 1 y2k 1能被x y整除 而x2 y2也能被x y整除 所以x2k 1 y2k 1能被x y整除 即当n k 1时命题也成立 由 1 和 2 知 命题对任意n n 都成立 方法归纳证明整除性问题的关键是 凑项 即从f k 1 的式子中 凑 出f k 的形式 常采用 拆项 增项 减项 和因式分解等手段 凑完项后式子总会含有两部分 一部分是归纳假设 即f k 另一部分是一定能被题中的数 或式 整除的量 2 用数学归纳法证明42n 1 3n 2 n n 能被13整除 证明 1 当n 1时 42 1 31 2 64 27 91 13 7能被13整除 命题成立 2 假设当n k时 命题成立 即42k 1 3k 2能被13整除 则当n k 1时 42 k 1 1 3k 1 2 16 42k 1 3 3k 2 16 42k 1 16 3k 2 13 3k 2 16 42k 1 3k 2 13 3k 2 42k 1 3k 2和 13都能被13整除 当n k 1时命题也成立 由 1 2 可以断定 对于任意的n n 42n 1 3n 2都能被13整除 用数学归纳法证明某些归纳猜想问题 方法归