苏教版选修23 1.2 排 列(二) 学案.docx

中国教育出版%#&网学习目标1.进一步加深对排列概念的理解.2.掌握几种有限制条件的排列，能应用排列数公式解决简单的实际问题.知识点一排列数公式an(n1)(n2)(nm1)(n，mn*，mn).an(n1)(n2)21n！(叫做n的阶乘)另外，我们规定0！1.来#源&:zzst*知识点二应用排列与排列数公式求解实际问题中的计数问题的基本步骤题型一数字排列的问题例1用0,1,2,3,4,5这六个数字，(1)可以组成多少个数字不重复的三位数？(2)可以组成多少个数字允许重复的三位数？(3)可以组成多少个数字不允许重复的三位奇数？(4)可以组成多少个数字不重复的小于1 000的自然数？(5)可以组成多少个大于3 000，小于5 421的不重复的四位数？解(1)分三步：先选百位数字，由于0不能作百位数字，因此有5种选法；十位数字有5种选法；个位数字有4种选法.由分步计数原理知所求三位数共有554100(个).(2)分三步：百位数字有5种选法；十位数字有6种选法；个位数字有6种选法.故所求三位数共有566180(个).(3)分三步：先选个位数字，有3种选法；再选百位数字，有4种选法；选十位数字也有4种选法，所以所求三位奇数共有34448(个).(4)分三类：一位数共有6个；两位数共有5525(个)；三位数共有554100(个).因此，比1 000小的自然数共有625100131(个).(5)分四类：千位数字为3,4之一时，共有2543120(个)；千位数字为5，百位数字为0,1,2,3之一时，共有44348(个)；千位数字为5，百位数字为4，十位数字为0,1之一时，共有236(个)；还有5 420也是满足条件的1个.故所求四位数共1204861175(个).来源:中%#国教&育出版网反思与感悟排列问题的本质是“元素”占“位子”问题，有限制条件的排列问题的限制条件主要表现在某元素不排在某个位子上，或某个位子上不排某个元素.解决此类问题的方法主要按“优先”原则，即优先排特殊元素或优先考虑特殊位子，若一个位子安排的元素影响另一个位子的元素个数时，应分类讨论.跟踪训练1用0,1,2，9十个数字可组成多少个满足以下条件的且没有重复数字的数：(1)五位奇数；(2)大于30 000的五位偶数.来源:zzstep.%com&解(1)要得到五位奇数，末位应从1,3,5,7,9五个数字中取，有5种取法；取定末位数字后，首位就有除这个数字和0之外的8种不同取法；首末两位取定后，十个数字还有八个数字可供中间的十位、百位与千位三个数位选取，共有a种不同的排列方法.因此由分步计数原理共有58a13 440个没有重复数字的五位奇数.中*国教育%出版#网(2)要得偶数，末位应从0,2,4,6,8中选取，而要得比30 000大的五位偶数，可分两类：中国教&育出%版*网末位数字从0,2中选取，则首位可取3,4,5,6,7,8,9中任一个，共有7种选取方法，其余三个数位可从除首末两个数位上的数字之外的八个数字中选取，共a种取法.所以共有27a种不同情况.中国教*育&%出版网末位数字从4,6,8中选取，则首位应从3,4,5,6,7,8,9中除去末位数字的六个数字中选取，其余三个数位仍有a种选法，所以共有36a种不同情况.由分类计数原理，比30 000大的无重复数字的五位偶数共有27a36a10 752(个).题型二排队问题来源:#中国教育出版网%例23名男生，4名女生，按照不同的要求排队，求不同的排队方案的方法种数：(1)选5名同学排成一行；来源#:&zzstep%.com(2)全体站成一排，其中甲只能在中间或两端；(3)全体站成一排，其中甲、乙必须在两端；(4)全体站成一排，其中甲不在最左端，乙不在最右端；(5)全体站成一排，男、女生各站在一起；来源:中国教育出&*#版网(6)全体站成一排，男生必须排在一起；(7)全体站成一排，男生不能排在一起；(8)全体站成一排，男、女生各不相邻；(9)全体站成一排，甲、乙中间必须有2人；来&源:%中国教*育#出版网(10)全体站成一排，甲必须在乙的右边；(11)全体站成一排，甲、乙、丙三人自左向右顺序不变；(12)排成前后两排，前排3人，后排4人.解(1)无限制条件的排列问题，只要从7名同学中任选5名排列，即可得共有na765432 520(种).(2)(直接分步法)先考虑甲有a种方案，再考虑其余6人全排a，故naa2 160(种).(3)(直接分步法)先安排甲、乙有a种方案，再安排其余5人全排a，故naa240(种).(4)方法一(直接分类法)按甲是否在最右端分两类：第一类：甲在最右端有n1a(种)；第二类：甲不在最右端时，甲有a个位置可选，而乙也有a个位置，而其余5人全排a，n2aaa.故nn1n2aaaa3 720(种).方法二(间接法)无限制条件的排列数共有a，而甲或乙在左端(右端)的排法有a，且甲在左端且乙在右端的排法有a，故na2aa3 720(种).方法三(直接分步法)按最左端优先安排分步.对于左端除甲外有a种排法，余下六个位置全排有a，但减去乙在最右端的排法aa种，故naaaa3 720(种).(5)相邻问题(捆绑法)男生必须站在一起，是男生的全排列，有a种排法，女生必须站在一起，是女生的全排列，有a种排法，全体男生、女生各视为一个元素，有a种排法，由分步计数原理知，共有aaa288(种).(6)(捆绑法)即把所有男生视为一个元素，与4名女生组成5个元素全排，故naa720(种).(7)即不相邻问题(插空法)：先排女生共a种排法，男生在4个女生隔成的5个空中安排有a种排法，中国教育&出*版网#故naa1 440(种).(8)对比(7)让女生插空：naa144(种).(9)(捆绑法)任取2人与甲、乙组成一个整体，与余下3个元素全排，故n(aa)a960(种).(10)甲与乙之间的左右关系各占一半，故n2 520(种).(11)甲、乙、丙自左向右顺序保持不变，即为所有甲、乙、丙排列的，故n840(种).(12)直接分步完成共有aa5 040(种).反思与感悟排队问题除涉及特殊元素、特殊位置外，还往往涉及相邻、不相邻、定序等问题.排队问题的解题策略：来%源#*:中教网(1)对于相邻问题，可采用“捆绑法”解决.即将相邻的元素视为一个整体进行排列.来源:中&国教育出#*版网(2)对于不相邻问题，可采用“插空法”解决.即先排其余的元素，再将不相邻的元素插入空中.(3)对于定序问题，可采用“除阶乘法”解决.即用不限制的排列数除以顺序一定元素的全排列数.跟踪训练2分别求出符合下列要求的不同排法的种数：(1)6名学生排3排，前排1人，中排2人，后排3人；(2)6名学生排成一排，甲不在排头也不在排尾；(3)6人排成一排，甲、乙不相邻.解(1)分排与直排一一对应，故排法种数为a720.(2)甲不能排头尾，让受特殊限制的甲先选位置，有a种选法，然后其他5人排，有a种排法，故排法种数为aa480.(3)甲、乙不相邻，第一步除甲、乙外的其余4人先排好；第二步，甲、乙在已排好的4人的左、右及之间的空位中排，共有aa480种排法.题型三排列的综合应用来源:中*国教育出版网&#例3从数字0,1,3,5,7中取出不同的三个数作系数，可以组成多少个不同的一元二次方程ax2bxc0？其中有实根的方程有多少个？解先考虑组成一元二次方程的问题.首先确定a，只能从1,3,5,7中选一个，有a种，然后从余下的4个数中任选两个作b，c，有a种.由分步计数原理知，共组成一元二次方程aa48(个).方程要有实根，必须满足b24ac0.分类讨论如下：当c0时，a，b可以从1,3,5,7中任取两个，有a种；当c0时，分析判别式知b只能取5,7中的一个.当b取5时，a，c只能取1,3这两个数，有a种；当b取7时，a，c可取1,3或1,5这两组数，有2a种.由分类计数原理知，有实根的一元二次方程共有aa2a18(个).来&源:中教网%反思与感悟该例的限制条件较隐蔽，需仔细分析，一元二次方程中a0需要考虑到，而对有实根的一元二次方程需有0.这里有两层意思：一是a不能为0；二是要保证b24ac0，所以需先对c能否取0进行分类讨论.实际问题中，既要能观察出是排列问题，又要能搞清哪些是特殊元素，还要根据问题进行合理分类、分步，选择合适的解法，逐渐掌握解决问题的基本思想.跟踪训练3从1,2,3，9这9个数字中任取2个不同的数分别作为一个对数的底数和真数，一共可以得到多少个不同的对数值？其中比1大的有几个？解从2,3，9这8个数中任取2个数组成对数，有a个，在这些对数值中，log24log39，log42log93，log23log49，log32log94，重复计数4个，又1不能作为对数的底数，1作为真数时，不论底数为何值，其对数值均为0.中&国教育*%出版网所以可以得到a4153(个)不同的对数值.要求对数值比1大，分类完成：底数为2时，真数从3,4,5，9中任取一个，有7种选法；底数为3时，真数从4,5，9中任取一个，有6种选法；依次类推，当底数为8时，真数只能取9，故有765432128(个).但其中log24log39，log23log49，所以其中比1大的对数值有28226(个).1.用1,2,3,4,5这5个数字，组成无重复数字的三位数，其中奇数共有_个.答案36解析分2步完成：个位必为奇数，有a种选法；从余下的4个数中任选2个排在三位数的百位、十位上，有a种选法.由分步计数原理，共有aa36个无重复数字的三位奇数.2.6人站成一排，甲、乙、丙3个人不能都站在一起的排法种数为_.w#ww.zzs*答案576解析(间接法)甲、乙、丙三人在一起的排法种数为aa；不考虑任何限制，6人的全排列有a.符合题意的排法种数为aaa576.3.将序号分别为1,2,3,4,5的5张参观券全部分给4人，每人至少1张，如果使分给同一人的2张参观券连号，那么不同的分法种数是_.答案96解析5张参观券全部分给4人，分给同一人的2张参观券连号，方法数为：1和2,2和3,3和4,4和5，四种连号，其他号码各为一组，分给4人，共有4a96种.4.将红、黄、蓝、白、黑5种颜色的小球，放入红、黄、蓝、白、黑5种颜色的小口袋中，若不允许有空袋，且红口袋中不能装入红球，则有_种不同的放法.答案96解析红口袋不能装入红球，红球只能放在黄、蓝、白、黑4种颜色的口袋中，红球有a种放