人教B版选修45 绝对值不等式的解法 课件（37张）.ppt

高中数学人教b版选修4 5不等式选讲 四川省成都市新都一中肖宏 no 1middleschool mylove no 1middleschool mylove 第5课时绝对值不等式的解法 你能把 2a2 a 1 x 1 等式子中的绝对值去掉吗 不等式 x 3的解集是什么呢 no 1middleschool mylove 预学1 绝对值的几何意义 a 其几何意义是在数轴上a对应的点到原点的距离 练一练 已知 x y 3 x y 1 0 求x y no 1middleschool mylove 解析 由绝对值的概念可知 x y 3 0 x y 1 0 所以由已知可得 解得 no 1middleschool mylove 预学2 根据绝对值的几何意义解不等式 x a一般地 如果a 0 那么从绝对值的几何意义看 x a表示数轴上到原点的距离大于a的点的集合 故 x a xa 因此 不等式 x a的解集是 a a no 1middleschool mylove 议一议 解不等式x2 2 x 3 0 解析 法一 当x 0时 原不等式可化为x2 2x 3 0 不等式的解为x 3 当x0 不等式的解为x3或x0 即不等式 x 2 2 x 3 0 x 3 x 1 0 x 3 0 原不等式的解集为 x x 3或x 3 no 1middleschool mylove 预学3 根据绝对值的几何意义解不等式 x x1 a如果a是一个正实数 那么对于绝对值不等式 x x1 a 我们有 x x1 a x x1a xx1 a no 1middleschool mylove 练一练 已知a x x 2 5 b x 3 x 1 答案 x x 7或x 1 no 1middleschool mylove 预学4 1 ax b c和 ax b c a 0 c 0 型不等式的解法 ax b c ax b c或ax b c x 或x ax b c c ax b c x no 1middleschool mylove 2 x a x b c和 x a x b c型不等式的解法 解法1 利用绝对值不等式的几何意义求解 解法2 利用分类讨论思想 去掉绝对值符号后求解 解法3 通过构造函数 利用函数的图象和零点求解 no 1middleschool mylove 练一练 已知函数f x x 1 x 2 1 把函数y f x 去掉绝对值写成分段函数的形式 并画出函数y f x 的图象 2 说出函数y f x 的最小值及对应的x的值或集合 3 解不等式f x 5 no 1middleschool mylove 解析 1 f x 图象如图所示 2 由图象可知 f x min 3 对应的x的集合为 1 2 no 1middleschool mylove 3 f x 5等价于 解得 2 x 3 所以f x 5的解集为 2 3 no 1middleschool mylove 1 含绝对值的不等式的解法例1 解不等式 x 3 2x 1 1 方法指导 利用零点分段法求解 解析 当x 3时 原不等式化为 x 3 1 2x 1 解得x 10 x 3 no 1middleschool mylove 当 3 x2 x 2 综上所述 不等式的解集为 x x2 no 1middleschool mylove 变式训练1 设函数f x 2x 1 2x 3 x r 1 解不等式f x 5 2 若g x 的定义域为r 求实数m的取值范围 no 1middleschool mylove 解析 1 原不等式等价于 因此不等式的解集为 no 1middleschool mylove 2 由于g x 的定义域为r 则f x m 0在r上无解 又f x 2x 1 2x 3 2x 1 2x 3 2 所以f x 的最小值为2 所以 m 2 所以实数m的取值范围为 2 no 1middleschool mylove 2 含参数的绝对值不等式问题例2 已知不等式 x 1 x 3 a 1 若不等式有解 2 若不等式的解集为r 3 若不等式的解集为 分别求出a的取值范围 方法指导 先利用绝对值的几何意义 求出 x 1 x 3 的最值 再结合题目条件求解 no 1middleschool mylove 解析 由 x 1 x 3 x 1 x 3 4 x 3 x 1 x 3 x 1 4 可得 4 x 1 x 3 4 1 若不等式有解 则a 4 2 若不等式的解集为r 则a 4 3 若不等式的解集为 则a 4 no 1middleschool mylove 变式训练2 设函数f x x x a a 0 1 证明 f x 2 2 若f 3 5 求a的取值范围 no 1middleschool mylove 解析 1 由绝对值不等式的几何意义可知 f x min a 2 当且仅当a 1时 取等号 所以f x 2 2 因为f 3 5 所以 3 a 3 5 3 a 3 5 a 3 2 2 a 3 2 解得 a no 1middleschool mylove 3 绝对值不等式的应用例3 已知函数f x m x 1 2 x 1 1 当m 5时 求不等式f x 2的解集 2 若二次函数y x2 2x 3与函数f x 的图象恒有公共点 求实数m的取值范围 方法指导 1 将要解的不等式等价转化为三个不等式组 求出每个不等式组的解集 再取并集 即得所求 2 要使二次函数y x2 2x 3与函数f x 的图象恒有公共点 只需f x max ymin no 1middleschool mylove 解析 1 当m 5时 f x 由f x 2 可得 或 或 解得不等式f x 2的解集为 x x 0 no 1middleschool mylove 2 由二次函数y x2 2x 3 x 1 2 2 得该函数在x 1处取得最小值2 因为f x 在x 1处取得最大值m 2 所以要使二次函数y x2 2x 3与函数f x 的图象恒有公共点 只需m 2 2 即m 4 no 1middleschool mylove 变式训练3 已知函数f x x 1 2 x a a 0 1 当a 1时 求不等式f x 1的解集 2 若f x 的图象与x轴围成的三角形面积大于6 求a的取值范围 no 1middleschool mylove 解析 1 当a 1时 不等式f x 1化为 x 1 2 x 1 1 等价于 或 或 解得 1的解集为 x x 2 no 1middleschool mylove 2 由题设可得 f x 所以函数f x 的图象与x轴围成的三角形的三个顶点分别为a 0 b 2a 1 0 c a a 1 所以 abc的面积为 a 1 2 由题设得 a 1 2 6 解得a 2 所以a的取值范围为 2 1 解含有绝对值的不等式的总体思路是 将含有绝对值的不等式转化为不含绝对值的不等式 依据的是同解性 对同解性应理解为 x 中的x可以是任何有意义的数学式子f x 因此从结论上说 f x g x 与f x g x 或f x g x 同解 掌握去掉绝对值符号的方法和途径是关键 数形结合法解不等式是另一个重要的解题途径 为此要熟练掌握函数 f x 的图象和画法 no 1middleschool mylove 2 1 对含有两个绝对值的不等式问题 常用 零点分析法 去掉绝对值转化为解若干个不等式组的问题 原不等式的解集是这些不等式组解集的并集 对含有多个绝对值的函数问题 常利用分类整合思想转化为分段函数问题 若绝对值中未知数的系数相同 常用绝对值不等式的性质求最值 可减少计算 no 1middleschool mylove 2 对于求y x a x b 或y x a x b 型的最值问题利用绝对值三角不等式更方便 形如y x a x b 的函数只有最小值 形如y x a x b 的函数既有最大值又有最小值 no 1middleschool mylove no 1middleschool mylove 2016年全国 卷 已知函数f x x x m为不等式f x 2的解集 1 求m 2 证明 当a b m时 则 a b 1 ab no 1middleschool mylove 解析 1 f x 1 当 x 时 f x 2 当x 时 由f x 2得2x 2 解得x 1 所以f x 2的解集m x 1 x 1 no 1middleschool mylove 2 由 1 知 当a