苏教版选修22 2.2.2 间接证明 课件（28张）.ppt

2 2 2间接证明 第2章推理与证明 学习导航 第2章推理与证明 1 间接证明不是直接从原命题的条件逐步推得命题成立 这种 的方法通常称为间接证明 就是一种常用的间接证明方法 2 反证法 1 反证法证明过程用反证法证明时 要从 开始 经过 导致 从而达到 即肯定原命题 不是直接证明 反证法 否定结论 正确的推理 逻辑矛盾 新的否定 2 反证法证明命题 若p则q 的步骤 假设 不成立 即假定原结论的反面为真 归谬 从 和 出发 经过一系列正确的逻辑推理 得出矛盾结果 存真 由 结果 断定反设不真 从而肯定原结论成立 3 反证法概念及证明方法要理解以下三点 必须先否定 即肯定结论的 当结论的反面呈现多样性时 必须罗列出各种可能的 缺少任何一种可能 反证法都是不完整的 反设 命题的结论 已知条件 反设 矛盾 结论 反面 结论 反证法必须从否定结论进行 即应把结论的反面作为 且必须根据这一条件进行推证 否则 仅否定结论 不从结论的反面出发进行推理 就不是反证法 推导出的矛盾可能多种多样 有的与已知的定义 公理 矛盾 有的与已知条件矛盾 有的与假设矛盾 有的与事实矛盾以及自相矛盾等各种情形 推导出的矛盾必须是明显的 推理 条件 定理 公式 1 下列表述 反证法是间接证明的一种方法 逆否命题法是间接证明的一种方法 反证法就是逆否命题法 反证法中的推理是合情推理 其中正确的语句有 填序号 解析 正确 不正确 2 证明 在 abc中至多有一个直角或钝角 第一步应假设 3 用反证法证明 在同一平面内 若a c b c 则a b 时 应假设 三角形中至少有两个直角或钝角 a与b相交 用反证法证明肯 否 定性命题 方法归纳 1 结论为肯定或者否定形式的命题的证明 此类问题常用反证法 特别是含有 不 不是 不存在 等词语的这类否定性命题 命题的正面比较模糊 反面比较具体 更适于应用反证法 通过反设将肯定命题转化为否定命题或将否定命题转化为肯定命题 然后用转化后的命题作为条件进行推理 很容易推出矛盾 从而达到证题的目的 2 常见的肯定词 否定词及它们之间的对应关系如表 注意 都是 的否定是 不都是 而不是 都不是 不大于 表示的是 小于或者等于 1 设x y z都是实数 且满足xy yz zx 1 那么x y z xyz一定不成立 求证 两条相交直线有且只有一个交点 证明 已知 a与b是两条相交直线 求证 a与b有且只有一个交点 证明 假设结论不正确 则有两种可能 a与b无交点 或不止有一个交点 若直线a b无交点 用反证法证明惟一性命题 则a b或a b是异面直线 与已知矛盾 若直线a b不止有一个交点 则至少有两个交点a和b 这样同时经过点a b就有两条直线 这与 经过两点有且只有一条直线 相矛盾 综上所述 两相交直线a与b有且只有一个交点 方法归纳 1 用反证法证明问题时要注意以下三点 必须先否定结论 即肯定结论的反面 当结论的反面呈现多样性时 必须罗列出各种可能结论 缺少任何一种可能 反证都是不完全的 反证法必须从否定结论进行推理 即应把结论的反面作为条件 且必须根据这一条件进行推证 否则 仅否定结论 不从结论的反面出发进行推理 就不是反证法 推导出的矛盾可能多种多样 有的与已知矛盾 有的与假设矛盾 有的与事实矛盾等 推导出的矛盾必须是明显的 2 注意本题反设中不能漏掉 无交点 这种情况 2 求证 过两条相交直线有且只有一个平面 证明 假设过相交直线a b不存在平面或至少有两个平面 设a b o 在a上任取一点a 在b上任取一点b a b与点o不重合 则a b o三点不共线 若过a b不存在平面即过不共线三点a b o不存在平面 若过a b至少有两个平面 即过不共线三点a b o有两个平面 不论哪种情况 都与 过不共线三点有且只有一个平面 矛盾 所以过两条相交直线有且只有一个平面 已知a b c是互不相等的实数 求证 由y ax2 2bx c y bx2 2cx a和y cx2 2ax b确定的三条抛物线至少有一条与x轴有两个不同的交点 链接教材p84t4 用反证法证明 至多 至少 等存在性命题 证明 假设题设中的函数确定的三条抛物线都不与x轴有两个不同的交点 由y ax2 2bx c y bx2 2cx a y cx2 2ax b 得 1 2b 2 4ac 0 且 2 2c 2 4ab 0 且 3 2a 2 4bc 0 同向不等式求和得 4b2 4c2 4a2 4ac 4ab 4bc 0 2a2 2b2 2c2 2ab 2bc 2ac 0 a b 2 b c 2 a c 2 0 a b c 这与题设a b c互不相等矛盾 因此假设不成立 从而命题得证 方法归纳 1 当命题出现 至多 至少 等词语时 适合用反证法 2 常见的 结论词 与 反设词 3 若函数f x 在区间 a b 上是增函数 那么方程f x 0在区间 a b 上至多有一个实根 证明 假设方程f x 0在 a b 上至少有两个实根 即f f 0 不妨设 又 f x 在 a b 上为增函数 f f 这与f f 0矛盾 所以f x 0在 a b 上至多有一个实根 本题满分14分 如图所示 过