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文档简介
抛物线及其标准方程 生活中的抛物线 投篮运动 数学中的抛物线 二次函数的图象是开口向上或向下的抛物线 一 定义 平面内与一个定点f和一条定直线l f不在l上 的距离相等的点的轨迹叫做抛物线 注意 定义中的定直线l为什么要求不过定点f 如果f在直线l上 则轨迹是过点f垂直于直线l的一条直线 相关概念 定点f叫做抛物线的焦点 定直线l叫做抛物线的准线 过f作l的垂线 垂足为k kf的长度表示焦点到准线的距离 用小写字母p表示 抛物线和过f垂直于l的直线的交点o叫作抛物线的顶点 二 轨迹 三 标准方程 回顾标准方程的推导过程 三 标准方程 如何建立直角坐标系 三 标准方程 三种建系方式推导 第1种 第2种 第3种 三 标准方程 设kf的长度为p 设点m的坐标为 x y 由定义可知 化简得y2 2px p 0 则f p 2 0 l x p 2 第二种建系方式推导过程 三 标准方程 思考 那个方程适合做抛物线的标准方程 第二种 y2 2px p 0 由于其顶点做坐标原点 焦点位于坐标轴上 所以不含有常数项 三 标准方程 方程y2 2px p 0 叫做抛物线的标准方程 焦点位于x轴的正半轴上 准线交于x轴的负半轴 右焦点 左准线l p为正常数 它的几何意义是 焦点到准线的距离 但对于一条抛物线 它在坐标平面内的位置可以不同 所以建立的坐标系也不同 所得抛物线的方程也不同 所以抛物线的标准方程还有其它形式 y2 2px p 0 y2 2px p 0 x2 2py p 0 x2 2py p 0 化简y2 2px p 0 焦点位于x轴的正半轴 焦点位于y轴的正半轴 设kf的长度为p 设点m的坐标为 x y 由定义可知 化简x2 2py p 0 则f 0 p 2 l y p 2 设kf的长度为p 设点m的坐标为 x y 由定义可知 则f p 2 0 l x p 2 焦点位于y轴的负半轴 设kf的长度为p 设点m的坐标为 x y 由定义可知 则f 0 p 2 l y p 2 化简x2 2py p 0 归纳总结 二次项在左 一次项在右 二次项系数为1 一次项定轴 一次项是x 焦点在x轴 一次项系数正负定向 标准方程一次项系数正负决定其焦点位于正负半轴 系数正的对应正半轴 开口向右 p是焦点到准线的距离 p 2是顶点到焦点的距离或顶点到准线的距离 标准方程一次项系数是正负2p 注意这三者的倍数关系 注意 只有顶点在坐标原点 焦点在坐标轴上的抛物线的方程才有标准形式 四 例题讲解 例1 抛物线的标准方程是 求它的焦点坐标和准线方程 变式 求下列抛物线的焦点坐标和准线方程 非标转方程先化成标准方程 四 例题讲解 例2 已知抛物线的焦点在x轴的正半轴上 并且焦点到准线的的距离为4 写出抛物线的标准方程 变式 已知抛物线的焦点是 求抛物线的标准方程 1 定位 焦点位置 2 定量 求p 直接法 四 例题讲解 例3 求经过点的抛物线的标准方程
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