苏教版必修五 2.2.2　等差数列的通项公式 课件（42张）.pptx

第2章 2 2等差数列 2 2 2等差数列的通项公式 1 掌握等差数列通项公式的推导及应用 2 能根据等差数列的定义推出等差数列的重要性质 3 能运用等差数列的性质解决有关问题 学习目标 题型探究 问题导学 内容索引 当堂训练 问题导学 知识点一等差数列的通项公式 思考 答案 等差数列 an 中 首项为a1 公差为d 如何用a1 d表示an an a1 a2 a1 a3 a2 an an 1 a1 d d d d a1 n 1 d n 1 个 梳理一般地 an a1 n 1 d称为等差数列 an 的通项公式 已知等差数列 an 的首项a1和公差d能表示出通项公式an a1 n 1 d 如果已知第m项am和公差d 又如何表示通项公式an 知识点二等差数列通项公式的几何意义 思考 答案 设等差数列的首项为a1 则am a1 m 1 d 变形得a1 am m 1 d 则an a1 n 1 d am m 1 d n 1 d am n m d 还记得高斯怎么计算1 2 3 100的吗 知识点三等差数列的性质 思考 答案 利用1 100 2 99 梳理在有穷等差数列中 与首末两项 等距离 的两项之和等于首项与末项的和 即a1 an a2 an 1 a3 an 2 注意到上式中的序号1 n 2 n 1 有 在等差数列 an 中 若m n p q m n p q n 则am an 特别地 若m n 2p 则an am ap aq 2ap 题型探究 类型一求等差数列的通项公式 例1甲虫是行动较快的昆虫之一 下表记录了某种类型的甲虫的爬行速度 解答 1 你能建立一个等差数列的模型 表示甲虫的爬行距离和时间之间的关系吗 由题目表中数据可知 该数列从第2项起 每一项与前一项的差都是常数9 8 所以该模型是一个等差数列模型 因为a1 9 8 d 9 8 所以甲虫的爬行距离s与时间t的关系是s 9 8t 2 利用建立的模型计算 甲虫1min能爬多远 它爬行49cm需要多长时间 当t 1min 60s时 s 9 8t 9 8 60 588 cm 解答 由于an am n m d 要求通项公式 只需求出该数列的任意一项和公差 反思与感悟 跟踪训练1已知等差数列 an 3 7 11 15 1 135 4m 19 m n 是 an 中的项吗 试说明理由 解答 a1 3 d 4 an a1 n 1 d 4n 1 令an 4n 1 135 n 34 135是数列 an 中的第34项 令an 4n 1 4m 19 则n m 5 m n n 4m 19是数列 an 中的第m 5项 2 若ap aq p q n 是数列 an 中的项 则2ap 3aq是数列 an 中的项吗 并说明你的理由 解答 ap aq是数列 an 中的项 ap 4p 1 aq 4q 1 2ap 3aq 2 4p 1 3 4q 1 8p 12q 5 4 2p 3q 1 1 其中2p 3q 1 n 2ap 3aq是数列 an 中的第2p 3q 1项 类型二等差数列通项公式及推广形式的应用 命题角度1列方程 组 求基本量例2在等差数列 an 中 已知a2 5 a8 17 求数列的公差及通项公式 解答 所以an a1 n 1 d 3 n 1 2 2n 1 方法二因为a8 a2 8 2 d 所以17 5 6d 解得d 2 又因为an a2 n 2 d 所以an 5 n 2 2 2n 1 反思与感悟 把已知条件转化为关于a1 d的方程组求解 是一种常用思想 称为方程思想 灵活利用等差数列的性质 可以减少运算量 解答 跟踪训练2等差数列 an 为递减数列 且a2 a4 16 a1a5 28 求数列 an 的通项公式 又a1 a5 故a1 14 a5 2 d 3 故an 14 3 n 1 17 3n 解答 取数列 an 中任意相邻两项an和an 1 n 1 求差得an an 1 pn q p n 1 q pn q pn p q p 它是一个与n无关的常数 所以 an 是等差数列 由于an pn q q p n 1 p 所以首项a1 p q 公差d p 命题角度2等差数列的通项公式与一次函数关系例3已知数列 an 的通项公式为an pn q 其中p q为常数 那么这个数列一定是等差数列吗 若是 首项和公差分别是多少 反思与感悟 从通项公式代数特点上看 an kn b k b为常数 n n an 是等差数列 其中公差为k 借助这一性质可以迅速判断某数列是否为等差数列 但不宜用来证明 证明要用定义 an 1 an d n n 跟踪训练3若 an 是等差数列 下列数列中仍为等差数列的有 个 an an 1 an pan q p q为常数 2an n 3 设an kn b 则an 1 an k 故 为常数列 也是等差数列 pan q p kn b q pkn pb q 故 为等差数列 2an n 2 kn b n 2k 1 n 2b 故 为等差数列 不一定是等差数列 如an 2n 4 则 an 的前4项为2 0 2 4 显然 an 不是等差数列 答案 解析 类型三等差数列性质的应用 例4已知等差数列 an 中 a1 a4 a7 15 a2a4a6 45 求此数列的通项公式 解答 方法一因为a1 a7 2a4 所以a1 a4 a7 3a4 15 即a4 5 又因为a2a4a6 45 所以a2a6 9 即 a4 2d a4 2d 9 5 2d 5 2d 9 解得d 2 若d 2 an a4 n 4 d 2n 3 若d 2 an a4 n 4 d 13 2n 方法二设等差数列的公差为d 则由a1 a4 a7 15 得a1 a1 3d a1 6d 15 即a1 3d 5 由a2a4a6 45 得 a1 d a1 3d a1 5d 45 将 代入上式 得 a1 d 5 5 2d 45 即 a1 d 5 2d 9 解 组成的方程组 得a1 1 d 2或a1 11 d 2 所以an 1 2 n 1 2n 3或an 11 2 n 1 2n 13 引申探究1 在本例中 不难验证a1 a4 a7 a2 a4 a6 那么 在等差数列 an 中 若m n p q r s m n p q r s n 是否有am an ap aq ar as 解答 设公差为d 则am a1 m 1 d an a1 n 1 d ap a1 p 1 d aq a1 q 1 d ar a1 r 1 d as a1 s 1 d am an ap 3a1 m n p 3 d aq ar as 3a1 q r s 3 d m n p q r s am an ap aq ar as 2 在等差数列 an 中 已知a3 a8 10 则3a5 a7 答案 解析 20 a3 a8 10 a3 a3 a8 a8 20 3 3 8 8 5 5 5 7 a3 a3 a8 a8 a5 a5 a5 a7 即3a5 a7 2 a3 a8 20 反思与感悟 解决等差数列运算问题的一般方法 一是灵活运用等差数列 an 的性质 二是利用通项公式 转化为等差数列的首项与公差求解 属于通项方法 或者兼而有之 这些方法都运用了整体代换与方程的思想 解答 跟踪训练4在等差数列 an 中 已知a1 a4 a7 39 a2 a5 a8 33 求a3 a6 a9的值 方法一 a2 a5 a8 a1 a4 a7 3d a3 a6 a9 a2 a5 a8 3d a1 a4 a7 a2 a5 a8 a3 a6 a9成等差数列 a3 a6 a9 2 a2 a5 a8 a1 a4 a7 2 33 39 27 方法二 a1 a4 a7 a1 a1 3d a1 6d 3a1 9d 39 a1 3d 13 a2 a5 a8 a1 d a1 4d a1 7d 3a1 12d 33 a1 4d 11 a3 a6 a9 a1 2d a1 5d a1 8d 3a1 15d 3 19 15 2 27 当堂训练 1 在等差数列 an 中 已知a3 10 a8 20 则公差d 答案 解析 1 2 3 4 6 由等差数列的性质得a8 a3 8 3 d 5d 2 在等差数列 an 中 已知a4 2 a8 14 则a15 由a8 a4 8 4 d 4d 得d 3 所以a15 a8 15 8 d 14 7 3 35 1 2 3 4 答案 解析 35 3 等差数列 an 中 a4 a5 15 a7 12 则a2 1 2 3 4 答案 解析 由数列的性质 得a4 a5 a2 a7 所以a2 15 12 3 3 1 2 3 4 4 下列命题中正确的是 若a b c成等差数列 则a2 b2 c2成等差数列 若a b c成等差数列 则log2a log2b log2c成等差数列 若a b c成等差数列 则a 2 b 2 c 2成等差数列 若a b c成等差数列 则2a 2b 2c成等差数列 答案 解析 a b c为等差数列