人教A版选修22 1.2导数的计算2 学案.doc

第一章导数及其应用1.2 导数的计算2 - 学 案一、学习目标1理解函数的和、差、积、商的求导法则2理解求导法则的证明过程，能够综合运用导数公式和导数运算法则求函数的导数3能运用复合函数的求导法则进行复合函数的求导二、自主学习前面我们已经学习了几个常用函数的导数和基本初等函数的导数公式，这样做起题来比用导数的定义显得格外轻松我们已经会求f(x)5和g(x)1.05x等基本初等函数的导数，那么怎样求f(x)与g(x)的和、差、积、商的导数呢？答利用导数的运算法则1导数运算法则法则语言叙述f(x)g(x)f(x)g(x)两个函数的和(或差)的导数，等于这两个函数的导数的和(或差)f(x)g(x)f(x)g(x)f(x)g(x)两个函数的积的导数，等于第一个函数的导数乘上第二个函数，加上第一个函数乘上第二个函数的导数(g(x)0)两个函数的商的导数，等于分子的导数乘上分母减去分子乘上分母的导数，再除以分母的平方2复合函数的求导法则复合函数的概念一般地，对于两个函数yf(u)和ug(x)，如果通过变量u，y可以表示成x的函数，那么称这个函数为yf(u)和ug(x)的复合函数，记作yf(g(x)复合函数的求导法则复合函数yf(g(x)的导数和函数yf(u)，ug(x)的导数间的关系为yxyuux，即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积三、合作探究要点一利用导数的运算法则求函数的导数例1求下列函数的导数：(1) yx32x3； (2)y(x21)(x(3)y3xlg x.解(1)y(x3)(2x)33x22.(2)y(x21)(x1)x3x2x1，y(x3)(x2)x13x22x1.(3)函数y3xlg x是函数f(x)3x与函数g(x)lg x的差由导数公式表分别得出f(x)3xln 3，g(x)，利用函数差的求导法则可得(3xlg x)f(x)g(x)3xln 3.规律方法本题是基本函数和(差)的求导问题，求导过程要紧扣求导法则，联系基本函数求导法则，对于不具备求导法则结构形式的可先进行适当的恒等变形转化为较易求导的结构形式再求导数跟踪演练1求下列函数的导数：(1)y54x3； (2)y3x2xcos x； (3)yexln x； (4)ylg x.解(1)y12x2；(2)y(3x2xcos x)6xcos xxsin x；(3)yexln x；(4)y.要点二求复合函数的导数例2求下列函数的导数：(1)yln(x2)； (2)y(1sin x)2；解(1)yln u，ux2yxyuux(ln u)(x2)1.(2)yu2，u1sin x，yxyuux(u2)(1sin x)2ucos x2cos x(1sin x)规律方法应用复合函数的求导法则求导，应注意以下几个方面：(1)中间变量的选取应是基本函数结构(2)正确分析函数的复合层次，并要弄清每一步是哪个变量对哪个变量的求导(3)一般是从最外层开始，由外及里，一层层地求导(4)善于把一部分表达式作为一个整体(5)最后要把中间变量换成自变量的函数熟练后，就不必再写中间步骤跟踪演练2(1)ye2x1；(2)y(2)2.解(1)yeu，u2x1，yxyuux(eu)(2x1)2eu2e2x1.(2)法一y(2)2x44，yx(4)414x1.法二令u2，则yxyuux2(2)(2)2(2)1.要点三导数的应用例3求过点(1，1)与曲线f(x)x32x相切的直线方程解设p(x0，y0)为切点，则切线斜率为kf(x0)3x2故切线方程为yy0(3x2)(xx0)(x0，y0)在曲线上，y0x2x0又(1，1)在切线上，将式和(1，1)代入式得1(x2x0)(3x2)(1x0)解得x01或x0.故所求的切线方程为y1x1或y1(x1)即xy20或5x4y10.规律方法(1，1)虽然在曲线上，但是经过该点的切线不一定只有一条，即该点有可能是切点，也可能是切线与曲线的交点，解题时注意不要失解跟踪演练3已知某运动着的物体的运动方程为s(t)2t2(位移单位：m，时间单位：s)，求t3 s时物体的瞬时速度解s(t)2t22t22t2，s(t)24t，s(3)12，即物体在t3 s时的瞬时速度为 m/s.四、自主小测1下列结论不正确的是()a若y3，则y0 b若f(x)3x1，则f(1)3c若yx，则y1 d若ysin xcos x，则ycos xsin x2函数y的导数是()a. bc d3曲线y在点(1，1)处的切线方程为()ay2x1 by2x1cy2x3 dy2x24直线yxb是曲线yln x(x0)的一条切线，则实数b .参考答案1答案d解析利用求导公式和导数的加、减运算法则求解d项，ysin xcos x，y(sin x)(cos x