人教A版选修41 3.3平面与圆锥面的截线 课件（20张）.ppt

三平面与圆锥面的截线 1 等腰三角形底边上的高线与一条直线的关系如图 ad是等腰三角形abc底边bc上的高 bad 直线l与ad相交于点p 且与ad的夹角为 则 1 当 时 l与ab 或ab的延长线 ac都相交 2 当 时 l与ab不相交 3 当 时 l与ba的延长线 ac都相交 2 定理2在空间中 取直线l为轴 直线l 与l相交于o点 夹角为 l 围绕l旋转得到以o为顶点 l 为母线的圆锥面 任取平面 若它与轴l的交角为 当 与l平行时 记 0 则 1 若 则平面 与圆锥的交线为椭圆 2 若 则平面 与圆锥的交线为抛物线 3 若 则平面 与圆锥的交线为双曲线 特别提醒当时 平面 与圆锥的交线为圆 做一做1 已知圆锥的母线与轴的夹角为50 一个平面与圆锥轴的夹角为40 则该平面与圆锥面的截线为 a 椭圆b 圆c 双曲线d 抛物线解析 因为 50 40 所以该平面与圆锥面的截线为双曲线 答案 c 3 圆锥曲线的结构特点 1 椭圆上的点到两个定点 焦点 的距离之和为常数 长轴长2a 2 双曲线上的点到两个定点 焦点 的距离之差的绝对值为常数 实轴长2a 3 抛物线上的点到一个定点 焦点 和一条定直线的距离相等 4 圆锥曲线的几何性质 1 焦点 dandelin球与平面 的切点 2 准线 截面与dandelin球和圆锥交线所在平面的交线 3 离心率 名师点拨圆锥曲线的统一性椭圆为封闭图形 双曲线 抛物线为不封闭图形 虽然其图形不一样 但它们都可以用平面截圆锥面得到 因此 椭圆 双曲线 抛物线统称为圆锥曲线 它们都满足曲线上的点到焦点的距离与到准线的距离之比为常数 离心率e 当e1时 曲线为双曲线 定义上的统一 必然也蕴含着图形上的统一 答案 a 思考辨析判断下列说法是否正确 正确的在后面的括号内画 错误的画 1 用一个不经过圆锥顶点的平面截圆锥面 截线只可能是椭圆 双曲线 抛物线 2 在圆锥的两部分分别嵌入dandelin球 与平面 的两个切点分别为f1 f2 则f1 f2即为平面 截圆锥所得双曲线的焦点 3 所有圆锥曲线都有两个焦点和两条准线 4 平面截圆锥面 所得圆锥曲线的离心率等于截面和圆锥的轴的交角的余弦与圆锥的母线和轴所成角的余弦之比 答案 1 2 3 4 探究一 探究二 思维辨析 当堂检测 平面截圆锥面截线形状的判断 例1 在空间中 取直线l为轴 直线l 与l相交于o点 夹角为 l 围绕l旋转得到以o为顶点 l 为母线的圆锥面 任取平面 若它与轴l的交角为 求证 时 平面 与圆锥面的交线是双曲线 如图所示 分析 利用dandelin双球方法作答 探究一 探究二 思维辨析 当堂检测 解 如图 当 时 平面 与圆锥的两部分相交 在圆锥的两部分分别嵌入dandelin球 与平面 的两个切点分别是f1 f2 与圆锥两部分截得的圆分别为s1 s2 在截口上任取一点p 连接pf1 pf2 过p和圆锥的顶点o作母线 分别与两个球相切于q1 q2 则pf1 pq1 pf2 pq2 所以 pf1 pf2 pq1 pq2 q1q2 由于q1q2为两圆s1 s2所在平行平面之间的母线线段长 因此q1q2为定值 故由双曲线的定义知 平面与圆锥的交线是双曲线 探究一 探究二 思维辨析 当堂检测 变式训练1在 例1 中的情形下 说明当 时 平面 与圆锥面的截线是抛物线 如图 探究一 探究二 思维辨析 当堂检测 解 如图 设平面 与圆锥内切球相切于点f1 球与圆锥的交线为s 过该交线的平面为 与 相交于直线m 在平面 与圆锥的截线上任取一点p 连接pf1 过点p作pa m 交m于点a 过点p作 的垂线 垂足为b 连接ab 则ab m 所以 pab是 与 所成二面角的平面角 连接po与s相交于q1 连接bq1 则 bpq1 apb 在rt apb中 pb pacos 即pf1 pa 动点p到定点f1的距离等于它到定直线m的距离 故当 时 平面 与圆锥面的截线是抛物线 探究一 探究二 思维辨析 当堂检测 平面截圆锥面截线的几何性质 例2 一平面截圆锥的截线为椭圆 椭圆的长轴长为8 长轴的两端点到顶点的距离分别为6和10 则椭圆的离心率为 解析 如图为截面的轴面 则ab 8 sb 6 sa 10 答案 c 探究一 探究二 思维辨析 当堂检测 反思感悟研究圆锥曲线的几何性质时 关键是理解dandelin双球法 掌握圆锥曲线的焦点 准线 离心率与dandelin球与平面的切点 交线以及夹角之间的关系 探究一 探究二 思维辨析 当堂检测 解析 设平面 与轴线夹角为 母线与轴线夹角为 由题意 答案 a 探究一 探究二 思维辨析 当堂检测 审题不清致误 典例 已知圆锥的顶角为50 圆锥的截面与轴成30 角 则截线是 a 圆b 椭圆c 双曲线d 抛物线错解 由于 50 30 所得截线是椭圆 因此选b 纠错心得本题错误在于没有弄清定理2中角 的含义 角 是指圆锥的母线与轴的夹角 而不是指圆锥的顶角 是指截面与圆锥轴的夹角 在求解中必须注意弄清角 的含义 探究一 探究二 思维辨析 当堂检测 变式训练已知圆锥的顶角为60 截面与母线所成的角为60 则截面所得的截线是 a 圆b 椭圆c 双曲线d 抛物线解析 该圆锥的轴截面如图所示 由题意知 截面与圆锥的轴垂直 故截线为圆 答案 a 探究一 探究二 思维辨析 当堂检测 1 已知ad是等边三角形abc上的高 直线l与ad相交于点p 且与ad的夹角为 当l与ab 或ab的延长线 ac都相交时 的取值范围是 解析 作出图形 由图形计算可得 答案 d2 一圆锥面的母线和轴线成30 角 当用一与轴线成30 的不过顶点的平面去截圆锥面时 所截得的截线是 a 椭圆b 双曲线c 抛物线d 两条相交直线解析 因为 30 所以截线为抛物线 答案 c 探究一 探究二 思维辨析 当堂检测 3 已知圆锥母线与轴线夹角为60 平面 与轴线夹角为45 则平面 与圆锥交线的形状是 其离心率为 探究一 探究二 思维辨析 当堂检测 4 用一个平面去截一个正圆锥 而且这个平面不通过圆锥的顶