苏教版必修4 2.4 向量的数量积 学案.doc

第1课时向量数量积的概念及运算律问题：一个物体在力f的作用下位移为s，则力f所做功w|f|s|cos ，为f和位移s的夹角，试想功w是力f和位移s的乘积吗？提示：不是1数量积的定义已知两个非零向量a与b，它们的夹角为，则把数量|a|b|cos 叫做a与b的数量积(或内积)，记作ab，即ab|a|b|cos .2规定零向量与任一向量的数量积为0.如图，abc为等边三角形问题1：向量与向量的夹角的大小是多少？提示：60.问题2：向量与向量的夹角的大小是多少？提示：120.两非零向量的夹角(1)定义：对于两非零向量a和b，作a，b，则aob叫做向量a与b的夹角(2)范围：0180.(3)当0时，a与b同向当180时，a与b反向当90时，则称a与b垂直，记作ab.已知向量a和b都是非零向量，为a与b的夹角问题1：若90，求ab；若ab0，求.提示：若90，则ab|a|b|cos 900；若ab0，则|a|b|cos 0，cos 0.又0180，90.问题2：若0，求ab；若180，求ab.提示：若0，则ab|a|b|cos 0|a|b|；若180，则ab|a|b|cos 180|a|b|.1两个向量的数量积(1)当a与b同向时，ab|a|b|；(2)当a与b反向时，ab|a|b|；(3)aa|a|2或|a|.2数量积的运算律(1)abba；(2)(a)ba(b)(ab)ab；(3)(ab)cacbc.1两个向量的数量积是一个数量，而不是向量，其大小与两个向量的长度及其夹角都有关，符号由夹角的余弦值的符号决定2向量数量积的几何意义，是一个向量的长度乘以另一向量在该向量方向上的投影值这个投影值可正可负也可以为零，向量的数量积的结果是一个实数3数量积的运算只适合交换律，加乘分配律及数乘结合律，但不适合乘法结合律，即(ab)ca(bc)，这是因为ab，bc都是实数，(ab)c与向量c方向相同或相反a(bc)与向量a方向相同或相反，而a与c不一定共线，就是a与c共线，(ab)c与a(bc)也不一定相等 例1已知正方形abcd的边长为2，分别求：(1)；(2)；(3).思路点拨求数量积时，利用定义要注意两个向量的夹角大小和实际图形联系起来精解详析(1)，的夹角为，|cos 22(1)4.(2)，的夹角为，|cos 2200.(或，的夹角为，故0)(3)，的夹角为，|cos224.一点通求平面向量的数量积时，常用到以下结论：(1)a2|a|2；(2)(xayb)(mcnd)xmacxnadymbcynbd，其中x，y，m，nr，类似于多项式的乘法法则；(3)(ab)2a22abb2；(4)(abc)2a2b2c22ab2bc2ac.1若|a|4，|b|6，a与b的夹角为135，则a(b)_.解析：a(b)ab|a|b|cos 13546cos 13512.答案：122设正三角形abc的边长为，c，a，b，则abbcca_.解析：abbccacos 120cos 120cos 1203.答案：33在abc中，m是bc的中点，am3，bc10，求的值解：2，(2)2()2，2()2，442264，16， 例2已知向量a，b，aob60，且|a|b|4.求|ab|，|ab|，|3ab|.思路点拨根据已知条件将向量的模利用|a|转化为数量积的运算求解精解详析ab|a|b|cosaob448，|ab|4，|ab|4，|3ab|4.一点通关系式a2|a|2可使向量的长度与向量数量积互相转化，利用数量积求解长度问题是数量积的重要应用，要掌握此类问题的处理方法，特别注意不要忘记开方4已知向量a，b夹角为45，且|a|1，|2ab|，则|b|_.解析：依题意，可知|2ab|24|a|24ab|b|244|a|b|cos 45|b|242|b|b|210，即|b|22|b|60，|b|3(负值舍去)答案：35已知向量a、b满足|a|2，|b|3，|ab|4，则ab|_.解析：由|ab|4，得|ab|242a22abb216.|a|2，|b|3，a2|a|24，b2|b|29，代入式得42ab916，即2ab3.(ab)2a22abb243910，|ab|.答案：6已知|a|2，|b|4，a，b的夹角为，以a，b为邻边作平行四边形，求平行四边形的两条对角线中较短一条的长度解：平行四边形的两条对角线中较短一条的长度为|ab|，|ab|2. 例3已知a，b是非零向量，且(a2b)a，b(b2a)，求a与b的夹角思路点拨根据向量的数量积公式变形为cos ，从而可求.精解详析(a2b)a，b(b2a)，|a|b|.设a与b的夹角为，则cos .又0，.一点通向量的数量积公式ab|a|b|cos 不仅可以用来求数量积，也可以用来求模与夹角，即cos .在根据已知三角函数值求角时，要注意角的范围的确定此外，要注意若两非零向量a，b的夹角为锐角ab0且ab|a|b|；两非零向量a，b的夹角为钝角ab0)又ab10，410，2，a(2,4)(2)ac22(1)40，(ac)b0b0. 例2已知a(16,12)、b(5,15)，o为坐标原点，求oab的大小思路点拨求oab的大小转化为求向量与的夹角的大小，所以需要求与二者的坐标，进而求得模的大小和数量积，代入夹角公式求解即可精解详析由已知得到：(16,12)(16，12)，(5,15)(16,12)(21,3)，|20，|15，(16，12)(21,3)(16)(21)(12)3300，cos oab，0oab180，oab45.一点通根据向量的坐标表示求a与b的夹角时，需要先求出ab及|a|b|，再由夹角的余弦值确定.其中，当ab0时，a与b的夹角0，)；当ab0时，a与b的夹角(，；当ab0，a与b的夹角为直角4已知a(3,0)，b(5,5)，则a 与b的夹角为_解析：ab15，|a|3，|b|5，cos ，又0，.答案：5已知a(2,2)，b(1，y)，若a与b的夹角为钝角，求y的取值范围解：由ab0得212y0，y1，又设ab，0，则(2,2)(1，y)(，y)，2且y2，y1，y(，1)(1,1). 例3已知三点a(2,1)，b(3,2)，d(1,4)(1)求证：abad；(2)要使四边形abcd为矩形，求点c的坐标并求矩形abcd的对角线的长度思路点拨(1)求出，的坐标，计算得到二者数量积为0即可；(2)由(1)知四边形abcd为矩形，只需，利用相等向量坐标对应相等建立方程求出点c的坐标，最后利用长度公式求对角线长度精解详析(1)证明：a(2,1)，b(3,2)，d(1,4)，(1,1)，(3,3)则1(3)130，即abad.(2)，四边形abcd为矩形，.设c点的坐标为(x，y)，则(x1，y4)，从而有即c点的坐标为(0,5)(4,2)，|2，即矩形abcd的对角线的长度为2.一点通(1)向量的数量积是否为零，是判断相应的两条线段或直线是否垂直的重要方法(2)已知向量垂直求参数问题，即由向量的数量积为0建立关于参数的方程，求解即可6已知a(3,4)，b(2，1)，如果向量ab与b垂直，则的值为_解析：ab(3,4)(2，1)(32，4)，b(2,1)(ab)(b)，2(32)(4)0.答案：7设向量a(1,2m)，b(m1,1)，c(2，m)若(ac)b，则|a|_.解析：ac(3,3m)，由(ac)b，可得(ac)b0，即3(m1)3m0，解得m，则a(1，1)，故|a|.答案：8已知在abc中，a(2,4)，b(1，2)，c(4,3)，bc边上的高为ad.(1)求证：abac；(2)求点d和向量的坐标；(3)设abc，求cos .解：(1)证明：(1，2)(2,4)(3，6)，(4,3)(2,4)(2，1)32(1)(6)0，abac.(2)设d点的坐标为(x，y)，则(x2，y4)，(5,5)，adbc，5(x2)5(y4)0.又(x1，y2)，而与共线，5(x1)5(y2)0.联立，解得x，y，故d点坐标为，.(3)cos .1两向量平行、垂直的坐标表示的区别(1)已知非零向量a(x1，y1)，b(x2，y2)，则向量a与b垂直ab0x1x2y1y20；向量a与b平行存在r，使bax1y2x2y10.(2)向量垂直的坐标表示x1x2y1y20与向量共线的坐标表示x1y2x2y1