苏教版必修5 等差数列的前n项和 学案.doc

2.2.3等差数列的前n项和1掌握等差数列的前n项和公式，并能运用公式解决一些简单问题(重点)2体会等差数列前n项和公式与二次函数间的关系(难点)3等差数列前n项和的最值的判断(易错点)基础初探教材整理1等差数列的前n项和公式阅读教材p42，完成下列问题1等差数列的前n项和公式已知条件首项a1和末项an首项a1和公差d选用公式snsnna12推导等差数列的前n项和的方法是倒序相加法1在等差数列an中，a11，a3030，则s30 .【解析】s30465.【答案】4652在等差数列an中，a11，a3a514，其前n项和sn100，则n .【解析】a11，a3a52a414，a47，d2，snn2100，n10.【答案】10教材整理2等差数列前n项和的性质阅读教材p48第8题第12题，完成下列问题等差数列前n项和常用性质(1)sn，s2nsn，s3ns2n，成等差数列(2)s奇表示奇数项之和，s偶表示偶数项之和，公差为d.当项数为偶数2n时，s偶s奇nd，.当项数为奇数2n1时，s奇s偶an，.(3)前n项sn是关于n的二次函数，不具有常数项当a10，d0时，sn有最大值当a10时，sn有最小值1若an是等差数列，且a1a4a745，a2a5a839，则a3a6a9 .【解析】设a3a6a9x，则45,39，x成等差数列，45x392，x33.【答案】332已知等差数列an的前n项和为snn210n，则当n 时，sn最小【解析】snn210n(n5)225，当n5时，sn最小，为25.【答案】5小组合作型与等差数列sn有关的基本量的计算在等差数列an中，(1)a1，an，sn5，求n和d；(2)a14，s8172，求a8和d；(3)d2，an11，sn35，求a1和n.【精彩点拨】(1)(2)利用sn求解；(3)利用snna1d求解【自主解答】(1)由题意，得sn5，解得n15.又a15(151)d，d.(2)由已知，得s8172，解得a839.又a84(81)d39，d5.(3)由得解方程组得或等差数列的基本计算方法与技巧1公式sn中涉及四个量：sn，n，a1，an；公式snna1d中也涉及四个量：sn，n，a1，d.结合等差数列的通项公式ana1(n1)d，对于等差数列中的五个量：sn，n，a1，an，d，已知其中的三个可以求另外的两个量简称“知三求二”2在进行等差数列基本量的互求时，要注意求和公式和通项公式的恰当选取，注意方程思想及等差数列性质的应用再练一题1已知等差数列an中，(1)a1，d，sm15，求m及am；(2)a11，an512，sn1 022，求d；(3)s524，求a2a4.【解】(1)smm15，整理，得m27m600，解得m12或m5(舍去)，ama12(121)4.(2)由sn1 022，得n4.又由ana1(n1)d，即5121(41)d，解得d171.(3)法一设等差数列的首项为a1，公差为d，则s55a1d24，得5a110d24，即a12d，a2a4a1da13d2(a12d)2.法二由s524，得a1a5.a2a4a1a5.等差数列前n项和的最值在等差数列an中，公差为d，若a125，且s9s17，求数列an的前多少项和最大？【精彩点拨】【自主解答】法一由得解得d2.则sn25n(2)n226n(n13)2169，数列an的前13项和最大法二同法一解得d2，an25(2)(n1)2n27.令an0，即2n270，解得n13.5，即数列an的前13项均为正数，第13项以后均为负数，数列an的前13项和最大法三a125，s9s17，公差d0.又snna1dn2n，设a，ba1，则snan2bn(a0，d0时，前n项和有最大值可由an0，且an10，求得n的值；当a10，前n项和有最小值，可由an0，且an10，求得n的值2利用sn：由snn2n(d0)，利用二次函数配方法求得最值时n的值3利用二次函数的图象的对称性再练一题2在等差数列an中，an2n14，试用两种方法求该数列前n项和sn的最小值. 【导学号：92862042】【解】法一an2n14，a112，d2，a1a2a6a70a8a9，当n6或n7时，sn取到最小值易求s742，(sn)min42.法二an2n14，a112，snn213n2，当n6或n7时，sn最小，且(sn)min42.探究共研型等差数列前n项和的性质及应用探究1设an是等差数列，sn是其前n项和，d是其公差，那么sm，s2msm，s3ms2m是否成等差数列？如果是，其公差是多少？【提示】由sma1a2am，s2msmam1am2a2ma1mda2mdammdsmm2d.同理s3ms2ma2m1a2m2a3ms2msmm2d.所以sm，s2msm，s3ms2m也成等差数列，并且公差为m2d.探究2设sn，tn分别为两个等差数列an和bn的前n项和，那么与有怎样的关系？请证明【提示】.证明：s2n1(2n1)(a1a2n1)2an(2n1)an；同理t2n1(2n1)bn；.即.(1)等差数列an的前m项和为30，前2m项和为100，求数列an的前3m项的和s3m.(2)两个等差数列an，bn的前n项和分别为sn和tn，已知，求的值【精彩点拨】(1)利用sm，s2msm，s3ms2m成等差数列求解(2)利用求解【自主解答】(1)在等差数列中，sm，s2msm，s3ms2m成等差数列，30,70，s3m100成等差数列，27030(s3m100)，s3m210.(2).1对等差数列an的前n项和sn，等差数列bn的前n项和tn，是很重要的性质，解类似题目时注意运用2求解等差数列的有关问题时，注意利用等差数列的性质以简化运算过程再练一题3(1)设sn是等差数列an的前n项和，若，则 .(2)在项数为2n1的等差数列中，所有奇数项的和为165，所有偶数项的和为150，则n的值为 【解析】(1)由s3，s6s3，s9s6，s12s9成等差数列，可得.(2)s奇a1a3a2n1，s偶a2a4a2n.又a1a2n1a2a2n，解得n10.【答案】(1)(2)101在等差数列an中，已知a4a816，则该数列前11项和s11 .【解析】s11，a1a11a4a816，s1188.【答案】882等差数列an中，s104s5，则 .【解析】s104s5，10a1d4(5a154d)，d2a1，.【答案】3数列an为等差数列，它的前n项和为sn，若sn(n1)2，则的值为 【解析】等差数列前n项和sn的形式为snan2bn，1.【答案】14在等差数列an中，已知a3a5，则s9s5的值是 . 【导学号：92862043】【解析】.【答案】5已知an是等差数列，其中a1030，a2050.(1)求数列an的通项公式；(2)若bnan20，求数列bn的