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1 3 2 杨辉三角 与二项式系数的性质 一 新课引入 二项展开式中的二项式系数指的是那些 共有多少个 下面我们来研究二项式系数有些什么性质 我们先通过杨辉三角观察n为特殊值时 二项式系数有什么特点 1 杨辉三角 的来历及规律 杨辉三角 展开式中的二项式系数 如下表所示 11 121 1331 14641 15101051 1615201561 二项式系数的性质 展开式的二项式系数依次是 从函数角度看 可看成是以r为自变量的函数 其定义域是 当时 其图象是右图中的7个孤立点 二项式系数的性质 2 二项式系数的性质 1 对称性 与首末两端 等距离 的两个二项式系数相等 这一性质可直接由公式得到 图象的对称轴 二项式系数的性质 2 增减性与最大值 由于 所以相对于的增减情况由决定 二项式系数的性质 2 增减性与最大值 由 二项式系数是逐渐增大的 由对称性可知它的后半部分是逐渐减小的 且中间项取得最大值 可知 当时 二项式系数的性质 2 增减性与最大值 3 各二项式系数的和 二项式系数的性质 在二项式定理中 令 则 这就是说 的展开式的各二项式系数的和等于 同时由于 上式还可以写成 这是组合总数公式 一般地 展开式的二项式系数有如下性质 1 2 3 当时 4 当时 课堂练习 1 已知 那么 2 的展开式中 二项式系数的最大值是 3 若的展开式中的第十项和第十一项的二项式系数最大 则n 例1证明在的展开式中 奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和 例3 的展开式中第6项与第7项的系数相等 求展开式中二项式系数最大的项和系数最大的项 变式引申 1 的展开式中 系数绝对值最大的项是 a 第4项b 第4 5项c 第5项d 第3 4项2 若展开式中的第6项的系数最大 则不含x的项等于 a 210b 120c 461d 416 例4 若展开式中前三项系数成等差数列 求 1 展开式中含x的一次幂的项 2 展开式中所有x的有理项 3 展开式中系数最大的项 1 已知的展开式中x3的系数为 则常数a的值是 2 在 1 x3 1 x 10的展开式中x5的系数是 a 297b 252c 297d 207 3 x y z 9中含x4y2z3的项的系数是 课堂练习 4 已知 1 n展开式中含x 2的项的系数为12 求n 5 已知 10 xlgx 5的展开式中第4项为106 求x的值 二项展开式中的二项式系数都是一些特殊的组合数 它有三条性质 要理解和掌握好 同时要注意 系数 与 二项式系数 的区别 不能混淆 只有二项式系数最大的才是中间
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