苏教版必修二 平面解析几何初步 章末分层突破 学案.doc

章末分层突破自我校对(x2x1)点斜式两点式一般式_直线方程及两直线的位置关系1.直线方程的五种形式及其选取直线方程的五种形式各有优劣，在使用时要根据题目条件灵活选择，尤其在选用四种特殊形式的方程时，注意其适用条件，必要时要对特殊情况进行讨论2两条直线的平行与垂直两条直线的平行与垂直是解析几何中两条直线最基本的位置关系，其判定如下：位置关系l1：yk1xb1，l2：yk2xb2或l1：a1xb1yc10(a1，b1不同时为0)，l2：a2xb2yc20(a2，b2不同时为0)平行l1l2k1k2且b1b2或l1l2垂直l1l2k1k21或l1l2a1a2b1b20过点p(1,0)，q(0,2)分别作两条互相平行的直线，使它们在x轴上截距之差的绝对值为1，求这两条直线的方程. 【导学号：41292126】【精彩点拨】考虑直线斜率是否存在，不存在时可直接求出，存在时设方程利用截距关系求k.【规范解答】(1)当两条直线的斜率不存在时，两条直线的方程分别为x1，x0，它们在x轴上截距之差的绝对值为1，满足题意；(2)当直线的斜率存在时，设其斜率为k，则两条直线的方程分别为yk(x1)，ykx2.令y0，分别得x1，x.由题意得1，即k1.则直线的方程为yx1，yx2，即xy10，xy20.综上可知，所求的直线方程为x1，x0，或xy10，xy20.再练一题1求经过两直线2x3y30和xy20的交点且与直线3xy10平行的直线l的方程【解】法一由方程组得直线l和直线3xy10平行，直线l的斜率k3，根据点斜式有y3.即所求直线方程为15x5y20.法二直线l过两直线2x3y30和xy20的交点，可设直线l的方程为：2x3y3(xy2)0，即(2)x(3)y230.直线l与直线3xy10平行，解得.从而所求直线方程为15x5y20.直线与圆、圆与圆的位置关系1.直线与圆的位置关系是高考考查的重点，切线问题更是重中之重，判断直线与圆的位置关系以几何法为主，解题时应充分利用圆的几何性质以简化解题过程2解决圆与圆的位置关系的关键是抓住它的几何特征，利用两圆圆心距与两圆半径的和、差的绝对值的大小来确定两圆的位置关系，以及充分利用它的几何图形来形象直观地分析问题如图21所示，在平面直角坐标系xoy中，已知圆c1：(x3)2(y1)24和圆c2：(x4)2(y5)24.图21(1)若直线l过点a(4,0)，且被圆c1截得的弦长为2，求直线l的方程；(2)设p为平面上的点，满足：存在过点p的无穷多对互相垂直的直线l1和l2，它们分别与圆c1和圆c2相交，且直线l1被圆c1截得的弦长与直线l2被圆c2截得的弦长相等，试求所有满足条件的点p的坐标【精彩点拨】(1)设出方程，求出弦心距，由点到直线的距离公式求k.(2)设出方程，由直线与圆的位置关系及几何性质列方程求出参数【规范解答】(1)由于直线x4与圆c1不相交，所以直线l的斜率存在设直线l的方程为yk(x4)，圆c1的圆心到直线l的距离为d，因为直线l被圆c1截得的弦长为2，所以d1.由点到直线的距离公式得d，从而k(24k7)0，即k0或k，所以直线l的方程为y0或7x24y280.(2)设点p(a，b)满足条件，不妨设直线l1的方程为ybk(xa)，k0，则直线l2的方程为yb(xa)因为圆c1和圆c2的半径相等，且直线l1被圆c1截得的弦长与直线l2被圆c2截得的弦长相等，所以圆c1的圆心到直线l1的距离和圆c2的圆心到直线l2的距离相等，即，整理得|13kakb|5k4abk|，从而13kakb5k4abk或13kakb5k4abk，即(ab2)kba3或(ab8)kab5，因为k的取值范围有无穷多个，所以或解得或这样点p只可能是点p1或点p2.经检验点p1和p2满足题目条件再练一题2如图22，平面直角坐标系中，已知以点a(1,2)为圆心的圆与直线l1：x2y70相切过点b(2,0)的动直线l与圆a相交于m，n两点，图22(1)求圆a的方程；(2)当mn2时，求直线l的方程【解】(1)设圆a的半径为r.由于圆a与直线l1：x2y70相切，r2.圆a的方程为(x1)2(y2)220.(2)当直线l与x轴垂直时，易知x2符合题意；当直线l与x轴不垂直时，设mn的中点为q，直线l的方程为yk(x2)，即kxy2k0.连结aq，则aqmn.mn2，aq1，则由aq1，得k.直线方程为3x4y60.综上，直线l的方程为x2或3x4y60.圆有关的最值问题与圆有关的最值问题，往往是已知圆的方程f(x，y)0，求，yx，x2y2等量的最值或范围解决的方法是：设(x，y)是圆上任意一点，分别把给定的式子，yx，x2y2赋予一定的几何意义，这样就把有关最值问题转化成点、直线与圆的位置关系问题，再根据圆的几何性质确定最值已知实数x，y满足关系式：x2y26x4y120，点p(x，y)，a(1,0)，b(1,0)(1)求的最大值和最小值；(2)求xy的最大值和最小值；(3)求pa2pb2的最大值和最小值【精彩点拨】(1)转化为过圆上的点(x，y)和原点(0,0)的直线的斜率问题(2)令mxy，转化为直线与圆相切的问题(3)令pa2pb2m2，化简后转化为两圆相切问题【规范解答】根据题意，设圆c：(x3)2(y2)21，圆心c(3,2)(1)设k，则当直线ykx与圆c相切时，取得最值此时1，k，的最大值为，最小值为.(2)设xym，则当直线yxm与圆c相切时，xy取得最值此时1，m1，xy的最大值为1，最小值为1.(3)设pa2pb2m2，则有x2y2，m22.当圆x2y2与圆c相切时，pa2pb2取得最值，此时1，解得m2304.pa2pb2的最大值为304，最小值为304.再练一题3如果实数x，y满足方程(x3)2(y3)26，求：(1)的最大值与最小值；(2)xy的最大值与最小值【解】(1)设方程(x3)2(y3)26所表示的圆c上的任意一点p(x，y).的几何意义就是直线op的斜率，设k，则直线op的方程为ykx.由图(1)可知，当直线op与圆相切时，斜率取最值因为点c到直线ykx的距离d，所以当，即k32时，直线op与圆相切所以的最大值与最小值分别是32与32.(1)(2)(2)设xyb，则yxb，由图知，当直线与圆c相切时，截距b取最值而圆心c到直线yxb的距离为d.因为当，即b62时，直线yxb与圆c相切，所以xy的最大值与最小值分别为62与62.待定系数法的应用待定系数法，就是所研究的式子(方程)的结构是确定的，但它的系数(部分或全部)是待定的，然后根据题目所给条件来确定这些系数的方法本章中求直线和圆的方程常用待定系数法，采用待定系数法求圆的方程的一般步骤为：选择圆的方程的某一形式；由题意得a，b，r(或d，e，f)的方程(组)；解出a，b，r(或d，e，f)；代入所设方程求直线方程时一般有以下几类：知过定点，设点斜式(注意斜率不存在的情况)；知斜率，设斜截式；与截距有关设截距式；知与已知直线平行或垂直，设一般式(或斜截式、点斜式)如图23，在平面直角坐标系xoy中，点a(0,3)，直线l：y2x4.设圆c的半径为1，圆心在l上(1)若圆心c也在直线yx1上，过点a作圆c的切线，求切线的方程；(2)若圆c上存在点m，使ma2mo，求圆心c的横坐标a的取值范围图23【精彩点拨】(1)求出圆心c，设出直线的方程，利用圆心到直线的距离等于半径，结合待定系数法求解(2)设出圆的方程，化简条件ma2mo，将问题转化为两圆相交问题【规范解答】(1)由题设，圆心c是直线y2x4和yx1的交点，解得点c(3,2)，于是切线的斜率必存在设过a(0,3)的圆c的切线方程为ykx3，由题意，得1，解得k0或，故所求切线方程为y3或3x4y120.(2)因为圆心在直线y2x4上，所以圆c的方程为(xa)2y2(a2)21.设点m(x，y)，因为ma2mo，所以2，化简得x2y22y30，即x2(y1)24，所以点m在以d(0，1)为圆心，2为半径的圆上由题意，点m(x，y)在圆c上，所以圆c与圆d有公共点，则|21|cd21，即13，化简得由5a212a80，得ar；由5a212a0，得0a.所以点c的横坐标a的取值范围为.再练一题4在平面直角坐标系xoy中，已知圆p在x轴上截得线段长为2，在y轴上截得线段长为2.(1)求圆心p的轨迹方程；(2)若p点到直线yx的距离为，求圆p的方程. 【导学号：41292127】【解】(1)设p(x，y)，圆p的半径为r.由题设得y22r2，x23r2.从而y22x23.故p点的轨迹方程为y2x21.(2)设p(x0，y0)，由已知得.又p在曲线y2x21上，从而得由得此时，圆p的半径r.由得此时，圆p的半径r.故圆p的方程为x2(y1)23或x2(y1)23.1圆x2y22x8y130的圆心到直线axy10的距离为1，则a_.【解析】将圆的方程化为标准方程，根据点到直线距离公式求解圆x2y22x8y130的标准方程为(x1)2(y4)24，由圆心到直线axy10的距离为1可知1，解得a.【答案】2已知直线l过圆x2(y3)24的圆心，且与直线xy10垂直，则l的方程是_【解析】圆x2(y3)24的圆心为点(0,3)，又因为直线l与直线xy10垂直，所以直线l的斜率k1.由点斜式得直线l：y3x0，化简得xy30. 【答案】xy303如图24，已知圆c与x轴相切于点t(1,0)，与y轴正半轴交于两点a，b(b在a的上方)，且|ab|2.图24(1)圆c的标准方程为_；(2)圆c在点b处的切线在x轴上的截距为_【解析】(1)取ab的中点d，连接cd，则cdab.由题意|ad|cd|1，故|ac|，即圆c的半径为.又因为圆c与x轴相切于点t(1,0)，所以圆心c的坐标为(1，)，故圆c的标准方程为(x1)2(y)22.(2)令(x1)2(y)22中的x0，解得y1，故b(0，1)直线bc的斜率为1，故切线的斜率为1，切线方程为yx1.令y0，解得x1，故所求截距为1.【答案】(1)(x1)2(y)22(2)14已知圆c：(x3)2(y4)21和两点a(m,0)，b(m,0)(m0)，若圆c上存在点p，使得apb90，则m的最大值为_【解析】根据题意，画出示意图，如图所示，则圆心c的坐标为(3,4)，半径r1，且|ab|2m.因为apb90，连接op，易知|op|ab|m.要求m的最大值，即求圆c上的点p到原点o的最大距离因为|oc|5，所以|op|max|oc|r6，即m的最大值为6.【答案】65圆心在直线x2y0上的圆c与y轴的正半轴相切，圆c截x轴所得弦的长为2，则圆c的标准方程为_【解析】设圆c的圆心为(a，b)(b0)，由题意得a2b0，且a2()2b2，解得a2，b1.所求圆的标准方程为(x2)2(y1)24.【答案】(x2)2(y1)246如图25，在平面直角坐标系xoy中，已知以m为圆心的圆m：x2y212x14y600及其上一点a(2,4)图25(1)设圆n与x轴相切，与圆m外切，且圆心n在直线x6上，求圆n的标准方程；(2)设平行于oa的直线l与圆m相交于b，c两点，且bcoa，求直线l的方程；(3)设点t(t,0)满足：存在圆m上的两点p和q，使得，求实数t的取值范围【解】圆m的标准方程为(x6)2(y7)225，所以圆心m(6,7)，半径为5.(1)由圆心n在直线x6上，可设n(6，y0)因为圆n与x轴相切，与圆m外切，所以0y07，圆n的半径为y0，从而7y05y0，解得y01.因此，圆n的标准方程为(x6)2(y1)21.(2)因为直线loa，所以直线l的斜率为2.设直线l的方程为y2xm，即2xym0，则圆心m到直线l的距离d.因为bcoa2，而mc2d2，所以255，解得m5或m15.故直线l的方程为2xy50或2xy150.(3)设p(x1，y1)，q(x2，y2)因为a(2,4)，t(t,0)，所以因为点q在圆m上，所以(x26)2(y27)225.将代入，得(x1t4)2(y13)225.于是点p(x1，y1)既在圆m上，又在圆x(t4)2(y3)225上，从而圆(x6)2(y7)225与圆x(t4)2(y3)225有公共点，所以5555，解得22t22.因此，实数t的取值范围是22，227已知过原点的动直线l与圆c1：x2y26x50相交于不同的两点a，b.(1)求圆c1的圆心坐标；(2)求线段ab的中点m的轨迹c的方程；(3)是否存在实数k，使得直线l：yk(x4)与曲线c只有一个交点？若存在，求出k的取值范围；若不存在，说明理由【解】(1)把圆c1的方程化为标准方程得(x3)2y24，圆c1的圆心坐标为c1(3,0)(2)设m(x，y)，a，b为过原点的直线l与圆c1的交点，且m为ab的中点，由圆的性质知：mc1mo，0.又(3x，y)，(x，y)，由向量的数量积公式得x23xy20.易知直线l的斜率存在，设直线l的方程为ymx，当直线l与圆c1相切时，d2，解得m.把相切时直线l的方程代入圆c1的方程化简得9x230x250，解得x.当直线l经过圆c1的圆心时，m的坐标为(3,0)又直线l与圆c1交于a，b两点，m为ab的中点，x3.点m的轨迹c的方程为x23xy20，