苏教版选修21 3.2.3空间的角的计算 学案2.doc

课堂导学三点剖析一、异面直线所成的角的求法【例1】 如右图，在棱长为1的正方体abcd-a1b1c1d1中，m、n分别为a1b1和bb1的中点，那么直线am与cn所成的角的余弦为( )a. b. c. d.解法：=+,=()()=.而|=.同理，|=.如令为所求之角，则cos=.应选d.温馨提示 空间两条直线之间的夹角是不超过90的角.因此，如果按公式计算分子的数量积为一个负数，则应当取其绝对值，使之变为正值，这样求得的角为锐角，这一说明在以后很多计算问题中经常被用到.二、线面角的求法【例2】如图，已知正三棱柱abc-a1b1c1的所有棱长都相等，d是a1c1的中点，则直线ad与平面b1dc所成角的正弦值为_.解析：以点c为原点，ca为x轴，cc1为z轴，与ca垂直的直线为y轴建立空间直角坐标系.设正三棱柱的棱长为2，于是a(2，0，0)，b1(1，2)，d(1，0，2)，c(0，0，0)，=(1，0，2)，=(1，2)，=(1，0，-2).又设平面b1dc的法向量n=(1，x,y)，则有解得则n=(1,0,-).设n、的夹角为，则cos=.因此ad与平面b1dc所成角的正弦值为.答案:.三、二面角平面角的求法【例3】 已知正方体abcd-a1b1c1d1 中平面ab1d1与a1bd所成的角为(090),求cos的值.解：如图，建立空间直角坐标系a-xyz,设正方体棱长为1，易得=(1，0，-1)，=(0，1，-1)，=(1，0，1)，(0，1，1)，设m=(x1,y1,z1）、n=(x2,y2,z2)分别是平面a1bd与ab1d1的法向量，由令z1=1,得m=(1,1,1).由令z2=-1,得n=(1,1,-1),cosm,n=,cos=.各个击破类题演练1如右图，三棱柱oab-o1a1b1，平面ob1平面oab，o1ob=60,aob=90,且ob=oo1=2，oa=，求异面直线a1b与ao1所成角的大小.解：建立如题图所示的空间直角坐标系，则o（0，0，0），o1（0，1，），a（，0，0），a1（，1），b （0，2，0）.=-=（-，1，-），=-=(,-1,-).设异面直线所成的角为，则cos=.故异面直线a1b与ao1所成的角的大小为arccos.变式提升1如右图，四棱锥p-abcd中，pd平面abcd，pa与平面abcd所成的角为60，在四边形abcd中，d=dab=90,ab=4,cd=1,ad=2.(1)建立适当的坐标系，并写出点b、p的坐标；(2)求异面直线pa与bc所成的角；解析：建立如图所示的直角坐标系d-xyz,d=dab=90,ab=4,cd=1,ad=2,a(2,0,0),c(0,1,0),b(2,4,0).p(0,0,23).(2)解析：=(2,0,-2),=(-2,-3,0),cos,=.pa与bc所成的角为arccos.类题演练2如右图，正三棱柱abc-a1b1c1的底面边长为a，侧棱长为，求ac1与侧面ab1所成的角.解析：在如题图的空间直角坐标系中，=（0，0，a).设侧面ab1的法向量n=(,x,y),所以n=0,且n=0,ax=0,且ay=0,x=y=0,故n=(,0,0).=(-a,).cos,n=.sin=|cos,n|=,=30.类题演练3如图在棱长1的正方体abcd-a1b1c1d1中，e、f分别是d1d、bd的中点，g在棱cd上，且cg=cd,应用空间向量的运算办法解决下列问题.(1)求证：efb1c；(2)求ef与c1g所成的角的余弦；解析：如图建立空间直角坐标系o-xyz,d为坐标原点o，依据已知有：e(0,0,),f(,0),c(0,1,0),c1(0,1,1),b1(1,1,1),g(0,0)=(,0)-(0,0,)=(,-).=(0,1,0)-(1,1,1)=(-1,