苏教版选修21 3.2.3空间的角的计算 作业2.doc

主动成长夯基达标1.下图是一个无盖的正方体盒子展开后的平面图,a、b、c是展开图上的三点,则在正方体盒子中,abc的值为( )a.180 b.120 c.60 d.45答案:c2.如果二面角l的平面角是锐角,点p到、和棱l的距离分别为2、4和4,则二面角的大小为( )a.45或30 b.15或75c.30或60 d.15或60答案:b3.如图,在正三棱柱abca1b1c1中,若ab=bb1,则ab1与c1b所成角的大小为( )a.60 b.90 c.105 d.75解析：取ac中点d,建立如右图所示的坐标系.设ab=a,则b(a,0,0),c1(0,a),a(0,-,0),b1(a,0,a),cos=0.ab1与c1b所成角为90.答案：b4.pa、pb、pc是从p引出的三条射线,每两条的夹角都是,则直线pc与平面pab所成角的余弦值为( )a. b. c. d.答案：c5.如右图,在棱长为1的正方体abcda1b1c1d1中,m、n分别为a1b1和bb1的中点,那么直线am与cn所成的角的余弦为( )a. b. c. d.解法一：,=()()=.而|=.同理,|=.如令为所求之角,则cos=.解法二：如右图设置坐标系,把d点视作原点o,分别沿、方向为x轴、y轴、z轴的正方向,则a(1,0,0),m(1,1),c(0,1,0),n(1,1,),=(1,1)-(1,0,0)=(0,1),=(1,1,)-(0,1,0)=(1,0,).故=01+0+1=,|=,|=.cos=.答案：d6.已知正方体abcda1b1c1d1中平面ab1d1与a1bd所成的角为(090),求cos的值.解析：如右图,建立空间直角坐标系a-xyz,设正方体棱长为1,易得=(1,0,-1), =(0,1,-1),=(1,0,1),=(0,1,1),设m=(x1,y1,z1)、n=(x2,y2,z2)分别是平面ab1d1与a1bd的法向量,由令z1=1,得m=(1,1,1).令z2=-1,得n=(1,1,-1),cosm,n=,cos=.7.如右图所示的正四棱柱abcda1b1c1d1中,aa1ab=21,e、f分别为面a1c1和面bc1的中心.求(1)异面直线ce与af所成的角；(2)a1f与平面bcc1b1所成的角；(3)二面角ba1c1c的大小.解析：如右图,以d为原点,da为ox轴正方向,dc为oy轴正方向,dd1为oz轴正方向建立空间直角坐标系.a1aab=21,可设ab=2,由此得到相应各点的坐标分别为a(2,0,0),b(2,2,0),c(0,2,0),e(1,1,4),f(1,2,2),a1(2,0,4),b1(2,2,4),=(1,-1,4),=(-1,2,2),=(-1,2,-2),=(-1,0,-2),a1a=(0,0,-4),=(1,1,-4).(1)设异面直线ce和af所成的角为,则cos=,=arccos,此即异面直线ce和af所成的角.(2)a1b1平面bcc1b1,a1f与平面bcc1b1,所成的角为a1fb1(设为).则cos=.=arccos.此即为a1f与平面bcc1b1所成的角.(3)eba1c1,a1aa1c1,并设二面角b-a1c1-c的平面角为.则cos=,=arccos.此即为所求二角角b-a1c1-c的大小.8.如右图,已知三棱锥pabc在某个空间直角坐标系中,=(,m,0),=(0,2m,0),=(0,0,2n).(1)画出这个空间直角坐标系,并指出与ox的轴的正方向的夹角；(2)求证：；(3)若m为bc的中点,n=m,求直线am与平面pbc所成角的大小.答案:(1)解析：如右图,这个坐标系以a为坐标原点o,以ac为oy轴,以ap所在直线为oz轴,与ox轴的正方向夹角为30.(2)证明：=(0,0,2n),=(m,m,0),=0.(3)解析：连am、pm.|=|=2m,m为bc的中点,ambc.又pabc,bc平面pam.过a作aepm于e点,则ae平面pbc,amp为am与平面pbc所成的角.又n=m,|=|,故所成角为.9.已知：如右图abc是边长为2的等边三角形,pc面abc,且pc=2,d是ap上一动点,(1)d在运动过程中,是否有可能使得ap面bcd？请说明理由；(2)若d是ap的中点,求：异面直线cd与pb所成的角；直线bd与面pbc所成的角.解析：取ac的中点e,连结de、be则depc,beac,de面abc.如右图建立的空间坐标系e-xyz,de=pc=,be=.a(0,-1,0),b(,0,0),c(0,1,0),p(0,1,),d(0,0,)(1)=(0,2,),=(,1,0),=20,ap不垂直于bc,ap不可能垂直面dbc,即不存在d点,使得ap面dbc.(2)=(-,1,2),(0,-1,),cos,=,pb与cd所成的角为60.设n=(x0,y0,z0)是平面pbc的法向量,=(0,0,2),则n=0,且n=0,令y0=,则n=(-1,0).又=(,0,),cosn,=.直线bd与面pbc所成的角为arcsin.10.如右图,已知正四棱柱abcda1b1c1d1中,ab=2,aa1=4,e为bc的中点,f为直线cc1上的动点,设.(1)当=3时,求ef与平面abcd所成的角；(2)当=1时,求二面角fdec的大小(用反三角函数表示)；(3)当为何值时,有bd1ef？解析：(1)如右图建立空间直角坐标系,则d(0,0,0),e(1,2,0).当=3时,f(0,2,1),=(-1,0,1).设平面abcd的法向量为n,则n=(0,0,1).设与n的夹角为,则cos=.ef与平面abcd所成的角为45.(2)当=1时,f(0,2,2),=(-1,0,2),=(0,2,2).设平面def的法向量为m,则m=0,m=0,m=(2,-1,1),cosm,n=.二面角f-de-c的大小arccos.(3)显然d1(0,0,4),b(2,2,0),设f(0,2,t),则=(-1,0,t),=(-2,-2,4).要使efbd1,只要=0,2+4t=0,t=-.=-9.走近高考11.如右图,=l,a,b,点a在直线l上的射影为a1,点b在l上的射影为b1,已知ab=2,aa1=1,bb1=,求：(1)直线ab分别与平面,所成角的大小；(2)二面角a1abb1的大小.解法一：(1)如图,连接a1b、ab1.,=l,aa1l,bb1l,aa1,bb1,则bab1、aba1分别是ab与和所成的角.rtbb1a中,bb1=,ab=2.sinbab1=,bab1=45.rtaa1b中aa1=1,ab=2.sinaba1=,aba1=30.故ab与平面,所成的角分别是45,30.(2)bb1,平面abb1,在平面内过a1,作a1eab1,交ab1于e,则a1e平面ab1b.过e作efab交ab于f,连接a1f,则由三垂线定理得a1fab.a1fe就是所求二面角的平面角.在rtabb1中,bab1=45,ab1=b1b=.rtaa1b1中,aa1=a1b1=1.a1e=ab1=.在rtaa1b中,a1b=.由aa1a1b=a1fab得a1f=,在rta1ef中,sina1fe=.二面角a1-ab-b1的大小为arcsin.解法二：(1)同解法一.(2)如右图,建立坐标系,则a1(0,0,0),a(0,0,1),b1(0,1,0),b(,1,0).在ab上取一点f(x,y,z),则存在tr,使得=.即(x,y,z-1)=t(,1,-1),点f的坐标为(,t,1,1-t).要使,须=0,即(,t,1-t)(,1,-1)=0,2t+t-(1-t)=0,解得t=,点f的坐标为().=(,)设e为ab1的中点,则点e的坐标为(0,).=(,).又=(,-,)(,1,-1)=-=0,.a1fe为所求二面角的平面角.又cosa1fe=二面角a1-ab-b1的大小为arccos.12.如右图,在棱长为1的正方体abcda1b1c1d1中,p是侧棱cc1上的一点,cp=m.(1)试确定m,使得直线ap与平面bdd1b1所成角的正切值为3；(2)在线段a1c1上是否存在一个定点q,使得对任意的m,d1q在平面apd1上的射影垂直于ap,并证明你的结论.解法一：(1)如右图,连接ac,设acbd=o,ap与面bdd1b1交于点g,连结og,因为pc面bdd1b1,而bdd1b1面apc=og,故ogpc,所以og=pc=.又aodb,aobb1,所以ao面bdd1b1,故ago即为ap与面bdd1b1所成的角.在rtaog中,tanago=,即m=.故当m=时,直线ap与平面bdd1b1所成角的正切值为3.(2)依题意,要在a1c1上找一点q,使得d1qap,可推测a1c1的中点o1即为所求的q点,因为d1o1a1c1,d1o1aa1,所以d1o1面acc1a1.又ap面acc1a1,故d1o1ap.从而d1o1在平面ad1p上的射影与ap垂直.解法二：(1)建立如右图所示的空间直角坐标系,则a(1,0,0),b(1,1,0),p(0,1,m),c(0,1,0),d(0,0,0),b1(1,1,1),d1(0,0,1)所以=(-1,-1,0),=(0,0,1),=(-1,1,m),=(-1,1,0),又由=0,=0知,为平面bb1d1d的一个法向量.设ap与平面bb1d1d所成的角为,则sin=cos(-)=依题意有解得m=,故当m=时,直线ap与平面bdd1b1所成角的正切值为.(2)若在a1c1上存在这样的点q,设此点的横坐标为x,则q(x,1-x,1),=(x,1-x,0).依题意,对任意的m要使d1q在平面apd1上的射影垂直于ap,等价于d1qap=0-x+(1-x)=0x=.即q为a1c1的中点时,满足题设要求.点评：本小题主要考查线面关系、直线与平面所成角的有关知识及空间想象能力和推理运算能力.考查应用向量知识解决数学问题的能力.13.如右图,在四棱锥pabcd中,底面为直角梯形,adbc,bad=90,pa底面abcd.且pa=ad=ab=2bc,m、n分别为pc、pb的中点.(1)求证：pbdm；(2)求cd与平面admn所成的角.解法一：(1)证明：n是pb的中点,pa=ab,anpb.ad平面pab,adpb.从而pb平面admn,dm平面admn,pbdm.(2)如右图,取ad的中点g,连结bg,ng,则bgcd,bg与平面admn所成的角和cd与平面admn所成的角相等.pb平面admn,bgn是bg与平面admn所成的角.在rtbgn中,sinbgn=.故cd与平面admn所成的角是arcsin.解法二：如右图,以a为坐标原点建立空间