苏教版选修23 2.5.1 离散型随机变量的均值 学案.doc

_2.5随机变量的均值和方差25.1离散型随机变量的均值设有12个西瓜，其中4个重5 kg,3个重6 kg,5个重7 kg.问题1：任取一个西瓜，用x表示这个西瓜的重量，试想x的取值是多少？提示：x5,6,7.问题2：x取上述值时，对应的概率分别是多少？提示：，.问题3：试想西瓜的平均质量该如何表示？提示：567.1离散型随机变量的均值(或数学期望)(1)定义：若离散型随机变量x的概率分布为xx1x2xnpp1p2pn则称x1p1x2p2xnpn为离散型随机变量x的均值或数学期望，也称为x的概率分布的均值，记为e(x)或，即e(x)x1p1x2p2xnpn.其中，xi是随机变量x的可能取值，pi是概率，pi0，i0,1,2，n，p1p2pn1.(2)意义：刻画离散型随机变量取值的平均水平和稳定程度2两种常见概率分布的均值(1)超几何分布：若xh(n，m，n)，则e(x).(2)二项分布：若xb(n，p)，则e(x)np.1随机变量的均值表示随机变量在随机试验中取值的平均水平，又常称随机变量的平均数，它是概率意义下的平均值，不同于相应数值的算术平均数2离散型随机变量的均值反映了离散型随机变量取值的平均水平，它是一个常数，是随机变量的多次独立观测值的算术平均值的稳定性，即由独立观测组成的随机样本的均值的稳定值而样本的平均值是一个随机变量，它随着观测次数的增加而趋于随机变量的均值求离散型随机变量的数学期望例1已知甲盒内有大小相同的1个红球和3个黑球，乙盒内有大小相同的2个红球和4个黑球现从甲、乙两个盒内各任取2个球(1)求取出的4个球均为黑球的概率；(2)求取出的4个球中恰有1个红球的概率；(3)设x为取出的4个球中红球的个数，求x的分布列和数学期望思路点拨首先确定x的取值及其对应的概率，然后确定随机变量的概率分布及数学期望精解详析(1)设“从甲盒内取出的2个球均为黑球”为事件a，“从乙盒内取出的2个球均为黑球”为事件b.由于事件a，b相互独立，且p(a)，p(b).故取出的4个球均为黑球的概率为p(ab)p(a)p(b).(2)设“从甲盒内取出的2个球均为黑球；从乙盒内取出的2个球中，1个是红球，1个是黑球”为事件c，“从甲盒内取出的2个球中，1个是红球，1个是黑球；从乙盒内取出的2个球均为黑球”为事件d.由于事件c，d互斥，且p(c)，p(d).故取出的4个球中恰有1个红球的概率为p(cd)p(c)p(d).(3)x可能的取值为0,1,2,3.由(1)，(2)得p(x0)，p(x1)，p(x3).从而p(x2)1p(x0)p(x1)p(x3).所以x的分布列为x0123p故x的数学期望e(x)0123.一点通求离散型随机变量x的均值的步骤：(1)理解x的意义，写出x可能取的全部值；(2)求x取每个值的概率；(3)写出x的概率分布表(有时可以省略)；(4)利用定义公式e(x)x1p1x2p2xnpn求出均值1(广东高考)已知离散型随机变量x的分布列为x123p则x的数学期望e(x)_.解析：e(x)123.答案：2若对于某个数学问题，甲、乙两人都在研究，甲解出该题的概率为，乙解出该题的概率为，设解出该题的人数为x, 求e(x)解：记“甲解出该题”为事件a，“乙解出该题”为事件b，x可能取值为0,1,2.p(x0)p( )p()p()，p(x1)p(a)p(b)p(a)p()p()p(b)，p(x2)p(ab)p(a)p(b).所以，x的分布列如下表：x012p故e(x)012.超几何分布及二项分布的数学期望例2甲、乙两人各进行3次射击，甲每次击中目标的概率为，乙每次击中目标的概率为，记甲击中目标的次数为x，乙击中目标的次数为y.(1)求x的概率分布；(2)求x和y的数学期望思路点拨甲、乙击中目标的次数均服从二项分布精解详析(1)p(x0)c3；p(x1)c3；p(x2)c3；p(x3)c3.所以x的概率分布如下表：x0123p(2)由(1)知e(x)01231.5，或由题意xb，yb，所以e(x)31.5，e(y)32.一点通超几何分布和二项分布是两种特殊的而且应用相当广泛的分布列，解题时如果能发现是这两种分布模型，就可以直接利用规律写出分布列，求出均值3某运动员投篮命中率为p0.6.(1)求一次投篮时命中次数x的数学期望；(2)求重复5次投篮时，命中次数y的数学期望解：(1)投篮一次，命中次数x的概率分布如下表：x01p0.40.6则e(x)p0.6.(2)由题意，重复5次投篮，命中的次数y服从二项分布，即yb(5,0.6)则e(y)np50.63.4一个箱子中装有大小相同的1个红球，2个白球，3个黑球现从箱子中一次性摸出3个球，每个球是否被摸出是等可能的(1)求至少摸出一个白球的概率；(2)用x表示摸出的黑球数，写出x的概率分布并求x的数学期望解：记“至少摸出一个白球”为事件a，则事件a的对立事件为“摸出的3个球中没有白球”，则p()，p(a)1p()，即至少摸出一个白球的概率等于.(2)x的所有可能取值为0,1,2,3.p(x0)，p(x1)，p(x2)，p(x3).x的概率分布为x0123p所以e(x)0123，即x的数学期望为.数学期望的实际应用例3(全国大纲卷)甲、乙、丙三人进行羽毛球练习赛，其中两人比赛，另一人当裁判，每局比赛结束时，负的一方在下一局当裁判设各局中双方获胜的概率均为，各局比赛的结果相互独立，第1局甲当裁判(1)求第4局甲当裁判的概率；(2)x表示前4局中乙当裁判的次数，求x的数学期望思路点拨(1)第4局甲当裁判的前提是第2局甲胜，第3局甲参加比赛且负(2)x的取值为0,1,2.精解详析(1)记a1表示事件“第2局结果为甲胜”，a2表示事件“第3局甲参加比赛，结果为甲负”，a表示事件“第4局甲当裁判”则aa1a2.p(a)p(a1a2)p(a1)p(a2).(2)x的可能取值为0,1,2.记a3表示事件“第3局乙和丙比赛时，结果为乙胜丙”，b1表示事件“第1局结果为乙胜丙”，b2表示事件“第2局乙和甲比赛时，结果为乙胜甲”，b3表示事件“第3局乙参加比赛时，结果为乙负”则p(x0)p(b1b2a3)p(b1)p(b2)p(a3)，p(x2)p(1b3)p(1)p(b3)，p(x1)1p(x0)p(x2)1，e(x)0p(x0)1p(x1)2p(x2).一点通解答此类题目，应首先把实际问题概率模型化，然后利用有关概率的知识去分析相应各事件可能性的大小，并列出概率分布表，最后利用有关的公式求出相应的概率及数学期望5某保险公司新开设了一项保险业务，若在一年内事件e发生，该公司要赔偿a元，设一年内e发生的概率为p，为使公司收益的期望值等于a的10%，公司应要求投保人交多少保险金？解：设保险公司要求投保人交x元保险金，以保险公司的收益额x作为随机变量，则不难得出其概率分布表如下：xxxap1pp由上述概率分布表可求得，保险公司每年收益的期望为e(x)x(1p)(xa)pxap，由题意可知xap0.1a，解得x(0.1p)a.即投保人交(0.1p)a元保险金时，可使保险公司收益的期望值为0.1a.6现有甲、乙两个靶某射手向甲靶射击两次，每次命中的概率为，每命中一次得1分，没有命中得0分；向乙靶射击一次，命中的概率为，命中得2分，没有命中得0分该射手每次射击的结果相互独立假设该射手完成以上三次射击(1)求该射手恰好命中两次的概率；(2)求该射手的总得分x的分布列及数学期望解：(1)记“该射手恰好命中两次”为事件a，“该射手第一次射击甲靶命中”为事件b，“该射手第二次射击甲靶命中”为事件c，“该射手射击乙靶命中”为事件d.由题意知，p(b)p(c)，p(d)，所以p(a)p(bc)p(bd)p(cd)p(b)p(c)p()p(b)p()p(d)p()p(c)p(d).(2)根据题意，x的所有可能取值为0,1,2,3,4.p(x0)p()，p(x1)p(b)p(c).p(x2)p(bc)p(d)，p(x3)p(bd)p(cd)，p(x4)p(bcd)