函数思想在数列中的应用说课稿.doc

函数思想在数列中的应用教学目标知识目标：对数列的概念、通项公式、前n项和公式的认识进一步深化，会利用周期性、单调性、图像等函数的性质来解决数列问题；能力目标：引导学生用函数的观点看待数列，借助函数的研究方法研究数列；情感目标：在函数思想的渗透过程中，使学生体会到数学知识的联系，从而激发学生学习数学的兴趣。教学重点和难点用函数的思想研究数列教学方法：启发式、边讲边练教学过程设计我们已学习了数列的基本知识，等差数列的定义、通项公式与前n项和的公式，今天，我们一起应用这些知识来解决一些问题，请看题目。一、 函数的定义在数列中的应用 等差、等比数列作为两个特殊的数列，其通项公式、求和公式和一次函数、二次函数、指数函数都有一定的联系。充分挖掘二者的联系，可以加深对等差、等比数列的理解。例1 给出一下三个结论：是等差数列的充要条件是是n的一次函数；是等差数列的充要条件是其前n项和是n的二次函数；是等比数列，则是关于n的指数函数。其中正确的个数为（ ）（A） 0 （B） 1 （C） 2 （D） 3评析：是等差数列，其通项为，其前n项和。当时，不是n的一次函数，也不是n的二次函数，因此、都不对，不难证明，是等差数列（其中是常数）。是等比数列，其通项不是n的指数函数，故选（A）。例2 在等比数列中，前n项和为，已知，求分析：本题的常规解法是用等比数列求和公式列出关于和的方程组，解出和，但计算十分繁琐。若考虑到等比数列的前n项和，设，则可以考虑建立目标函数（A为待定系数），从而优化了解题过程。解：设，则 组解（1）（2）得：, 或评述：此类题目如果注意到等比数列前n项和Sn可写成（A为待定系数）的形式，解题方法就显得巧妙一些。同样，等差数列的前n项和Sn可写成（a、b为待定系数）的形式，有时也能给我们解题带来方便。例3:递增数列，对任意正整数，恒成立，求的取值范围.分析：构造一次函数，由数列递增得到：对于一切恒成立，即恒成立，所以对一切恒成立，设，则只需求出的最大值即可，显然有最大值，所以的取值范围是：。构造二次函数，看成函数，它的定义域是，因为是递增数列，即函数为递增函数，单调增区间为,抛物线对称轴，因为函数为离散函数，要函数单调递增，就看动轴与已知区间的位置，对称轴在的左侧也可以，因为此时B点比A点高。于是，得二、 函数的图象与性质在数列中的应用函数的性质，如一次、二次函数的性质、函数的单调性、周期性等在数列中有广泛的应用。例5. 已知数列，则该数列中的最大项是第几项？解：由得联想函数知函数在上为减函数。在为增函数。当且仅当时，函数取最小值，而。要使的值最小，应使。通过计算验证，可得n=12或13时，最大。为数列中的最大项。例3 已知无穷数列的通项公式，试判断此数列是否有最大项？若有，求出第几项最大；若没有，说明理由分析：此数列不是等差（等比）数列，但利用研究函数单调性的方法去研究数列的单调性，问题不难解决。解：，当时，即；当n8时，即；当时，即，故评述：本题也可以化归为不等式组：且来解决。但对于这类探索性问题，利用函数的单调性更能体现数列的变化趋势，显得更为简捷直观。1、已知函数的图象经过点和，记（1）求数列的通项公式；（2）设，若对一切均成立，求的范围；（3）求使不等式对一切均成立的最大实数.解：（1）由题意得，解得， （2）由（1）得， -得 . ，设，则由得随的增大而减小时， 又恒成立， （3）由题意得恒成立 记，则 是随的增大而增大 的最小值为，即. 2、 已知函数，（1）求函数的反函数；（2）若数列中，求通项；（3）设，又，是否存在最小的正整数，使得对都有：，若存在，求出，若不存在，说明理由。解：(1)设y=,x0)(2)，是公差为4的等差数列，a1=1, =+4(n1)=4n3,an0,an=.(3)bn=Sn+1Sn=an+12=,由bn,设g(n)= ,g(n)= 在nN*上是减函数，g(n)的最大值是g(1)=5,m5,存在最小正整数m=6,使对任意nN*有bn成立.例4 数列满足，则 分析：类比对应的函数递推式，可求出其周期，从而启发我们寻找本题的解题途径。 解：由，得， 故 评述：一般地，定义在R上的函数，若有或，则2T为函数的周期；若有，则3T为函数的周期；若有 ，则4T为函数的周期。记住这些常见的结论及推导方法，往往能迅速找到解决这类问题的突破口。例4：已知数列满足，则_.分析：因为不清楚数列的具体类型，所以仅仅利用数列的知识不容易解决，而此时我们从函数视角去考虑，就容易联想到函数的周期性。令，则则函数满足，则，+，得，则，即函数周期为12故三、 函数图象在数列中的应用因为等差、等比数列的通项及求和公式与一次函数、二次函数、指数函数都有联系，所以应用这些函数的图象能直观有效地解决某些数列问题。例5 等差数列中，前n项和为，且，则n时，最大分析：等差数列前n项和是关于n的二次函数，常数项为0，因此函数的图象是过原点的抛物线上横坐标为自然数的点。由题意可知该数列公差小于0。o图1如图1对应的抛物线，所以开口向下，与横轴的一个交点的横坐标为0，另一个交点的横坐标在区间（9，10）内，可见其顶点横坐标在区间（4.5，5）内，故当时,最大。评述：本题的一般解法是利用， ，得，故当时，最大。由此可见利用函数图象，解法直观，一目了然。等差数列中，前项和为，若，为何值时最大？分析：等差数列前项和可以看成关于的二次函数，是抛物线上的离散点，根据题意，则因为欲求最大值，故其函数图像