人教A版选修22 3.1数系的扩充与复数概念（2） 学案.doc

第三章数系的扩充与复数的引入3.1数系的扩充与复数概念2 - 学 案一、学习目标1理解复平面、实轴、虚轴等概念2理解可以用复平面内的点或以原点为起点的向量来表示复数以及它们之间的一一对应关系(重点)3理解复数模的概念，会求复数的模(难点)二、自主学习 阅读教材p52 p53内容，完成下列问题1复平面 建立直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴，实轴上的点都表示实数，除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数2复数的几何意义(1)复数 abi(a，br) 复平面内的点 (a，b)(2)复数 abi(a，br) 平面向量.为方便起见，我们常把复数 abi说成点 或说成向量，并且规定，相等的向量表示同一个复数3复数的模向量的模r叫做复数 abi的模，记作| |或|abi|，且r(r0，且rr)1.判断(正确的打“”，错误的打“”)(1)在复平面内，对应于实数的点都在实轴上()(2)复数的模一定是正实数()(3)复数 1 2的充要条件是| 1| 2|.()【解析】(1)正确根据实轴的定义，x轴叫实轴，实轴上的点都表示实数，反过来，实数对应的点都在实轴上，如实轴上的点(2,0)表示实数2.(2)错误复数的模一定是实数但不一定是正实数，如：0也是复数，它的模为0不是正实数(3)错误两个复数不一定能比较大小，但两个复数的模总能比较大小【答案】(1)(2)(3)三、合作探究探究1：复数与复平面内点的关系已知复数 (a21)(2a1)i，其中ar.当复数 在复平面内对应的点满足下列条件时，求a的值(或取值范围)(1)在实轴上；(2)在第三象限；(3)在抛物线y24x上【精彩点拨】解答本题可先确定复数 的实部、虚部，再根据要求列出关于a的方程(组)或不等式(组)求解【自主解答】复数 (a21)(2a1)i的实部为a21，虚部为2a1，在复平面内对应的点为(a21,2a1)(1)若 对应的点在实轴上，则有2a10，解得a.(2)若 对应的点在第三象限，则有解得1a. (3)若 对应的点在抛物线y24x上，则有(2a1)24(a21)，即4a24a14a24，解得a.归纳总结：复数与点的对应关系及应用(1)复平面内复数与点的对应关系的实质是：复数的实部就是该点的横坐标，虚部就是该点的纵坐标(2)已知复数在复平面内对应的点满足的条件求参数的取值范围时，可根据复数与点的对应关系，建立复数的实部与虚部满足的条件构成的方程(组)或不等式(组)，通过解方程(组)或不等式(组)得出结论再练一题1在复平面内，若复数 (m2m2)(m23m2)i对应点：(1)在虚轴上；(2)在第二象限；(3)在直线yx上，分别求实数m的取值范围. 【解】复数 (m2m2)(m23m2)i的实部为m2m2，虚部为m23m2.(1)由题意得m2m20，解得m2或m1.(2)由题意得1m1.(3)由已知得m2m2m23m2，m2.探究2：复数与向量的对应关系(1)已知复数 134i， 22ai(ar)对应的点分别为 1和 2，且，则a的值为 (2)已知向量对应的复数是43i，点a关于实轴的对称点为a1，将向量平移，使其起点移动到a点，这时终点为a2.求向量对应的复数；求点a2对应的复数【精彩点拨】(1)利用复数与向量的对应关系，转化为向量的数量积求解(2)根据复数与点，复数与向量的对应关系求解【自主解答】(1)依题意可知(3,4)，(2a,1)，因为，所以0，即6a40，解得a.【答案】(2)因为向量对应的复数是43i，所以点a对应的复数也是43i，因为点a坐标为(4,3)，所以点a关于实轴的对称点a1为(4，3)，故向量对应的复数是43i.依题意知，而(4，3)，设a2(x，y)，则有(4，3)(x4，y3)，所以x8，y0，即a2(8,0)所以点a2对应的复数是8.归纳总结：1根据复数与平面向量的对应关系，可知当平面向量的起点为原点时，向量的终点对应的复数即为向量对应的复数反之，复数对应的点确定后，从原点引出的指向该点的有向线段，即为复数对应的向量2解决复数与平面向量一一对应的题目时，一般以复数与复平面内的点一一对应为工具，实现复数、复平面内的点、向量之间的转化再练一题2在复平面内，o是原点，若向量对应的复数 的实部为3，且|3，如果点a关于原点的对称点为点b，求向量对应的复数【解】根据题意设复数 3bi(br)，由复数与复平面内的点、向量的对应关系得(3，b)，已知|3，即3，解得b0，故 3，点a的坐标为(3,0)因此，点a关于原点的对称点为b(3,0)，所以向量对应的复数为 3.探究3：复数模的几何意义及应用探究1若 c，则满足| |2的点 的集合是什么图形？【提示】(1)因为| |2，即|2，所以满足| |2的点 的集合是以原点为圆心，2为半径的圆，如图所示探究2若 c，则满足2| |3的点 的集合是什么图形？【提示】不等式2| |2的解集是圆| |2外部所有的点组成的集合，不等式| |3的解集是圆| |3内部所有的点组成的集合，这两个集合的交集就是上述不等式组的解集因此，满足条件2| |3的点 的集合是以原点为圆心、分别以2和3为半径的两个圆所夹的圆环，但不包括圆环的边界，如图所示已知复数 1i， 2i.(1)求| 1|与| 2|的值，并比较它们的大小；(2)设复平面内，复数 满足| 2| | 1|，复数 对应的点 的集合是什么？【精彩点拨】(1)利用复数模的定义来求解若 abi(a，br)，则| |.(2)先确定| |的范围，再确定点 满足的条件，从而确定点 的图形【自主解答】(1)| 1|2.| 2|1.21，| 1| 2|.(2)由(1)知| 2| | 1|，则1| |2.因为不等式| |1的解集是圆| |1上和该圆外部所有点的集合，不等式| |2的解集是圆| |2上和该圆的内部所有点组成的集合，所以满足条件1| |2的点 的集合是以原点o为圆心，以1和2为半径的两圆所夹的圆环，且包括圆环的边界归纳总结：1两个复数不全为实数时不能比较大小；而任意两个复数的模可比较大小2复数模的意义是表示复数对应的点到原点的距离，这可以类比实数的绝对值，也可以类比以原点为起点的向量的模来加深理解3| 1 2|表示点 1， 2两点间的距离，| |r表示以原点为圆心，以r为半径的圆再练一题3如果复数 1ai满足条件| |2，那么实数a的取值范围是 【解析】由| |2知， 在复平面内对应的点在以原点为圆心，以2为半径的圆内(不包括边界)，由 1ai知 对应的点在直线x1上，所以线段ab(除去端点)为动点 的集合，由图可知a.【答案】(， )四、自主小测1在复平面内，若(0，5)，则对应的复数为()a0b5c5id52在复平面内，复数 sin 2icos 2对应的点位于()a第一象限b第二象限c第三象限d第四象限3已知复数 3i，则复数的模| |是()a5b8c6d.4已知复数 x2yi(x，yr)的模是2，则点(x，y)的轨迹方程是 5已知复数 满足 | |28i，求复数 .参考答案