苏教版选修44 4.2 曲线的极坐标方程 学案.doc

42曲线的极坐标方程对应学生用书p12 1曲线的极坐标方程一般地，如果一条曲线上任意一点都有一个极坐标适合方程f(，)0；并且极坐标适合方程f(，)0的点都在曲线上，那么这个方程称为曲线的极坐标方程，这条曲线称为这个极坐标方程的曲线2求曲线的极坐标方程的基本步骤(1)建系：建立适当的极坐标系；(2)设点：在曲线上任取一点p(，)；(3)列式：根据曲线上点所满足的条件写出等式；(4)化简：用极坐标，表示上述等式，并化简得极坐标方程；(5)证明：证明所得的方程是曲线的极坐标方程3直线的极坐标方程(1)若直线l经过点m(0，0)，且直线l的倾斜角为，则此直线的极坐标方程为sin()0sin(0)(2)几种常见直线的极坐标方程：4圆的极坐标方程(1)若圆心的坐标为m(0，0)，圆的半径为r，则圆的极坐标方程为220cos(0)r20.(2)几种常见圆的极坐标方程：对应学生用书p12求曲线的极坐标方程例1设p，直线l经过p点且与极轴所成的角为，求直线l的极坐标方程思路点拨取直线上任意点m(，)，构造三角形求om.精解详析如图，设m(，)为直线l上除p点外的任意一点，连接om，op，该直线交ox于点a，则有om，op2，xam，opm，mop，所以有omcosmopop，即cos2，显然p点也在这条直线上所以直线l的极坐标方程为cos2.求平面曲线的极坐标方程，就是要找极径和极角之间的关系，常用解三角形(正弦定理、余弦定理及直角三角形的边角关系)的知识来建立、之间的关系1已知动点m到定点f的距离与到定直线l的距离之比为e，求点m的极坐标方程解：过点f作直线l的垂线，垂足为 ，以点f为极点，f 的反向延长线fx为极轴，建立极坐标系(如图)设m(，)是曲线上任意一点，连接mf，作mal，mbfx，垂足分别为a，b，那么e.设点f到直线l的距离为f p.由mf，mab pcos ，得e，即.2从极点o作圆2acos 的弦om，求各弦的中点p的轨迹方程解：设p点的极坐标是(，)，m的极坐标是(1，1)点m在圆2acos 上，12acos 1.p是om的中点，将它代入12acos 1得22acos ，故p的轨迹方程是acos .直线的极坐标方程例2求过点a(1,0)且倾斜角为的直线的极坐标方程思路点拨法一：按照求极坐标方程的步骤建系、设点、坐标化可求法二：先求直角方程，再将互化公式代入可得.精解详析法一：如图，设m(，)(0)为直线上除点a以外的任意一点，则xam，oam，oma，在oam中，由正弦定理得，即，所以sin，即，化简，得(cos sin )1，经检验点a(1,0)的坐标适合上述方程，所以满足条件的直线的极坐标方程为(cos sin )1.法二：以极点o为直角坐标原点，极轴为x轴，建立平面直角坐标系xoy，直线的斜率 tan 1，直线方程为yx1，将ysin ，xcos (0)代入上式，得sin cos 1，所以(cos sin )1.求直线的极坐标方程的一般方法为：在直线上设m(，)为任意一点，连接om，构造出含有om的三角形，再利用三角形知识求om，即把om用表示，这就是我们所需求的与的关系，即为直线的极坐标方程，也可先求出直角坐标方程，再变换为极坐标方程3求满足下列条件的直线的极坐标方程：(1)过点且与极轴平行；(2)过点且与极轴垂直；(3)过极点且与极轴成角解：(1)点与点相同，所以过点且与极轴平行的直线极坐标方程为sin .(2)点与点相同，所以过点且与极轴垂直的直线极坐标方程为cos 1.(3)过极点且与极轴成的角的直线方程为.4求过点(2,3)，且斜率为2的直线的极坐标方程解：由题意可知，直线的直角坐标方程为y32(x2)，即2xy70.设m(，)为直线上任意一点，将xcos ，ysin 代入2xy70得2cos sin 70.故所求的极坐标方程为2cos sin 70.圆的极坐标方程例3求圆心在a，并且过极点的圆的极坐标方程，并把它化为直角坐标方程思路点拨设p(，)是圆上任意一点，结合图形，构造三角形后可求解精解详析如图，设p(，)为圆上除o、b外的任意一点，连接op，pb，则有ob4，op，pob，bpo，从而bop为直角三角形，所以有opobcospob，即4cos4sin .点o(0,0)，b也适合此方程故所求圆的极坐标方程为4sin .化为直角坐标方程为x2y24y0.求与圆有关的极坐标方程时，关键是找出曲线上点满足的几何条件，转化为解三角形问题，从而建立、满足的关系式即方程，也可先求直角坐标方程，再化为极坐标方程5求满足下列条件的圆的极坐标方程：(1)半径为4，在极坐标系中圆心坐标为(4，)；(2)在直角坐标系中，圆心为(1,1)，且过原点解：(1)因为4sin(90)4cos ，所以圆的极坐标方程为8cos .(2)因为圆的直角坐标方程为(x1)2(y1)22，即x2y22(xy)由坐标变换公式，得22(cos sin )，所以圆的极坐标方程为2(sin cos )6求以极坐标系中的点(1,1)为圆心，1为半径的圆的极坐标方程解：如图所示，设圆心为c(1,1)，p(，)为圆上任意一点，过c作cdop于点d，cocp，op2do.在rtcdo中，doc1，docos(1)op2cos(1)，因此圆的极坐标方程为2cos(1)对应学生用书p141将下列各题进行直角坐标方程与极坐标方程的互化(1)y2x22x10；(2).解：(1)将xcos ，ysin ，代入原方程，得22cos 10.(2)由得2cos 1，所以2cos 1，令xcos ，2x2y2，得2x1，两边平方整理得3x24y22x10.2(北京高考改编)在极坐标系中，求点到直线sin 2的距离解：极坐标系中点对应直角坐标系中坐标为(，1)，极坐标系直线sin 2对应直角坐标系中直线方程为y2，所以距离为1.3在极坐标系中，已知圆2cos 与直线3cos 4sin a0相切，求实数a的值解：将极坐标方程化为直角坐标方程，得圆的方程为x2y22x，即(x1)2y21，直线的方程为3x4ya0.由题设知，圆心(1,0)到直线的距离为1，即有1，解得a8或a2.故a的值为8或2.4极坐标方程(2)0(0)表示的图形是什么？解：由(2)0(0)，得2或者(0)，其中前者表示的图形是圆，后者表示的图形是一条射线5(安徽高考改编)在极坐标系中，求圆2cos 的垂直于极轴的两条切线的方程解：由2cos 可得x2y22x(x1)2y21，所以圆的圆心为(1,0)，半径为1，与x轴垂直的圆的切线方程分别是x0，x2，在以原点为极点的极坐标系中，与之对应的方程是(r)和cos 2.6(天津高考改编)已知圆的极坐标方程为4cos ，圆心为c，点p的极坐标为，求cp的长解：如图，由圆的极坐标方程为4cos 知oc2，又因为点p的极坐标为，p的直角坐标为(2,2)，所以op4，poc，在poc中，由余弦定理得cp2op2oc22opoccos16424212，所以cp2.7在极坐标系中，o为极点，求过圆c：6cos的圆心c且与直线oc垂直的直线l的极坐标方程解：圆心c的坐标为，设直线l上任意一点p(，)，则有cos3.故直线l的极坐标方程为cos3.8在极坐标系中，点o(0,0)，b.(1)求以ob为直径的圆c的直角坐标方程；(2)若直线l的极坐