大学经典课件之高等数学——9-2二重积分的计算(2).pdf

第九章第九章 第二节第二节 机动 目录 上页 下页 返回 结束机动 目录 上页 下页 返回 结束 二重积分的计算 2 二重积分的计算 2 极坐标系下计算 二重积分 极坐标系下计算 二重积分 为什么为什么引用极坐标计算二重积分引用极坐标计算二重积分引用极坐标计算二重积分引用极坐标计算二重积分 2 1 D 0 y x D1D2 D3 D4 D 之间的环域 和 之间的环域 和4 1 22 22 yx yx 4321 DDDD I 怎么计算 怎么计算 D yxyxfId d 必须把 必须把 D 分块儿 分块儿 机动 目录 上页 下页 返回 结束机动 目录 上页 下页 返回 结束 A o D i i ii ii i 一 利用极坐标系计算二重积分一 利用极坐标系计算二重积分 机动 目录 上页 下页 返回 结束机动 目录 上页 下页 返回 结束 在极坐标系下 则小区域的面积可近似地看成矩形 即 在极坐标系下 则小区域的面积可近似地看成矩形 即 2 1 ni i L 射线射线 常数 常数 分划区域 分划区域 D 为为 用同心圆用同心圆 常数 常数 iiii sin cos DD ddfdxdyyxf ddd sin cos 2 1 dfd A D o 1 2 D ddf sin cos 二重积分化为二次积分的公式 二重积分化为二次积分的公式 区域特征如图区域特征如图 21 机动 目录 上页 下页 返回 结束机动 目录 上页 下页 返回 结束 区域特征如图区域特征如图 21 sin cos 2 1 dfd D ddf sin cos A o D 2 1 机动 目录 上页 下页 返回 结束机动 目录 上页 下页 返回 结束 A o D sin cos 0 dfd 二重积分化为二次积分的公式 二重积分化为二次积分的公式 区域特征如图区域特征如图 0 D ddf sin cos 机动 目录 上页 下页 返回 结束机动 目录 上页 下页 返回 结束 D ddf sin cos sin cos 0 2 0 dfd 二重积分化为二次积分的公式 二重积分化为二次积分的公式 区域特征如图区域特征如图 0 D o A 2 0 机动 目录 上页 下页 返回 结束机动 目录 上页 下页 返回 结束 思考 思考 下列各图中域 下列各图中域 D 分别与 分别与 x y 轴相切于轴相切于 答 答 0 D o y x D o y x 原点 试问原点 试问 和和 的变化范围是什么 的变化范围是什么 1 2 22 机动 目录 上页 下页 返回 结束 答 答 0 0 例 1例 1将 将 D dxdyyxf 化为极坐标下的二次积分 其中 化为极坐标下的二次积分 其中 11 2 xyxyxD 1 yx 1 22 yx 解解在极坐标系下在极坐标系下 sin cos y x 所以圆方程为所以圆方程为 1 直线方程为直线方程为 cossin 1 D dxdyyxf sin cos 2 0 1 cossin 1 dfd 机动 目录 上页 下页 返回 结束机动 目录 上页 下页 返回 结束 例 2例 2 计算二重积分 计算二重积分 D dxdy yx yx 22 22 sin 其中 积分区域为 其中 积分区域为 41 22 yxyxD 解解由对称性 可只考虑第一象限部分由对称性 可只考虑第一象限部分 D dxdy yx yx 22 22 sin 2 10 sin 4 2 dd 4 1 D 1 22 22 sin 4 D dxdy yx yx 机动 目录 上页 下页 返回 结束机动 目录 上页 下页 返回 结束 0 y x 变为极坐标形式把变为极坐标形式把 d d D yxyxfI 所围区域与所围区域与 0 222 yayaxD 2a cos2a 2 0 cos2 0 d sin cos d a f 222 ayax cos2 a 即 即 解解 例3例3 D yxyxfIdd 代入令代入令 sin cos y x 机动 目录 上页 下页 返回 结束机动 目录 上页 下页 返回 结束 d d 2 0 2 0 2 变为极坐标形式把变为极坐标形式把 RyRy xyxfyI 2R 区域边界 区域边界 x 0 I 0 y x 即 即 2Rsin 2Rsin 2 0 sin2 0 d sin cos d R f 例4例4 2 2yRyx 2 2 即 即 机动 目录 上页 下页 返回 结束机动 目录 上页 下页 返回 结束 例 5例 5 写出写出 D dxdyyxf 在极坐标下的累次积分 其中 在极坐标下的累次积分 其中 4 2 22 yxyxD 20 222 a所截得的 含在柱面内的 立体的体积 所截得的 含在柱面内的 立体的体积 解 解 由对称性可知由对称性可知 2 0 cos20 aD dd44 22 D a 2 0 d4 cos2 0 22 d4 a a d sin1 3 32 2 0 33 a 3 2 2 3 32 3 a o x y z a2 机动 目录 上页 下页 返回 结束机动 目录 上页 下页 返回 结束 yxyxaV D dd44 222 aa2 x y o axyx2 22 例 9例 9 求曲线 求曲线 2 222222 yxayx 和 和 222 ayx 所围成的图形的面积 所围成的图形的面积 解解 根据对称性有根据对称性有 在极坐标系下在极坐标系下 2 222222 yxayx 2cos2 a 222 aayx 1 D 1 4DD 机动 目录 上页 下页 返回 结束机动 目录 上页 下页 返回 结束 由由 a a 2cos2 得交点得交点 6 aA 所求面积所求面积 1 4 D dxdy 2cos2 0 6 4 a a dd 3 3 2 a D dxdy 机动 目录 上页 下页 返回 结束机动 目录 上页 下页 返回 结束 1 D 6 aA 例 10例 10 计算计算 dxdye D yx 22 其中 其中DD 是由中心在 原点 半径为 是由中心在 原点 半径为 a 的圆周所围成的闭区域 的圆周所围成的闭区域 解解 在极坐标系下在极坐标系下 D a 0 20 dxdye D yx 22 a ded 0 2 0 2 1 2 a e 机动 目录 上页 下页 返回 结束机动 目录 上页 下页 返回 结束 例 11例 11 求广义积分求广义积分 0 2 dxe x 解解 0 222 1 yxRyxyxD 0 2 222 2 yxRyxyxD 0 0 RyRxyxS 显然有显然有 21 DSD 0 22 yx eQ 1 22 D yx dxdye S yx dxdye 22 2 22 D yx dxdye 1 D 2 D S S 1 D 2 D R R2 机动 目录 上页 下页 返回 结束机动 目录 上页 下页 返回 结束 R y R x dyedxe 00 22 2 0 2 R x dxe S yx dxdyeI 22 1 22 1 D yx dxdyeI R ded 00 2 2 1 4 2 R e 2 22 2 D yx dxdyeI 1 4 2 2R e 当 当 R 时 时 4 1 I 4 2 I 故当 故当 R 时 时 4 I 即即 4 2 0 2 dxe x 故所求广义积分故所求广义积分 21 III Q 1 4 1 4 222 22 0 R R xR edxee 2 0 2 dxe x 例12 例12 将积分化为极坐标形式将积分化为极坐标形式 R y R x 2 2 1 1R R 0 0 2222 R R R xR y x y fx 2 1 d d d d 2 1 00 00 R R Rx y x y fx D1D2 R 0 y x D d tand arctan 00 RR f d tan arctan 0 2 0 2 2 2 R f R 22 xRy d d tan arctan 00 RR f arctanR I I 机动 目录 上页 下页 返回 结束机动 目录 上页 下页 返回 结束 二重积分在极坐标下的计算公式 在积分中注意使用 二重积分在极坐标下的计算公式 在积分中注意使用对称性对称性 二 小结二 小结 D ddf sin cos sin cos 2 1 dfd sin cos 0 dfd sin cos 0 2 0 dfd 机动 目录 上页 下页 返回 结束机动 目录 上页 下页 返回 结束 作业作业 习题习题8 2 P164 7 2 3 5 8 3 4 9 2 3 10 1