大学经典课件之高等数学——8-2偏导数.pdf

第八章第八章 第二节第二节 机动 目录 上页 下页 返回 结束机动 目录 上页 下页 返回 结束 偏导数偏导数 二 偏导数的几何意义 一 偏导数的定义及计算 三 高阶偏导数 二 偏导数的几何意义 一 偏导数的定义及计算 三 高阶偏导数 定义 定义 设函数设函数 yxfz 在点在点 000 yxP的某一邻的某一邻域域 内有定义 将内有定义 将y固定为固定为 0 y 给 给 0 x以增量以增量x 相应地函 数有增量 相应地函 数有增量 一 偏导数的定义及计算一 偏导数的定义及计算 0000 yxfyxxfz x 若极限若极限 x yxfyxxf x lim 0000 0 存在 则称此极限为函数存在 则称此极限为函数 yxfz 在点在点 00 yx处对处对x 的偏导数 记为 的偏导数 记为 机动 目录 上页 下页 返回 结束机动 目录 上页 下页 返回 结束 0 0 yy xx x z 0 0 yy xx x f 0 0 yy xx x z 00 yxf x 或或 可定义函数可定义函数 yxfz 在点在点 00 yx处对 处对 y的偏 导数 定义为 的偏 导数 定义为 同理同理 y yxfyyxf y lim 0000 0 记为记为 0 0 yy xx y z 0 0 yy xx y f 0 0 yy xx y z 或或 00 yxf y 机动 目录 上页 下页 返回 结束机动 目录 上页 下页 返回 结束 如果函数 如果函数 yxfz 在区域 在区域 D内任一点内任一点 yx处 对 处 对 x的偏导数都存在 那么这个偏导数就是 的偏导数都存在 那么这个偏导数就是 x y的 函数 它就称为函数 的 函数 它就称为函数 yxfz 对自变量 对自变量 x的偏导 数 记作 的偏导 数 记作 x z x f x z 或 或 yxf x 同理可以定义函数 同理可以定义函数 yxfz 对自变量对自变量y的偏导 数 记作 的偏导 数 记作 y z y f y z 或 或 yxf y 机动 目录 上页 下页 返回 结束机动 目录 上页 下页 返回 结束 偏导数的概念可以推广到二元以上函数偏导数的概念可以推广到二元以上函数 如在处如在处 zyxfu zyx lim 0 x zyxfzyxxf zyxf x x lim 0 y zyxfzyyxf zyxf y y lim 0 z zyxfzzyxf zyxf z z 机动 目录 上页 下页 返回 结束机动 目录 上页 下页 返回 结束 例 1例 1 求 求 22 3yxyxz 在点 在点 2 1 处的 偏导数 处的 偏导数 解解 x z 32yx y z 23yx 2 1 y x x z 82312 2 1 y x y z 72213 机动 目录 上页 下页 返回 结束机动 目录 上页 下页 返回 结束 例2 例2 设 设 y xz 1 0 xx 求证 求证 z y z xx z y x 2 ln 1 证证 x z 1 y yx y z ln xx y y z xx z y x ln 1 xx x yx y x yy ln ln 1 1 yy xx 2z 原结论成立 原结论成立 机动 目录 上页 下页 返回 结束机动 目录 上页 下页 返回 结束 例 3例 3 已知理想气体的状态方程已知理想气体的状态方程RTpV R为常数 求证 为常数 求证 1 p T T V V p 证证 V RT p 2 V RT V p p RT V p R T V R pV T R V p T p T T V V p 2 V RT p R R V 1 pV RT 机动 目录 上页 下页 返回 结束机动 目录 上页 下页 返回 结束 偏导数偏导数 x u 是一个整体记号 不能拆分 是一个整体记号 不能拆分 有关偏导数的几点说明 有关偏导数的几点说明 求分界点 不连续点处的偏导数要用 定义求 求分界点 不连续点处的偏导数要用 定义求 机动 目录 上页 下页 返回 结束机动 目录 上页 下页 返回 结束 0 0 0 0 0 22 的偏导数求 设 的偏导数求 设 yxf yx yx yx xy yxf 例 4 解 例 4 解 0 0 时当时当 yx 222 22 2 yx xyxyxy yxf x 222 22 yx xyy 222 22 2 yx xyyyxx yxf y 222 22 yx yxx 机动 目录 上页 下页 返回 结束机动 目录 上页 下页 返回 结束 0 0 时当时当 yx按定义可知 按定义可知 x fxf f x x 0 0 0 lim 0 0 0 0 0 lim 0 x x y fyf f y y 0 0 0 lim 0 0 0 0 0 lim 0 y y 0 0 0 0 0 222 22 yx yx yx xyy yxf x 0 0 0 0 0 222 22 yx yx yx yxx yxf y 机动 目录 上页 下页 返回 结束机动 目录 上页 下页 返回 结束 即即 yxf在在 0 0 点的两个偏导数都存在 但 点的两个偏导数都存在 但 例4说明 例4说明 多元函数在某点的偏导数都存在并不能 保证此函数在这一点是连续的 多元函数在某点的偏导数都存在并不能 保证此函数在这一点是连续的 即即 yxf在在 0 0 点不连续 点不连续 0 0 2 1 lim lim 22 2 0 0 0 f xx x yxf xyxyxyx 机动 目录 上页 下页 返回 结束机动 目录 上页 下页 返回 结束 偏导数存在与连续的关系偏导数存在与连续的关系 多元函数中在某点偏导数存在 一元函数中在某点可导连续 多元函数中在某点偏导数存在 一元函数中在某点可导连续 连续连续 例 5例 5 设 设 其它 或 其它 或 1 2 00 yyxx yxf 0 00 yx 显然显然 yxf在在 00 yx 处不连续 但 处不连续 但 0 00 yxfx 0 00 yxf y 偏导数存在 偏导数存在 机动 目录 上页 下页 返回 结束机动 目录 上页 下页 返回 结束 x z y 0 yxfz M x z x yxfyxxf x lim 0000 0 M x z 由一元函数导数的几何意义 由一元函数导数的几何意义 z f x y 0 yy yxfz L L 得曲线得曲线 tan 二 偏导数的几何意义二 偏导数的几何意义 y y0 0000 y x M y z 同理 同理 M Tx 固定 固定 y y0 复习一元函数导数 机动 目录 上页 下页 返回 结束机动 目录 上页 下页 返回 结束 M yxfz M y z y y xfyy xf y 0000 0 0000 0 lim z f x y L 0000 y x x x0 固定 固定 x x0 Tx x z y 0 二 偏导数的几何意义二 偏导数的几何意义 机动 目录 上页 下页 返回 结束机动 目录 上页 下页 返回 结束 M yxfz M y z y y xfyy xf y 0000 0 0000 0 lim M y z 由一元函数导数的几何意义 由一元函数导数的几何意义 z f x y 0 0 xx y xfz L 得曲线得曲线 tan 0000 y x x x0 固定 固定 x x0 Tx Ty x z y 0 二 偏导数的几何意义二 偏导数的几何意义 机动 目录 上页 下页 返回 结束机动 目录 上页 下页 返回 结束 2 2 yxf x z x z x xx 2 2 yxf y z y z y yy 2 yxf yx z x z y xy 2 yxf xy z y z x yx 函数函数 yxfz 的二阶偏导数为的二阶偏导数为 纯偏导 混合偏导 纯偏导 混合偏导 三 高阶偏导数三 高阶偏导数 机动 目录 上页 下页 返回 结束机动 目录 上页 下页 返回 结束 类似可以定义更高阶的偏导数 类似可以定义更高阶的偏导数 例如 例如 z f x y 关于关于 x 的三阶偏导数为的三阶偏导数为 3 3 2 2 x z x z x z f x y 关于 关于 x 的 的 n 1 阶偏导数 再关于 阶偏导数 再关于 y 的一阶的一阶 y yx z n n 1 机动 目录 上页 下页 返回 结束机动 目录 上页 下页 返回 结束 偏导数为偏导数为 1 1 n n x z 定义 定义 二阶及二阶以上的偏导数统称为高阶偏导数 二阶及二阶以上的偏导数统称为高阶偏导数 例 6 例 6 设设13 323 xyxyyxz 求求 2 2 x z xy z 2 yx z 2 2 2 y z 及 及 3 3 x z 解解 x z 33 322 yyyx y z 92 23 xxyyx 2 2 x z 6 2 xy 2 2 y z 182 3 xyx 3 3 x z 6 2 y xy z 2 196 22 yyx yx z 2 196 22 yyx 机动 目录 上页 下页 返回 结束机动 目录 上页 下页 返回 结束 例 7例 7 设设byeu ax cos 求二阶偏导数 求二阶偏导数 解解 cosbyae x u ax sinbybe y u ax cos 2 2 2 byea x u ax cos 2 2 2 byeb y u ax sin 2 byabe yx u ax sin 2 byabe xy u ax 机动 目录 上页 下页 返回 结束机动 目录 上页 下页 返回 结束 问题 问题 混合偏导数都相等吗 混合偏导数都相等吗 0 0 0 0 0 22 3 的二阶混合偏导数求 设 的二阶混合偏导数求 设 yxf yx yx yx yx yxf 例 8 解 例 8 解 0 0 时当时当 yx 222 3222 2 3 yx yxxyxyx yxf x 23 222 4 22 2 yx yx yx yx 2 222 23 22 3 yx yx yx x yxf y 机动 目录 上页 下页 返回 结束机动 目录 上页 下页 返回 结束 0 0 时当 时当 yx按定义可知 按定义可知 x fxf f x x 0 0 0 lim 0 0 0 0 0 lim 0 x x y fyf f y y 0 0 0 lim 0 0 0 0 0 lim 0 y y y fyf f xx y xy 0 0 0 lim 0 0 0 0 x fxf f yy x yx 0 0 0 lim 0 0 0 1 0 0 0 0 yxxy ff 显然显然 机动 目录 上页 下页 返回 结束机动 目录 上页 下页 返回 结束 问题 问题 具备怎样的条件才能使混合偏导数相等 具备怎样的条件才能使混合偏导数相等 证明 目录 上页 下页 返回 结束证明 目录 上页 下页 返回 结束 说明1 说明1 例如 对三元函数 例如 对三元函数 u f x y z zyxfzyxfzyxf yxzxzyzyx 说明2 说明2 本定理对 本定理对 n 元函数的高阶混合导数也成立 函数在其定义域内是连续的 故求初等函数的高阶导 数可以选择方便的求导顺序 元函数的高阶混合导数也成立 函数在其定义域内是连续的 故求初等函数的高阶导 数可以选择方便的求导顺序 zyxfzyxfzyxf xyzzxyyzx 因为初等函数的偏导数仍为初等函数 因为初等函数的偏导数仍为初等函数 当三阶混合偏导数当三阶混合偏导数 在点 在点 x y z 连续时 有 而初等 连续时 有 而初等 例 9 例 9 验证函数验证函数 22 ln yxyxu 满足拉普拉斯方程满足拉普拉斯方程 0 2 2 2 2 y u x u 解解 ln 2 1 ln 2222 yxyx Q 22 yx x x u 22 yx y y u 满足拉普拉斯方程的函数称为调和函数 满足拉普拉斯方程的函数称为调和函数 机动 目录 上页 下页 返回 结束机动 目录 上页 下页 返回 结束 2 222 22 222 22 2 2 yx xy yx xxyx x u 2 222 22 222 22 2 2 yx yx yx yyyx y u 2 2 2 2 y u x u 0 222 22 222 22 yx yx yx xy 四 内容小结四 内容小结 1 偏导数的概念及有关结论1 偏导数的概念及有关结论 定义 记号 几何意义定义 记号 几何意义 函数在一点偏导数存在 函数在此点连续 函数在一点偏导数存在 函数在此点连续 混合偏导数连续混合偏导数连续与求导顺序无关与求导顺序无关 2 偏导数的计算方法2 偏导数的计算方法 求分段点处偏导数要用定义去求 求分段点处偏导数要用定义去求 求高阶偏导数的方法求高阶偏导数的方法逐次求导法 与求导顺序无关时 应选择方便的求导顺序 逐次求导法 与求导顺序无关时 应选择方便的求导顺序 机动 目录 上页 下页 返回 结束机动 目录 上页 下页 返回 结束 作业作业 习题习题7 2 P69 1 1 3 6 7 3 4 6 7 1 3 8 第三节 目录 上页 下页 返回 结束 x u uf 备用题备用题设设 ufz 方程方程 uu x y tdtp 确定确定 u 是是 x y 的函数的函数 可微其中可微其中uuf utp 连续 且连续 且 1 u 求求