苏教版选修45 5.2.2 含有绝对值的不等式的证明 学案.doc

5.2.2 含有绝对值的不等式的证明自主整理1.对于任意两个实数a、b,设它们在数轴上的对应点分别为a、b,那么|a-b|的几何意义是_,即线段ab的_.2.绝对值不等式的性质.(1)|a+b|_|a|+|b|,当且仅当_时取“=”.(2)|a|-|b|_|a+b|,当且仅当_时取“=”.(3)|a-b|_|a|+|b|,当且仅当_时取“=”.(4)|a-b|_|a|-|b|,当且仅当_时取“=”.3.三个实数的绝对值不等式.|a-c|a-b|+|b-c|,当且仅当_时取“=”.高手笔记1.含有绝对值的不等式的性质定理推广:(1)|a1+a2+a3|a1|+|a2|+|a3|;(2)|a1+a2+a3+an|a1|+|a2|+|an|.2.在应用含有绝对值的不等式求某些函数的最值时,一定要注意等号成立的条件.名师解惑对绝对值不等式的几何意义的理解.剖析:绝对值不等式|a|-|b|ab|a|+|b|的实质是两个实数的和、差的绝对值与绝对值的和、差的关系.用向量a、b替换实数a、b时,问题就从一维扩展到二维.当向量a、b不共线时,a+b、a、b构成三角形,有|a+b|a|+|b|.当向量a、b共线时,若a、b同向(相当于ab0),|a+b|=|a|+|b|;若a、b异向(相当于ab0),|a+b|a|+|b|.这些都是利用三角形的性质定理,如两边之和大于第三边等.这样处理,可以形象地描绘绝对值三角不等式,更易于记忆和利于定理的应用.绝对值三角不等式体现了“放缩法”的一种形式，但放缩的“尺度”还要仔细把握,如不等式|a|-|b|a|-|b|a+b|a|+|b|也成立,因为|a|-|b|不一定是正数.讲练互动【例1】若ab0,则下列结论中正确的是( )a.不等式和均不成立b.不等式和均不成立c.不等式和(a+)2(b+)2均不成立d.不等式和(a+)2(b+)2均不成立解析:ab0,成立.|a|b|.,即不成立.故a错.由ab0,得-b0,a-ba.又a-b0,a0,即不成立.故b正确.由ab0,得0,a+b+0.|a+|b+|,即(a+)2(b+)2.故c、d错.答案:b绿色通道 本题利用不等式的基本性质及绝对值的定义进行推导判断.变式训练1.设ab0,下列四个不等式:|a+b|a|,|a+b|b|,|a+b|a-b|,|a+b|a|-|b|中正确的是( )a. b. c. d.答案:c【例2】设m等于|a|、|b|和1中最大的一个,当|x|m时,求证:|2.分析:本题的关键是如何使用“m等于|a|、|b|和1中最大的一个”这一条件,而|a|、|b|、1哪一个最大,会有三种不同的情况,较复杂,但不管谁最大,总有m|a|,m|b|,m1成立,而|+|+|,只需比较|a|与|x|的大小和|b|与|x2|的大小关系即可.证明:由题意,知m|a|,m|b|,m1,又|x|m,|x|a|.|1.|x|m|b|,|1.|x|m1,1.|+|+|=|+|1+1=2成立.绿色通道 分析题目时,题目中的语言文字是我们解题的信息 与依据.而解题时的数学符号语言也往往需要从文字语言中“翻译”转化过 ,准确地理解题目中的文字语言,适当地进行转化也就成了解题的关键.如本题题设条件中的文字语言“m等于|a|、|b|和1中最大的一个”转化为符号语言“m|a|、|m|b|、m1”是证明本题的关键,但如果分情况讨论就太麻烦了.变式训练2.已知二次函数f(x)=x2+ax+b(a、br)的定义域为-1,1.(1)设|f(x)|的最大值为m,求证:m;(2)在(1)中,当m=时,求f(x)的表达式.(1)证明:f(x)=x2+ax+b,x-1,1且|f(x)|m,m|f(-1)|,m|f(1)|,m|f(0)|.4m2|f(0)|+|f(1)|+|f(-1)|=2|b|+|1+a+b|+|1-a+b|(1+a+b)+(1-a+b)-2b|=2.m.(2)解:由m=,得|f(0)|=|b|,-b. 同理,-1+a+b,-1-a+b.两式相加,得-12+2b1,-b-. 由得b=-.当b=-时,由-1+a+b,得-1a0; 由-1-a+b,得0a1. 由得a=0.f(x)=x2-.【例3】已知a、br,a0,求证:.分析:本题要证的不等式包含|a+b|、|a-b|、|a|-|b|和2|a|.因而需要利用绝对值不等式的性质将2|a|化为|a+b+a-b|a+b|+|a-b|,这是一种常用的拼凑法.其次,观察不等式的右边含有|a|-|b|,而|a|-|b|可能为正值,也可能为负值,需分情况进行讨论.证明:(1)若|a|b|,左边= ,+.左边=右边.(2)若|a|b|,左边0,右边0,原不等式成立.综上可知,原不等式成立.绿色通道 分析所要证的不等式的结构,抓住特点进行构造,运用绝对值不等式的性质进行适当的放缩变换,从而证出.变式训练3.已知0,|x-a|,|y-b|,求证:|2x-3y+3b-2a|5.证明:|2x-3y+3b-2a|=|2(x-a)-3(y-b)|2(x-a)|+|3(y-b)|=2|x-a|+3|y-b|2+3=5.【例4】设f(x)=x2-x+3,若|x-a|1,求证:|f(x)-f(a)|2|a|+2.分析:本题为函数与不等式的综合问题,实质是用函数表述的不等式,可将不等式的左边代入“翻译”,再根据绝对值不等式的性质进行变换.证明:f(x)=x2-x+3,|f(x)-f(a)|=|x2-x+3-(a2-a+3)|=|(x2-a2)-(x-a)|=|(x-a)(x+a-1)|=|x-a|x+a-1|.|x-a|1,|f(x)-f(a)|x+a-1|=|(x-a) +(2a-1)|x-a|+|2a-1|1+|2a-1|1+|2a|+1=2|a|+2成立.绿色通道 不等式常与函数相结合,将所涉及的函数值“翻译”出 ,并逐步变形,构造出能用绝对值不等式性质的新不等式.本题中,由|x+a-1|改写为|(x-a)+(2a-1)|这是关键的一步变形,这是因为|x+a-1|中含有x,而不等式的右边为2|a|+2不含x,而有x的信息只有|x-a|1,所以“变形”“构造”在解本题时是关键.变式训练4.函数f(x)的定义域为0,1,且f(0)=f(1),当x1、x20,1,且x1x2时,都有|f(x2)-f(x1)|x2-x1|,求证:|f(x2)-f(x1)|.证明:不妨设0x1x21,若x2-x1,则|f(x2)-f(x1)|x2-x1|,|f(x2)-f