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第八章 多元函数微分法 及其应用习题课 第八章 多元函数微分法 及其应用习题课 机动 目录 上页 下页 返回 结束机动 目录 上页 下页 返回 结束 一 基本概念一 基本概念 1 多元函数的定义 极限 连续多元函数的定义 极限 连续 判断极限不存在及求极限的方法判断极限不存在及求极限的方法 函数的连续性及其性质函数的连续性及其性质 2 偏导数和全微分的定义 性质偏导数和全微分的定义 性质 机动 目录 上页 下页 返回 结束机动 目录 上页 下页 返回 结束 偏导数 全微分几何意义偏导数 全微分几何意义 判断全微分是否存在判断全微分是否存在 用定义 用定义 3 方向导数和梯度的定义及性质方向导数和梯度的定义及性质 梯度的意义梯度的意义 取得最大方向导数的方向取得最大方向导数的方向 多元函数连续 可导 可微的关系多元函数连续 可导 可微的关系 函数可微 函数连续 偏导数连续 函数可导 函数可微 函数连续 偏导数连续 函数可导 机动 目录 上页 下页 返回 结束机动 目录 上页 下页 返回 结束 方向导数存在方向导数存在 1 分析复合结构分析复合结构 二 多元函数微分法二 多元函数微分法 显示结构显示结构 链式法则链式法则 隐式结构隐式结构 公式 两边求导 两边求微分公式 两边求导 两边求微分 画变量关系图画变量关系图 自变量个数自变量个数 变量总个数变量总个数 方程总个数 自变量与因变量由所求对象判定 方程总个数 自变量与因变量由所求对象判定 2 正确使用求导法则 注意正确使用求导符号 正确使用求导法则 注意正确使用求导符号 3 利用一阶微分形式不变性利用一阶微分形式不变性 机动 目录 上页 下页 返回 结束机动 目录 上页 下页 返回 结束 三 多元函数微分法的应用三 多元函数微分法的应用 1 在几何中的应用1 在几何中的应用 求曲线在切线及法平面求曲线在切线及法平面 关键关键 抓住切向量抓住切向量 求曲面的切平面及法线求曲面的切平面及法线 关键关键 抓住法向量抓住法向量 2 极值与最值问题极值与最值问题 极值的必要条件与充分条件极值的必要条件与充分条件 求条件极值的方法 求条件极值的方法 拉格朗日乘数法拉格朗日乘数法 求解最值问题求解最值问题 二元函数泰勒公式二元函数泰勒公式 机动 目录 上页 下页 返回 结束机动 目录 上页 下页 返回 结束 作业 习题 作业 习题7 10 P137 2 4 5 8 12 13 16 19 20 22 24 26 29 30 35 机动 目录 上页 下页 返回 结束 例1 例1 已知 求出 的表达式 已知 求出 的表达式 yxf 解法1 解法1 令令 yxu vuf uvu 即即 xyxyxf 0 xxf Q 1 yxyxf 解法2解法2 yxyxyxyxyxf Q xyxyxf 以下与解法1 相同 以下与解法1 相同 22 yxyxyxyxf 0 xxf vuyvux 2 1 2 1 则则 xx 且且 yxv 4 1 4 1 22 uvuvu 机动 目录 上页 下页 返回 结束机动 目录 上页 下页 返回 结束 例2例2 机动 目录 上页 下页 返回 结束机动 目录 上页 下页 返回 结束 讨论二重极限讨论二重极限 yx yx y x 0 0 lim 解法1解法10 11 1 lim 0 0 xy y x 原式原式 解法2 解法2 令令 xky 0 1 lim 0 k k x x 原式原式 解法3 解法3 令令 sin cos ryrx 0 sincos sincos lim 0 r r 原式原式 下列算法下列算法是否正确是否正确 时 时 分析 分析 yx yx y x 0 0 lim解法1解法10 11 1 lim 0 0 xy y x 解法2 解法2 令令 xky 0 1 lim 0 k k x x 原式原式 机动 目录 上页 下页 返回 结束机动 目录 上页 下页 返回 结束 此法第一步排除了沿坐标轴趋于原点的情况 此法排除了沿曲线趋于原点的情况 此法第一步排除了沿坐标轴趋于原点的情况 此法排除了沿曲线趋于原点的情况 时例如时例如xxy 2 1lim 2 23 0 x xx x 原式原式 此时极限为 1 第二步 未考虑分母变化的所有情况 此时极限为 1 第二步 未考虑分母变化的所有情况 1 11 1 xyx x y时例如时例如 解法3 解法3 令令 sin cos ryrx 0 sincos sincos lim 0 r r 原式原式 机动 目录 上页 下页 返回 结束机动 目录 上页 下页 返回 结束 此法忽略了此法忽略了 的任意性 的任意性 时当时当 4 0 r 4 sin 2 sincos sincos sincos rr 极限不存在 由以上分析可见 三种解法都不对 因为都不能保证 自变量在定义域内以任意方式趋于原点 特别要注意 在某些情况下可以利用极坐标求极限 但要注意在定义域内 极限不存在 由以上分析可见 三种解法都不对 因为都不能保证 自变量在定义域内以任意方式趋于原点 特别要注意 在某些情况下可以利用极坐标求极限 但要注意在定义域内 r 的变化应该是任意的 同时还可看到 本题极限实际上不存在 的变化应该是任意的 同时还可看到 本题极限实际上不存在 例3例3 解解 lim 22 0 0 yx xxy y x 求极限求极限 0 sin cos yx令令 0 0 0 等价于则等价于则yx cos cos sin 0 2 22 yx xxy cos cos sin 2 0 lim 22 0 0 yx xxy y x 故故 机动 目录 上页 下页 返回 结束机动 目录 上页 下页 返回 结束 证明证明 yx xy yx 11 lim 0 0 不存在 不存在 例4例4 证明 证明 11 11 xyyx xy yx xy 0 0 1 1 时趋于沿时趋于沿 kkxy 11 1 lim 2 2 0 kxkx kx kxy x 原式原式0 0 0 2 2 时趋于沿时趋于沿xy 11 1 lim 3 3 0 2 xxx x xy x 原式原式0 机动 目录 上页 下页 返回 结束机动 目录 上页 下页 返回 结束 1 3 yx xy 设设 11 1 1 lim 1 0 x x x x x y x 原式原式 2 1 0 0 1 时趋于沿当时趋于沿当 x x yyx 1 x x y则则 0 故所求极限不存在 故所求极限不存在 机动 目录 上页 下页 返回 结束机动 目录 上页 下页 返回 结束 证明 证明 0 0 1ln xy x x xy yxf 在其定义域上处处连续 在其定义域上处处连续 例5例5 证明 证明 时 时 0 x x xy yxf 1ln 显然连续 显然连续 0轴上即在时 轴上即在时 yx 0 0 0 1 点即在 点即在 y 0 0 0 点趋于即轴沿点趋于即轴沿 xyyxi lim 0 0 0 yxf x yx 0 lim 0 yf y y y0 lim 0 机动 目录 上页 下页 返回 结束机动 目录 上页 下页 返回 结束 0 0 0 点趋于即轴沿点趋于即轴沿 yxyxii lim 0 0 0 yxf y yx 0 lim 0 xf x 0 0 0 0 0 点趋于即沿其它路径点趋于即沿其它路径 yxyxiii lim 0 0 yxf yx x xy yx 1ln lim 0 0 y xy xy yx 1ln lim 0 0 yxy xy yx 1ln lim 0 0 0 点连续在所以 点连续在所以 0 0 yxf 机动 目录 上页 下页 返回 结束机动 目录 上页 下页 返回 结束 0 0 0 点趋于即沿其它路径点趋于即沿其它路径yxyxii lim 0 0 yxf yyx x xy yyx 1ln lim 0 0 y xy xy yyx 1ln lim 0 0 yxy xy yyx 1ln lim 0 0 0 y 点连续在所以 点连续在所以 0 0 00 yyyxf 0 0 0 2 00 yyy即在点即在点 0 0 0 点趋于即轴沿点趋于即轴沿yxyyxi lim 0 0 0 yxf x yyx 0 lim 0 yf yy 0 y 0 0 yf 0 0 yf 在其定义域内连续综上所述 在其定义域内连续综上所述 yxf 机动 目录 上页 下页 返回 结束机动 目录 上页 下页 返回 结束 试确定试确定 的范围 使的范围 使0 lim 22 0 0 yx yx yx 例6例6 解 解 0 0 时趋于沿当时趋于沿当xyyx 22 0 0 lim yx yx yx yx 2 0 2 2 lim x x x 20 必须 所以 要使此极限为必须 所以 要使此极限为 02时 极限是否为现看 时 极限是否为现看 22 0 0 lim yx yx yx 22 22 0 0 lim yx yxyx yx 2 22 2 yx yx Q 2 0 lim 2 0 0 yx yx 故原极限为故原极限为0 所以要使上极限为 所以要使上极限为0 必须 必须2 机动 目录 上页 下页 返回 结束机动 目录 上页 下页 返回 结束 设设 00 0 sin 22 2222 22 yx yxyx yx xy yxf 1 1 yxf在在 0 0 处是否连续 2 处是否连续 2 yxf在在 0 0 处是否可微 处是否可微 例7例7 解 解 sin lim 22 22 0 0 yx yx xy y x 0 0 0f 1 连续 在即连续 在即 0 0 yxf 2 易证 易证0 0 0 0 0 yx ff 机动 目录 上页 下页 返回 结束机动 目录 上页 下页 返回 结束 则则 yfxff yx 0 0 0 0 22 22 22 sin yx yx yx yx 时当 时当0 上述极限不存在 上述极限不存在 不可微 在故不可微 在故 0 0 yxf yxff sin 22 22 yx yx yx 机动 目录 上页 下页 返回 结束机动 目录 上页 下页 返回 结束 0 0 0 22 22 2 3 22 22 yx yx yx yx yxf 解 解 利用利用 2 22 yxyx 2 1 22 4 1 yxyxf 0 0 0 lim 0 0 fyxf y x 故 故 f x y 在 在 0 0 连续 连续 0 0 0 0 0 yx ff有定义计算得有定义计算得 知知 在点在点 0 0 处连续且偏导数存在 但不可微 处连续且偏导数存在 但不可微 例8 例8 证明 证明 机动 目录 上页 下页 返回 结束机动 目录 上页 下页 返回 结束 而而 0 0 f 00时 当时 当 yx 22 0 0 yx f 222 22 yx yx 所以 所以 f x y 在点 在点 0 0 不可微 不可微 2 3 22 22 yx yx 机动 目录 上页 下页 返回 结束机动 目录 上页 下页 返回 结束 0 例9例9 设 设 y y x z z x 是由是由 确定的隐函数 其中 确定的隐函数 其中 f 与 与 F 分别分别 yxfxz x z d d 0 23 FFfx x z d d 1 F 23 FFfx 1 32 FF fx 12 FF fxffx 221 FffFxfFx 具有一阶导数或具有一阶导数或 fxf x z x y fx d d d d 132 d d d d F x z F x y F f fx d d 1 x y d d x z x y F d d 2 0 d d 3 x z F 99 考研 99 考研 机动 目录 上页 下页 返回 结束机动 目录 上页 下页 返回 结束 偏导数 求偏导数 求 解法1 解法1 方程两边对 方程两边对 x 求导 得求导 得 0 zyxF 解法2解法2 0 zyxFyxfxz 方程两边求微分 得 化简 方程两边求微分 得 化简 消去 即可得消去 即可得 yd d d x z yFd 2 0d 3 zF yfx d 0d z d dddyxfxxfz 0ddd 321 zFyFxF xfxfd xF d 1 机动 目录 上页 下页 返回 结束机动 目录 上页 下页 返回 结束 例10 例10 设设 zyxfu 有二阶连续偏导数 且有二阶连续偏导数 且 sin 2 txz ln yxt 求求 2 yx u x u 解 解 u zyx tx yx x u 1 f 3 f txsin2tx cos 2 yx u 2 12 f 13 ftx cos 2 32 f 33 f 1 cos 2 yx tx cos sin2 2 yx tx tx 3 f yx tx 1 cos2 2 2 yx x yx t 1 sin yx 1cos t yx 1 yx 1 L 机动 目录 上页 下页 返回 结束机动 目录 上页 下页 返回 结束 z x F F x z x z 例11 例11 设设F x y 具有连续偏导数 具有连续偏导数 0 z y z x F dz求求 解法1 解法1 利用偏导数公式 利用偏导数公式 是由方程设是由方程设 yxfz 0 z y z x F y z 21 2 FyFx Fz 21 1 FyFx Fz y y z x x z zddd z F 1 1 1 F 2 z x 2 F 2 z y z F 1 2 确定的隐函数 确定的隐函数 dd 21 21 yFxF FyFx z 则则 2221 z y F z x F 已知方程已知方程 机动 目录 上页 下页 返回 结束机动 目录 上页 下页 返回 结束 故故 对方程两边求微分 对方程两边求微分 1 F dd d 21 21 yFxF FyFx z z dd 2 z zxxz z z FyFx d 2 21 z yFxFdd 21 解法2 解法2 微分法 微分法 0 z y z x F dd 2 z zyyz d z x 2 F0 d z y 1 F 2 F0 机动 目录 上页 下页 返回 结束机动 目录 上页 下页 返回 结束 若可微函数若可微函数 yxfz 满足方程满足方程 y z x z y x 证明 证明 yxf在极坐标系里只是在极坐标系里只是r的函数 的函数 例12 例12 证明 证明 sin cos ry rx 设设则则 y y zx x zz cos sin r y z r x z x y z y x z 0 结论成立结论成立 机动 目录 上页 下页 返回 结束机动 目录 上页 下页 返回 结束 设设yzeu xz sin 其 中 其 中z是 由 方是 由 方 程程 222 y z yfzyx 所确定的二元函数 所确定的二元函数 其其 中中f是可微函数 求是可微函数 求 y u x u 例13 解1 例13 解1 机动 目录 上页 下页 返回 结束机动 目录 上页 下页 返回 结束 yz x z y x z xze x u xz cos x z yzyxeze xzxz cos x z zx 22Q又又 zf x x z 2 2 zf x yzyxeze x u xzxz 2 2 cos x z y f y 1 2 2 cos cos 2 zfy yff zy yzyxeyzz y u xz 机动 目录 上页 下页 返回 结束机动 目录 上页 下页 返回 结束 yzeu xz sin 222 y z yfzyx cos y z yzyze y z x y u xz yzz y z yzyxe xz cos cos y z zy 22Q又又 2 y z x z y f yf 2 2 2 zfy yff zy y z 设设yzeu xz sin 其 中 其 中z是 由 方是 由 方 程程 222 y z yfzyx 所确定的二元函数 所确定的二元函数 其其 中中f是可微函数 求是可微函数 求 y u x u 例13 解2 例13 解2 机动 目录 上页 下页 返回 结束机动 目录 上页 下页 返回 结束 cos zdyydzyzzdxxdzedu xz 1 cos cosdzyzyxeyzdyzdxze xzxz 2 222 y zdyydz y z f ydy y z fzdzydyxdx dy zfy fyyzf dx zf x dz 2 2 2 2 2 解得 解得 2 2 cos cos 2 zfy yff zy yzyxeyzz y u xz 机动 目录 上页 下页 返回 结束机动 目录 上页 下页 返回 结束 上式代入 1 整理得 上式代入 1 整理得 zf x yzyxeze x u xzxz 2 2 cos dy zfy yff zy yzyxeyzz xz 2 2 cos cos 2 dx zf x yzyxezedu xzxz 2 2 cos 设设 yxz是由方程 是由方程 0 yzxyf 所确定的隐 函数 其中 所确定的隐 函数 其中f有连续二阶偏导数 求有连续二阶偏导数 求 x z y z x z 2 2 例14 例14 解 解 2 1 f y f x z 2 21 f y f z f y z 2 3 2 22 2 1122111 2 2 2 2 f y fffffff x z 机动 目录 上页 下页 返回 结束机动 目录 上页 下页 返回 结束 0 21 yzdfxydf 0 21 zdyydzfdxdyf dy f y f zf dx f y f dz 2 21 2 2 1 解得 解得 0 sin 0 2 dx du z f xyzexzyxfu y 求且 具有一阶连续偏导数 设 求且 具有一阶连续偏导数 设 例15例15 解解 dx dz z f dx dy y f x f dx du cosx dx dy 显然 显然 dx dz 求求 得的导数两边求对得的导数两边求对 0 2 xzex y 02 321 dx dz dx dy ex y 机动 目录 上页 下页 返回 结束机动 目录 上页 下页 返回 结束 于是可得 于是可得 cos2 1 2 sin 1 3 xex dx dz x cos2 1 cos 2 sin 1 3 z f xex y f x x f dx du x 故故 设设 22 vux uvy2 vuzln 2 求 求 y z x z 例16 例16 解 解 2 1ln2 22 2 vu vu x z vvu vuvu y z 2 ln2 22 23 机动 目录 上页 下页 返回 结束机动 目录 上页 下页 返回 结束 22 ln lnvduvdudz vduudv v u ln2 2 22vdvududx udvvdudy22 解得 解得 2 22 vu vdyudx du 2 22 vu vdxudy dv 2 ln2 2 2222 2 vu vdyudx vu vu vdxudy v u dz dy vvu vuvu dx vu vu 2 ln2 2 1ln2 22 23 22 2 故 故 又函数又函数 xzzxyy 及 及 2 yxe yx 例17 例17 d d x u 求求 分别由下列两式确定 分别由下列两式确定 zyxfu 有连续的一阶偏导数 设有连续的一阶偏导数 设 解 解 两个隐函数方程两边对 两个隐函数方程两边对 x 求导 得求导 得 321 sin 1 d d f zx zxe f x y f x u x u zyx x x 0 yxyyxye yx x e zx zx sin 1 z x y y sin 1 zx zxe z x d sin 0 t t t e zx x 2001考研 2001考研 机动 目录 上页 下页 返回 结束机动 目录 上页 下页 返回 结束 解得 因此 解得 因此 在变换在变换 22 yxvxu 下求下面方程的解 下求下面方程的解 0 2 2 2 2 y z x x z y 例18 例18 解 解 机动 目录 上页 下页 返回 结束机动 目录 上页 下页 返回 结束 代入原方程化简得 代入原方程化简得 x v v z x u u z x z x v z u z 21 y v v z y u u z y z 2 0y v z u z 0 u z 为任意的一元可微函数其中所以 为任意的一元可微函数其中所以fvfz 故原方程的解为 故原方程的解为 22 yxfz 例 19例 19 设 设 n r 是曲面 是曲面632 222 zyx 在点 在点 1 1 1 P 处的指向外侧的法向量 求函数 处的指向外侧的法向量 求函数 2 1 22 86 1 yx z u 在 此处沿方向 在 此处沿方向 n r 的方向导数 的方向导数 解解令令 632 222 zyxzyxF 4 4 PP x xF 66 P P y yF 22 PP z zF 故故 zyx FFFn r 2 6 4 142264 222 n r 方向余弦为方向余弦为 机动 目录 上页 下页 返回 结束机动 目录 上页 下页 返回 结束 2 6 4 n r 其外法向量为 其外法向量为 14 2 cos 14 3 cos 14 1 cos P P yxz x x u 22 86 6 14 6 P P yxz y y u 22 86 8 14 8 P P z yx z u 2 22 86 14 P P z u y u x u n u coscoscos r 7 11 故故 机动 目录 上页 下页 返回 结束机动 目录 上页 下页 返回 结束 2 1 22 86 1 yx z u 求常数求常数cba 的值 使函数 的值 使函数 232 zcxbyzaxyzyxf 在点 在点 1 2 1 处沿处沿z轴正方向的方向导数有轴正方向的方向导数有最最 大值 64 大值 64 例20 解 例20 解 1 2 1 222 1 2 1 3 zcxayf x ca34 1 2 1 1 2 1 2 bzaxyf y ba 4 1 2 1 2 1 2 1 2 zcxbyfzcb22 轴的方向导数为 沿轴的方向导数为 沿zzyxf 机动 目录 上页 下页 返回 结束机动 目录 上页 下页 返回 结束 1 22 0 4 0 34 cbbaca kd df r64 1 32 cb 又函数沿梯度方向的方向导数最大 故梯度方向就是 又函数沿梯度方向的方向导数最大 故梯度方向就是z 轴的正方向 于是轴的正方向 于是 1 2 1 1 2 1 zyx fffgradf 1 0 0 故故 2 034 ca 即即 3 04 ba 联立联立 1 2 3 式解得式解得 8 24 6 c b a 机动 目录 上页 下页 返回 结束机动 目录 上页 下页 返回 结束 直线 L 直线 L 03 0 zayx byx 在平面 在平面 上 而上 而 与 曲面 与 曲面 22 yxz 相切于相切于 5 2 1 求 求ba 之值 之值 例21 例21 解 解 处的切平面 在是曲面处的切平面 在是曲面 5 2 1 22 yxz Q 的法向量为的法向量为 5 2 1 1 2 2 yxn r 1 4 2 的方程为故的方程为故 0542 zyx即即 得 上在的方程代入得 上在的方程代入 LQ 解出由解出由L bxy 3 1 abxaz 024 5 abbxa 024 05 abb a 于是于是 2 5 ba 解得 解得 0 5 2 4 1 2 zyx 机动 目录 上页 下页 返回 结束机动 目录 上页 下页 返回 结束 例22 例22 在第一卦限作椭球面在第一卦限作椭球面1 2 2 2 2 2 2 c z b y a x 的切平面 的切平面 使其在三坐标轴上的截距的平方和最小 并求切点 使其在三坐标轴上的截距的平方和最小 并求切点 解 解 设设 1 2 2 2 2 2 2 c z b y a x zyxF切点为切点为 000 zyxM 则切平面的法向量为则切平面的法向量为 2 2 0 a x 2 2 0 b y 2 0 2 c z M 即即 z c z y b y x a x 2 0 2 0 2 0 1 2 2 0 2 2 0 2 2 0 c z b y a x 1 切平面方程切平面方程 0 2 02 0 zz c z 2 02 0 yy b y 2 02 0 xx a x 机动 目录 上页 下页 返回 结束机动 目录 上页 下页 返回 结束 zyx FFFn 问题归结为求问题归结为求 2 2 2 2 2 2 z c y b x a s 在条件在条件1 2 2 2 2 2 2 c z b y a x 下的条件极值问题 设拉格朗日函数 下的条件极值问题 设拉格朗日函数 2 2 2 2 2 2 z c y b x a F 1 2 2 2 2 2 2 c z b y a x 0 0 0 zyx 机动 目录 上页 下页 返回 结束机动 目录 上页 下页 返回 结束 切平面在三坐标轴上的截距为切平面在三坐标轴上的截距为 0 2 x a 0 2 y b 0 2 z c 令令 2 22 2 x a x a Fx 02 2 a x 022 22 22 b y y b y b Fy 022 22 22 c z z c z c Fz 1 2 2 2 2 2 2 c z b y a x cba aa x cba bb y cba cc z 由实际意义可知由实际意义可知 cba cc cba bb cba aa M 为所求切点 为所求切点 机动 目录 上页 下页 返回 结束机动 目录 上页 下页 返回 结束 唯一驻点唯一驻点 已知椭球面 已知椭球面 2222 ayzxyzyx 0 a 1 求椭球面上 1 求椭球面上z坐标为最大和最小的点 2 求椭球面在 坐标为最大和最小的点 2 求椭球面在xoy面上的投影区域的边界曲线 面上的投影区域的边界曲线 例23 例23 解 解 1 求导数方程两边关于求导数方程两边关于yx 022 x z yy x z zx 022 y z yzx y z zy 0 0 y z x z 令令 02 02 zxy yx 得得 机动 目录 上页 下页 返回 结束机动 目录 上页 下页 返回 结束 代入椭球面求得代入椭球面求得 6 a x 故得两点故得两点 6 3 6 2 6 1 aaa P 6 3 6 2 6 2 aaa P xzxy3 2 解得 解得 面上的投影柱面是椭球面在设面上的投影柱面是椭球面在设xoyS 2 CS与椭球面相切于曲线与椭球面相切于曲线 而 上两曲面的法向量平行则在而 上两曲面的法向量平行则在C zyx FFFn r 2 2 2 yzzxyyx 即为所求最大点和最小点即为所求最大点和最小点 机动 目录 上页 下页 返回 结束机动 目录 上页 下页 返回 结束 于是曲线满足方程于是曲线满足方程 02 2222 yz ayzxyzyx 的方程得上式消去的方程得上式消去Sz 222 4 3 axyyx 故投影区域的边界曲线为故投影区域的边界曲线为 0 4 3 222 z axyyx 轴垂直应与 显然 轴垂直应与 显然zn r 0 kn r r 即即 02 yz亦即亦即 机动 目录 上页 下页 返回 结束机动 目录 上页 下页 返回 结束 求两球面求两球面25 222 zyx与与1 8 222 zyx 的公切面方程 使该公切面在的公切面方程 使该公切面在x轴和轴和y轴的上半轴 上的截距相等 轴的上半轴 上的截距相等 例24 例24 解 解 设切平面在两球面上的切点分别为设切平面在两球面上的切点分别为 22221111 zyxPzyxP 则切平面分别为则切平面分别为25 111 zzyyxx 1 8 8 222 zzyyxx 8 81 8 2222 zzzyyxx即即 由于是公切面 所以由于是公切面 所以 1 8 81 25 8 22 1 2 1 2 1 zz z y y x x 机动 目录 上页 下页 返回 结束机动 目录 上页 下页 返回 结束 故得故得 2 8 212121 zzyyxx 又由于又由于 4 1 8 3 25 2 2 2 2 2 2 2 1 2 1 2 1 zyx zyx 比较得代入比较得代入 4 3 2 5 得代入得代入 1 2 17 2 5 5 21 zz 4 29 4 15 5 21 zz 由题意由题意 0 11 yx 0 22 yx得分别代入得分别代入 4 3 5时时 4 65 11 yx 4 6 22 yx 5时时 8 145 11 yx 8 14 22 yx 机动 目录 上页 下页 返回 结束机动 目录 上页 下页 返回 结束 故公切面方程为故公切面方程为 25 2 5 4 65 4 65 zyx 25 4 15 8 145 8 145 zyx和和 20266 zyx即即 4061414 zyx和和 机动 目录 上页 下页 返回 结束机动 目录 上页 下页 返回 结束 试求椭圆试求椭圆1245 22 yxyx的长轴和短轴之长 的长轴和短轴之长 例25 例25 解 解 22 yxyxf 令 令在条件则函数在条件则函数 yxf 下的最大值最小值即为下的最大值最小值即为1245 22 yxyx 椭圆的长半轴 短半轴 令椭圆的长半轴 短半轴 令 1245 2222 yxyxyxyxL 则则 3 01245 2 0442 1 04102 22 yxyxL yxyL yxxL y x 由题意知由题意知 0 0 0 yx故故 机动 目录 上页 下页 返回 结束机动 目录 上页 下页 返回 结束 由由 1 得得 2 5 2 1 x y 由由 2 得得1 2 1 y x 两式相减得两式相减得 2 3 y x x y x y u 令 令则有则有 2 31 u u 解得解得 2 1 2 21 uu 2211 2 1 2xyxy 即 即 得分别代入得分别代入 3 5 2 5 1 1 1 y x 30 1 15 2 2 2 y x 2 2 11 yxf长轴为 长轴为 3 6 2 22 yxf短轴为 短轴为 机动 目录 上页 下页 返回 结束机动 目录 上页 下页 返回 结束 当当n个正数个正数 n xxxL 21 之和为常数时 求它们的乘 积开 之和为常数时 求它们的乘 积开n次方的最大值 并由此证明 次方的最大值 并由此证明 1 2121n n n xxx n xxx LL 例26 例26 解 解 21 Cxxx n L设设则此问题化为 求则此问题化为 求 下的在条件下的在条件Cxxxxxx n n n LL 2121 条件极值问题 设条件极值问题 设 2121 CxxxxxxF nn LL 则则 机动 目录 上页 下页 返回 结束机动 目录 上页 下页 返回 结束 0 0 0 0 21 121 31 32 2 1 CxxxF xxxF xxxF xxxF n nx nx nx n L L M L L 得再相加 式分别乘以前得再相加 式分别乘以前 n xxxn 21 L 0 2121 nn xxxxxnxLL n n xxx xxnx L L 21 21 C xxnx n L 21 机动 目录 上页 下页 返回 结束机动 目录 上页 下页 返回 结束 式得代入前式得代入前 n n C xxx n L 21 n n n C xxx 21 的最大值为故的最大值为故L n C xxx n n 的最大值为从而 的最大值为从而 L 21 所以所以 1 2121n n n xxx nn C xxx LL 机动 目录 上页 下页 返回 结束机动 目录 上页 下页 返回 结束 已知已知zyx 为实数 且为实数 且3 2 zye x 求证 求证 1 2 zye x 例27 例27 证 证 由条件由条件 2 3 yez x 设设 2 zyezyxfu x 3 22 yeye xx 0 23 2 0 23 2 22 yeyeu yeyeu xx y xx x 结论成立 若结论成立 若 0 1 y 则由上式解得若则由上式解得若 0 2 y1 0 yx 的最大值点是可以证明 的最大值点是可以证明 u 1 0 所以所以 1 1 0 uzyxf1 2 zye x 即即 机动 目录 上页 下页 返回 结束机动 目录 上页 下页 返回 结束 例 28 例 28 知两平面曲线知两平面曲线0 yxf 0 yxg 和和 分 别为两曲线上的点 试证 如果这两点是这两曲线上相距最 近或最远的点 则 分 别为两曲线上的点 试证 如果这两点是这两曲线上相距最 近或最远的点 则 y x y x g g f f 机动 目录 上页 下页 返回 结束机动 目录 上页 下页 返回 结束 证 证 22 vyuxvuyxd 设设 则本题就是求 在条件则本题就是求 在条件0 yxf和和0 vug下 下 vuyxd的条件极值问题 设 的条件极值问题 设 22 vyuxvuyxF vugyxf 0 2 0 2 0 2 0 2 vugvyF vuguxF yxfvyF yxfuxF v uu yy xx 令令 机动 目录 上页 下页 返回 结束机动 目录 上页 下页 返回 结束 解得解得 y x y x g g f f vug vug yxf yxf vy ux v u y x 由题意 当由题意 当 yx vu时 上式成立 即 时 上式成立 即 例 29 例 29 设有一小山 取它的底面所在的平面为 设有一小山 取它的底面所在的平面为xoy 坐标面 其底部所占的区域为坐标面 其底部所占的区域为 75 22 xyyxyxD 小山的高度函数为 小山的高度函数为 xyyxyxh 22 75 1 设 1 设 00 yxM为区域为区域D的一点 问的一点 问 yxh在该点 沿平面上什么方向的方向导数最大 若记此方向导 数的最大值为 在该点 沿平面上什么方向的方向导数最大 若记此方向导 数的最大值为 00 yxg 试写出 试写出 00 yxg的表达式 的表达式 分析 分析 考查梯度与方向导数的关系 沿梯度方向 的方向导数最大 其值刚好为梯度向量的模 考查梯度与方向导数的关系 沿梯度方向 的方向导数最大 其值刚好为梯度向量的模 机动 目录 上页 下页 返回 结束机动 目录 上页 下页 返回 结束 解 解 00 yxg 00 yxgradh 2 2 0000 jyxixy 2 00 2 00 2 2 yxxy 00 2 0 2 0 855yxyx 2 现欲利用此小山开展攀岩活动 为此需要在 山脚寻找一上山坡度最大的点作为攀岩的起点 2 现欲利用此小山开展攀岩活动 为此需要在 山脚寻找一上山坡度最大的点作为攀岩的起点 也也 就是说 要在就是说 要在D的的边界线的的边界线75 22 xyyx上找出 使 1 中的 上找出 使 1 中的 yxg达到最大值的点 试确定攀岩 起点的位置 达到最大值的点 试确定攀岩 起点的位置 分析 分析 求约束条件 求约束条件75 22 xyyx下下 yxg的最大值 的最大值 机动 目录 上页 下页 返回 结束机动 目录 上页 下页 返回 结束 解 解 为方便求导 令为方便求导 令xyyxyxf855 22 构造拉格朗日函数 构造拉格朗日函数 75 855 2222 xyyxxyyxyxF 075 0 2 810 0 2 810 22 xyyxF xyxyF yxyxF y x 求解得到四个点求解得到四个点 5 5 1 M 5 5 2 M 35 35 3 M 35 35 4 M 450 21 MfMf 150 43 MfMf 都可以作为攀登的起点所以 都可以作为攀登的起点所以 21 MM 机动 目录 上页 下页 返回 结束机动 目录 上页 下页 返回 结束 而而 例 30例 30 设设 yxzz 是由方程 是由方程 181026 222 yxzyzxy 确定的隐函数 已知 确定的隐函数 已知3 3 9 z 求 求 yxzz 在在 3 9 点的带 Peano 型余项的二阶 Taylor 公式 判 断 点的带 Peano 型余项的二阶 Taylor 公式 判 断 yxzz 在在 3 9 点是否取得极值 点是否取得极值 在方程在方程 181026 222 yxzyzxy两边求微分 两边求微分 0 22 2026 26 dzzydyyzxdxxy得得 dy zy zyx dx zy xy dz 1033 解得解得 解 解 机动 目录 上页 下页 返回 结束机动 目录 上页 下页 返回 结束 故注意 故注意 3 3 9 zdy zy zyx dx zy xy dz 1033 3 9 3 3 9 zy yx x z 3 9 310 3 9 zy zxy y z 3 9 2 3 3 9 zy yxzzy A x xx z 又又 3 9 2 3 1 3 3 9 zy yxzzy B y xy z 0 0 6 1 2 1 36 18 机动 目录 上页 下页 返回 结束机动 目录 上页 下页 返回 结束 0 3 9 x z 0 3 9 y z 3 9 C 311 3 9 yyy zy xy z 故在 故在 9 3 点 点 3 9 3 9 z y y x x 0 3 9 3 3 9 9 yx zyzx 3 9 2 311 1 11 zy xyzzy y 3 5 36 60 机动 目录 上页 下页 返回 结束机动 目录 上页 下页 返回 结束 3 9 3 9 2 z y y x x 3 9 3 3 9 3 9 2 3 9 9 2 2 yy xyxx fy zyxzx 22 3 3 5 3 9 9 6 1 yyxx 6 1 3 9 xx zA 2 1 3 9 xy zB 3 5 3 9 yy zC 机动 目录 上页 下页 返回 结束机动 目录 上页 下页 返回 结束 3 6 5 3 9 2 1 9 12 1 3 222 oyyxx 22 3 9 yx 其中其中 3 9 3 9 3 9 z y y x xzyxz 3 9 3 9 2 1 2 2 oz y y x x 又在又在 9 3 点处 点处 0 36 1 4 1 3 5 6 1 2 BAC 0 6 1 A 处取得极小值 在故处取得极小值 在故 3 9 yxzz 机动 目录 上页 下页 返回 结束机动 目录 上页 下页 返回 结束 备用题备用题1 1 设设 22 2 yx x y yxf 求求 2 yx x y f 解法1 解法1 令令 uyx v x y 2 3 vuy 3 vu u x vuf 3 2 2 vu u 3 2 vu 2 x y u yxv 2 yx x y f 2 2 x y 2 y 2 y 2 2 2 y x y 机动 目录 上页 下页 返回 结束机动 目录 上页 下页 返回 结束 1 设设 22 2 yxyxf x y 求求 2 yxf x y 解法2 解法2 令令 u v yx 2 vu x y 2 vy u v x 2 x y yxf 2 vu u v f 2 2 v u v 即即 2 yx x y f 2 2 2 y x y 2 vu u v f 机动 目录 上页 下页 返回 结束机动 目录 上页 下页 返回 结束 yx yx x x 2 0 0 lim x xx x 32 0 lim lim 32 0 xx x 1 2 yx xy x y x 1ln lim 0 0 是否存在 是否存在 解 解 xxy 取取 所以极限不存在 所以极限不存在 3 3 0 1ln yxyx 利用利用 yx xy x y x 1ln lim 0 0 机动 目录 上页 下页 返回 结束机动 目录 上页 下页 返回 结束 3 3 证明证明 yxf 0 0 22 yx yx yx 0 0 0 yx 在全平面连续 在全平面连续 证1 证1 0 0 处在处在 yx yxf为初等函数 故连续 为初等函数 故连续 0 0 0 f 故函数在全平面连续 故函数在全平面连续 机动 目录 上页 下页 返回 结束机动 目录 上页 下页 返回 结束 令令 cos rx sin ry 22 yxr 0 0 时当 时当 yx 0 r 0 r 0 0 时当时当 yx 22 0 0 lim yx yx y x cossinlim 0 r r 3 3 证明证明 yxf 0 0 22 yx yx yx 0 0 0 yx 在全平面连续 在全平面连续 证2 证2 0 0 处在处在 yx yxf为初等函数 故连续 又 为初等函数 故连续 又 22 0 yx yx yxyx2 22 22 22 2 1 yx yx 22 2 1 yx 22 0 0 lim yx yx y x 0 0 0 f 故函数在全平面连续 由夹逼准则得 故函数在全平面连续 由夹逼准则得 机动 目录 上页 下页 返回 结束机动 目录 上页 下页 返回 结束 1 函数1 函数 yxfz 在点在点 00 yx处可微的 充分条件是 1 处可微的 充分条件是 1 yxf在点在点 00 yx处连续 2 处连续 2 yxf x yxf y 在点在点 00 yx的某邻 域存在 3 的某邻 域存在 3 yyxfxyxfz yx 当 当0 22 yx时是无穷小量 4 时是无穷小量 4 22 yx yyxfxyxfz yx 当 当0 22 yx时是无穷小量 时是无穷小量 备用题备用题 机动 目录 上页 下页 返回 结束机动 目录 上页 下页 返回 结束 zfyfxff zyy d 0 0 0 d 0 0 0 d 0 0 0 d 0 0 0 2 设设 coscoscos1 coscoscos zyx xzzyyx zyxf d 0 0 0 f求求 解 解 x x xf cos3 0 0 Q 0cos3 0 0 0 xx x f x 4 1 利用轮换对称性 可得利用轮换对称性 可得 4 1 0 0 0 0 0 0 zy ff dd d 4 1 zyx 机动 目录 上页 下页 返回 结束机动 目录 上页 下页 返回 结束 L P245 例例2 注意注意 x y z 具有具有 轮换对称性轮换对称性 x u uf 备用题备用题设设 ufz 方程方程 uu x y tdtp 确定确定u 是是x y 的函数的函数 可微其中可微其中uuf utp 连续 且连续 且 1 u 求求 y z xp x z yp 解 解 x z y u uf y z x u u x u xp y u u y u yp x u 1 u xp y u 1 u yp uf y z xp x z yp y u xp x u yp 0 机动 目录 上页 下页 返回 结束机动 目录 上页 下页 返回 结束 2 2 1 xyxf xy 1 1 已知已知 求求 2 2 xy yxf 解 解 由由1 2 xxf两边对 两边对 x 求导 得求导 得 02 2 2 2 1 xxxfxxf xxxf2 2 1 1 2 2 xxf 机动 目录 上页 下页 返回 结束机动 目录 上页 下页 返回 结束 备用题备用题 1 2 xy yxf 2 2 1 1 1 1 ff 1 d d 3 x x x 1 1 1 f 1d d 3 2 xx x 3 1 xxfxf 2 xxfxf 1 xxf 2 xxf 1 x 351 1 1 1 f xxfxfx 2 1 1 x f 求求 1 d d 3 x x x yxfz 在点在点 1 1 处可微 且设函数处可微 且设函数 3 1 1 y f 解 解 由题设由题设 2 3 32 2001考研 20