人教A版选修21 　双曲线 学案.doc

知识点一双曲线定义平面内与两个定点f1，f2的距离的差的绝对值等于非零常数(小于|f1f2|)的点的轨迹叫做双曲线这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距集合pm|mf1|mf2|2a，|f1f2|2c，其中a，c为常数且a0，c0.(1)当2a|f1f2|时，p点不存在知识点二双曲线的标准方程和几何性质标准方程1 (a0，b0)1(a0，b0)图形性质范围xa或xa，yrxr，ya或ya对称性对称轴：坐标轴对称中心：原点顶点a1(a,0)，a2(a,0)a1(0，a)，a2(0，a)渐近线yxyx离心率e，e(1，)，其中c实虚轴线段a1a2叫做双曲线的实轴，它的长|a1a2|2a；线段b1b2叫做双曲线的虚轴，它的长|b1b2|2b；a叫做双曲线的半实轴长，b叫做双曲线的半虚轴长a，b，c的关系c2a2b2 (ca0，cb0)知识点三有关双曲线的计算、证明1待定系数法求双曲线方程的常用方法与双曲线1共渐近线的可设为(0)；若渐近线方程为yx，则可设为(0)；若过两个已知点则设为1(mn0，b0)的一条渐近线的斜率为.题型一双曲线的定义例1已知双曲线x21的两个焦点为f1，f2，p为双曲线右支上的一点若|pf1|pf2|，则f1pf2的面积为()a48 b24c12 d6答案b解析由双曲线的定义可得|pf1|pf2|pf2|2a2，解得|pf2|6，故|pf1|8，又|f1f2|10，由勾股定理可知pf1f2为直角三角形，因此|pf1|pf2|24.感悟与点拨利用双曲线的定义时，要特别注意条件“差的绝对值”，弄清研究对象是整条双曲线，还是双曲线的一支跟踪训练1(1)已知圆c1：(x3)2y21和圆c2：(x3)2y29，动圆m同时与圆c1及圆c2相外切，则动圆圆心m的轨迹方程为_(2)设过双曲线x2y29左焦点f1的直线交双曲线的左支于点p，q，f2为双曲线的右焦点若|pq|7，则f2pq的周长为_答案(1)x21(x1)(2)26解析(1)如图所示，设动圆m与圆c1及圆c2分别外切于点a和b.根据两圆外切的条件，得|mc1|ac1|ma|，|mc2|bc2|mb|，|ma|mb|，|mc1|ac1|mc2|bc2|，即|mc2|mc1|bc2|ac1|20，b0)和椭圆1有相同的焦点，且双曲线的离心率是椭圆离心率的2倍，则双曲线的标准方程为_(2)与双曲线x22y22有公共渐近线，且过点m(2，2)的双曲线的标准方程为_答案(1)1(2)1解析(1)椭圆1的焦点为f1(，0)，f2(，0)，离心率为e.由于双曲线1与椭圆1有相同的焦点，a2b27.又双曲线的离心率e，a2，b2c2a23，故双曲线的标准方程为1.(2)x22y22化为标准方程得y21，设与双曲线y21有公共渐近线的双曲线方程为y2k(k0)，将点(2，2)代入得k(2)22.双曲线的标准方程为1.题型三双曲线的几何性质例3(1)(2017年4月学考)过双曲线1(a0，b0)的左顶点a作倾斜角为45的直线l，l交y轴于点b，交双曲线的一条渐近线于点c，若，则该双曲线的离心率为()a5 b.c. d.(2)设双曲线1(a0，b0)的右焦点是f，左、右顶点分别是a1，a2，过f作a1a2的垂线与双曲线交于b，c两点若a1ba2c，则该双曲线的渐近线方程为_答案(1)b(2)xy0解析(1)由题意可知，设双曲线的右顶点为d，连接cd，由题意可知，|oa|ob|od|a，ob是adc的中位线，则|cd|2a，则c(a,2a)，将c代入双曲线的渐近线方程yx，整理得，b2a，则该双曲线的离心率e，双曲线的离心率为，故选b.(2)由题设易知a1(a,0)，a2(a,0)，b，c，因为a1ba2c，所以1，整理得ab.因此该双曲线的渐近线方程为yx，即xy0.感悟与点拨双曲线的几何性质的常考题型为求双曲线的渐近线和离心率(1)对于双曲线的渐近线问题，注意公式中双曲线的焦点所在的坐标轴，当焦点在x轴上时，渐近线方程为yx.当焦点在y轴上时，渐近线方程为yx.(2)对于双曲线的离心率问题，根据条件，建立关于a，b，c的齐次方程(或不等式)，然后求解即可跟踪训练3(1)(2018年4月学考)双曲线x21的渐近线方程是()ayx byxcyx dy3x(2)设双曲线1(ba0)的焦距为2c，直线l过a(a,0)，b(0，b)两点，已知原点到直线l的距离为c，则双曲线的离心率为_答案(1)c(2)2解析(2)过点o作ab的垂线，垂足为e，如图所示，在oab中，|oa|a，|ob|b，|oe|c，|ab|c.因为|ab|oe|oa|ob|，所以ccab，即(a2b2)ab，两边同除以a2，得20，解得或(舍去)，所以e2.一、选择题1(2018年6月学考)双曲线1的焦点坐标是()a(5,0)，(5,0) b(0，5)，(0,5)c(，0)，(，0) d(0，)，(0，)答案a2已知双曲线y21的焦点坐标为(2,0)，则此双曲线的渐近线方程是()ayx byxcyx dyx答案c解析由题意可知2，a，双曲线的渐近线方程为yxx.3若双曲线1上点p到点(5,0)的距离为15，则点p到点(5,0)的距离为()a7 b23c5或25 d7或23答案d解析双曲线1，2a8，(5,0)，(5,0)是双曲线的两个焦点，点p在双曲线上，|pf1|pf2|8，点p到点(5,0)的距离为15，点p到点(5,0)的距离是15823或1587.4已知双曲线1(a0)的实轴长、虚轴长、焦距长成等差数列，则双曲线的渐近线方程为()ayx byxcyx dyx答案d解析由题意可知实轴长为2a，虚轴长为4，焦距长为2，因为实轴长、虚轴长、焦距长成等差数列，则2a28，解得a，因此双曲线的方程为1，则双曲线的渐近线方程为yx.5设双曲线1的渐近线方程为3x2y0，则a的值为()a4 b3 c2 d1答案a解析因为方程表示双曲线，所以an0)且渐近线方程为yx，则双曲线的焦点()a在x轴上 b在y轴上c在x轴或y轴上 d无法判断答案a解析因为mn0，所以点(m，n)在第一象限且在直线yx的下方，故焦点在x轴上7(2016年10月学考)设双曲线1(a0，b0)的左、右焦点分别为f1，f2，以f1为圆心，|f1f2|为半径的圆与双曲线在第一、二象限内依次交于a，b两点，若|f1b|3|f2a|，则该双曲线的离心率是()a. b. c. d2答案c解析由题意知|f1b|f1a|2c，|af2|2c2a，已知|f1b|2c3|af2|6c6a，即4c6a，得e.8若双曲线1(a0，b0)的焦点到其渐近线的距离等于实轴长，则该双曲线的离心率为()a. b5 c. d2答案a解析焦点(c,0)到渐近线yx的距离为2a，解得b2a.又a2b2c2，5a2c2，离心率e.9设直线l过双曲线c的一个焦点，且与c的一条对称轴垂直，l与c交于a，b两点，|ab|为c的实轴长的2倍，则c的离心率为()a. b. c2 d3答案b解析设双曲线的标准方程为1(a0，b0)，由于直线l过双曲线的焦点且与对称轴垂直，因此直线l的方程为xc或xc，代入1，得y2b2，y，故|ab|.依题意，得4a，2，e212，e.10已知f1，f2分别是双曲线1(a0，b0)的左、右焦点，l1，l2为双曲线的两条渐近线，设过点m(b,0)且平行于l1的直线交l2于点p.若pf1pf2，则该双曲线的离心率为()a. b.c. d.答案b解析根据题意可得f1(c,0)，f2(c,0)，双曲线的渐近线方程l2为yx，直线pm的方程为y(xb)，联立，可得x，p，pf1pf2，0，0，c20，又a2b2c2，b24a2，c25a2，e，故选b.二、填空题11已知双曲线的顶点到渐近线的距离为2，焦点到渐近线的距离为6，则该双曲线的离心率为_答案312设中心在原点的椭圆与双曲线2x22y21有公共的焦点，且它们的离心率互为倒数，则该椭圆的方程为_答案y21解析由题意知，双曲线1的焦点为f1(1,0)，f2(1,0)，离心率e.设椭圆的标准方程为1(ab0)又c1，a，b1，椭圆的方程为y21.13已知双曲线1(a0，b0)，过其右焦点且垂直于实轴的直线与双曲线交于m，n两点，o为坐标原点若omon，则双曲线的离心率为_答案解析设右焦点为f，由条件可得|mf|of|，即c，则c2aca20，即e2e10，解得e.由e1可得e.14已知双曲线1(a0，b0)的一条渐近线垂直于直线l：x2y50，双曲线的一个焦点在l上，则双曲线的方程为_答案1解析由题意得2，即b2a，又焦点(c,0)在x2y50上，所以c5，双曲线中a2b2c2，解得a，b2，所以双曲线的方程为1.15已知a，b，p为双曲线x21上不同的三点，且满足2(o为坐标原点)，直线pa，pb的斜率记为m，n，则m2的最小值为_答案4解析由2知点o为线段ab的中点，设a(x1，y1)，p(x2，y2)，则b(x1，y1)，所以m，n，故mn，由于点a，b，p在双曲线上，所以x1，x1，代入上式中，有mn4，所以m22mn4(当且仅当n24m2时等号成立)，故最