平面极坐标系中质点的加速度公式及其物理意义.pdf

平面极坐标系中质点的加速度公式及其 物理意义 周 嘉 义 我们知道 质点 作平面 曲线运动时 其在极坐标系 中的速度和加速度公式为 心 一 一 V 二 Y i YOj a二 Y 一YO i YO 2 Y0 j 式中a Y 一 YS i 称为径 向加速度 二 之 a 0 2Y0 j 为何径向加速度的量 值不 等于径 向速度的量值V r 二 丫 称为横 向加速 度 的时间变 化率 Y 横向加 速 度的 量值不等于横向速度的量值V 二 YO 的时间变化 率YO 物理意义 又如何呢 这便是 本文 要讨论的问题 0 呢 加速度公式 中每项的 一 公式的推导 如图 1 质 点P沿 二F面 曲线运 动 己在 一 某叫 刻的位置在极坐标 系 中 由极坐标 Y 的表 示 以 一 一 二 石 i j 粼舀矢 径 丫及垂直于矢径Y 沿O增加的 方向 的单 位矢量 则 一一一一 一 极轴 奋 工 Y一一 岛 Y 一二 二 V 二 丫 二 之 a二 V 二 Yi 哥 一 丫Oj 杯 一 二 二 二 Y i YOj YOJ 一卜 YO 一丫0 i 二 甲二b 丫 一丫0 i 丫0 2Y0 j 以上便推出了 式 推 导中运用了关系式 i 二 gj和j 一 O 二 加速度公 式 中各 项的物理意义 在径向加速度 ar Y 一 丫O i 中 盏 曰盏 第一项 丫 i 是径向速度V r Y i 的量值的时间变化率 当丫 o 时 此项与质点矢径 孟卜 二 丫的方向相同 当丫 其方向垂直于矢径 一 龙指向极 角 0增加的方向 当O o 其方 向则垂直于丫且指 向9减小的方向 特殊地 当丫 常量 质点以极点为园心作园周运动 则横向加速度就只等于此切向加速度了 二 一 卜 第二项2 r ej 其中一半 e j 是 径 向 速度V r 二 i 的方向 变化引起的 即径向速度 的方向约时阿变化率 i 二 丫o j 此实属质点的横向运动对质点 的径向运动的影响产生的 二 石 二 二 若无横向 运 动 径向速度的方向就没有变化 则 ej就为 零了 另一半 ej 是横 向速 V 二 训j的 量 值 夕0中的丫发生变化 引起的 即质 点的 的 变化产生的横向速度的量值的时 间 变化率0j r二 下ej 这 是质点的径问运 动 付横向运 动的影 响产生的 若无径 向运动 则此 r 叼 就为零了 这样 由于径 向运动 与横向运 动的相互落响 便 产生了沿横向的 附加速度2 犷oj 在某种意义上可称为 科氏加 速度 见 下面三的讨论 可见 成的 质 点 的横向加 速度是垂 直 于矢径 方向的 一 勿向 J 5 还度 oj和 附知 速 度Z r ej合 成 了六 二 盏 三 在何 种意义 上称2 r 0 为科氏加 速 度 由于 在极坐标系中 质点的运动是为两 个分运动的合运 动 即在矢径方向的直线运 动和以极点为园心的园周 运动这两个分运动 的合运动 所以 我们可采取下述方法来得 到 这两个分运动 声少户 二一户 一 一一令 疾 图 2 使一直管按0 0 t 的规律转动 转 轴过直管的一端且垂直 于管 轴 业让一质汽P相 28 对于直管沿管按 r 叹t 的规律运动 如前图 2 所示 图中 雪为静止坐标系的一轴 相 当于极坐标系的极轴 e为直管的角坐标 相当于极坐标系的极角 一x y为与直管 相 固 连的动直角坐标系 维位矢量兮 摺冲涂痢 豁另 叮在 轴柳谕的正向 这 样 相对静 止坐标来看 质点就具有沿x轴 直管 的直线运动和垂直 于x轴沿y轴的园周运动 此由直 管的转动形成 也正是我们要得到的两个分运动 沿 x 轴的直线运动为质点的径向运动 沿y轴方向的为质点的横向园周运动 用以上方法得到的两个分运动 其径向运动相对动系 x y来说 是相对运动 而横向运 盏 书如 二岛 动是牵连运动 相应的径向速度V 二r 一 i和横向速度V 二r oj就为相对速度和牵连速度 州二 卜 二卜 月 一孟 一则质点的 绝对速度V 一八 r e j 与极坐标系中质点的速度公式的形式一样 进一步计算可得质点的绝对加速度为 盆 a r 一ro i 一 r g ZrQ j 与极坐标系中质点的加速度公式 的形式完全一样 式中 r i为质点的 相对加速度 对应于极 坐标系中质点径向速度的量值的时间变化率 而 一r 吞 全为牵连向心加速度 对应于极坐标 系中质点的 园周分运动的向心加逮度 之者合起来对应于极坐标系的径向加速速 明j为牵 连 切向 加 速度 对 应于极坐标系中质点的横向园周运动的切狗力班速度 而Z ro j为科氏 加速速 是相对运动和牵连运动的 相互影响产生的 对应于极坐标系中质点沿横向 的附加速 速 二者合成起来对应极坐标系中质点的横向加速度 由此可见 我们在极坐标系观察到的质点 的径向运动 若为质点相对转动参照系的 相 对运动 在极坐标系观察到的质点的横向运动 若为转动参照系带动质点的牵连 运动 那 么 巍 这个意壮 一 芬 时才称为科 氏加速度 否则 只能称为质点的横向的附加速 度 四 小结 岛 盏 本文 一 二 段解决了本文开头所提出的问题 业通过对单位矢量 i j对时间求 导 表明 了极坐标系的径向和横向是