2026年北京中考数学二轮复习 难点06 新定义综合题几何与函数(4大题型)(重难专练)

Page难点06新定义综合题几何与函数内容导航第一部分重难考向解读拆解核心难点，明确备考要点核心模块重难考向考法解读/考向预测第二部分重难要点剖析精解核心要点，点拨解题技巧要点梳理典例验知技巧点拨类题夯基考向函数与几何第三部分重难提分必刷靶向突破难点，精练稳步进阶重●难●考●向●解●读2023、2024、2025年考法解读2026年考法预测中考数学中新定义综合题的主要考向分为两类：一、函数与圆综合（每年1道，1分）；二、函数与三角形四边形综合（每年1题，7分）；考查内容稳定，以解答题为主，难度较大．预测考查方向：结合切线：当直线与圆相切时，求k的值结合参数范围：给定k的取值范围，求圆半径或点坐标的取值范围结合直线与圆的位置关系：探究直线与圆有公共点且满足k的条件时，参数b的取值范围。

重●难●要●点●剖●析题型1一次函数与圆综合考查了轴对称的性质，一次函数与坐标轴的交点问题，切线的性质，勾股定理，等边三角形的判定和性质，锐角三角函数的应用等，正确理解新定义的含义，灵活应用数形结合思想是解题的关键．1．（2024·北京东城汇文中学·一模）在平面直角坐标系中，的半径为1．对于线段给出如下定义：若线段与有两个交点，，且，则称线段是的“倍弦线”．(1)如图，点的横、纵坐标都是整数，在线段，，中，的“倍弦线”是_____；(2)的“倍弦线”与直线交于点，求点纵坐标的取值范围；(3)若的“倍弦线”过点，直线与线段有公共点，直接写出的取值范围．【答案】(1)、；(2)；(3)．【来源】2024年北京市东城区汇文中学中考一模数学试题【分析】本题是新定义阅读题，考查了理解能力，与圆的位置关系，勾股定理等知识，解决问题的关键是几何直观能力，数形结合．（1）根据定义验证可得结果；（2）根据最大值为6，所以以为圆心，3为半径画圆，根据勾股定理求得，进而求得结果；（3）以为圆心，1为半径作圆，直线与圆相切，此时，以为圆心，2为半径作圆，直线与圆相切，求得，进而求得结果．【详解】（1）解：如图1，，，，是的“倍弦线”，与不相交，，和不是的“倍弦线”，故答案为：、；（2）解：如图2，以为圆心，3为半径画圆交直线于和，，；（3）解：如图3，以为圆心，2为半径画圆，直线与相切，此时，以为圆心，1为半径作，直线与相切，此时，．2．（2025·北京丰台·二模）在平面直角坐标系中，的半径为．对于点和的弦，给出如下定义：点向左平移个单位长度，再向下平移个单位长度，得到点，若点在弦上，且不与点，重合，则称点是弦“伴随点”．(1)如图，点，，在点，，中，弦的“伴随点”是______；(2)已知是直线上一点，且存在的弦，使得点是弦的“伴随点”．记点的横坐标为，直接写出的取值范围；(3)已知点．对于线段上任意一点，存在的弦，使得点是弦的“伴随点”，将点对应的弦的长度的最小值记为，直接写出的最大值及的取值范围．【答案】(1)；(2)或(3)的最大值为，【来源】2025年北京市丰台区九年级中考二模数学试卷【分析】本题考查了点的平移，切线的性质，勾股定理，解直角三角形，理解新定义是解题的关键；（1）根据新定义，结合坐标系，平移即可求解；（2）根据新定义，弦，先得出在的圆环内，进而得点是弦的“伴随点”则以为圆心的圆环，设分别和圆环交于，进而分别求得其横坐标，结合图形，即可求解；（3）根据新定义先得对应的弦的长度的最小值时，经过的的切点，进而求得经过时，取得的最大值，进而得出的范围，即可求解．【详解】（1）解：根据新定义，将先弦向右平移1个单位，再向上平移1个单位，则平移后经过点，则是弦的“伴随点”故答案为：；（2）解：的弦，的半径为．∴是等边三角形，设则∴在的圆环内如图，将圆环向右平移1个单位，再向上平移1个单位，得到以为圆心的圆环，设分别和圆环交于，则点是弦的“伴随点”在圆环内部，不包括圆弧外边界（根据定义不和端点重合），由于与轴的夹角为∴的横坐标为，的横坐标为，同理可得的横坐标为，的横坐标为∴或（3）解：如图，将向右平移1个单位，再向上平移1个单位，得到以为圆心的圆，设为的对应弦，线段上任意一点，存在的弦，使得点是弦的“伴随点”，则为的圆环内的弦，当经过的的切点时，取得最小值，当为半径为的切点时，即的中点时，取得最大值，∵点在上，∴的最大值为∴,∴的最大值为∴，∵，,即是线段上的点，当重合时取得最小值，当重合时取得最大值，而不包括端点，则不能取等于号，∴3．（2025·北京五十中·二模）在平面直角坐标系中，的半径为1，为y轴上一点，P为平面上一点，给出如下定义：若在上存在一点Q，使得是等腰直角三角形，且，则称点P为的“等直点”，为的“等直三角形”．(1)如图，点A、B、C、D的横、纵坐标都是整数．①当时，在点A，B，C，D中，的“等直点”是__________；②当时，若是的“等直三角形”，且点P，Q都在第一象限，求的值；(2)若直线上存在的“等直点”，直接写出t的取值范围．【答案】(1)①A、B、D，②(2)或【详解】（1）解：①如图，，，是等腰直角三角形，在上，故A、B、D为“等直点”，故答案为：A、B、D；②如图，依题意作的“等直三角形”，∴，，过Q点作轴，交y轴于M点，过点P作于H点，∴，∴∴，∴，∴，，设，∴，，∴，∵，∴，∵，∴=．（2）解：如图③，为的“等直三角形”，当点T在y轴的负半轴上，点P在点Q的左侧时，在x轴的负半轴上取一点F，使得，连接，，∵，∴，∵，，∴，∴，∵，∴，则点P的运动轨迹是以点F为圆心，为半径的圆，∴观察图形可知，当或时，与直线相切，那么，或；观察图形可知，当时，直线上存在的“等直点”；如图④，为的“等直三角形”，当点T在y轴的正半轴上，点P在点Q的左侧时，在x轴的负半轴上取一点F，使得，连接，，同理可证，∴，∵，∴，则点P的运动轨迹是以点F为圆心，为半径的圆，∴当或时，与直线相切，那么，或；观察图形可知，当时，直线上存在的“等直点”，综上所述，t的取值范围为：或．4．（2025·北京昌平·二模）在平面直角坐标系中，已知点，线段轴于点为平面内一条线段，将点绕点旋转后得到点．若点到点的距离为1，则称线段为点的“隐圆线段”．(1)若点在轴上时，点的“隐圆线段”长为_____________；(2)求点的“隐圆线段”长的最大值；(3)若点的“隐圆线段”所在直线为，直接写出的取值范围．【答案】(1)和(2)3(3)【来源】2025年北京市昌平区九年级二模数学试卷【分析】（1）由点C在x轴上，且点C到点O的距离为1，得到或．由中心对称得到点D是线段的中点，因此可得点D的坐标，根据两点间的距离公式即可求解；（2）连接，取的中点，连接，，则，由三角形中位线的性质得到，因此点D在以点为圆心，半径的圆上运动，根据“一箭穿心”模型即可解答；（3）由（2）可知点D在上运动，又直线过点B，因此，过点B作的切线，切点分别为点M，N，设直线的解析式为，直线的解析式为，则．根据相似三角形的判定及性质，待定系数法分别求出，即可解答．【详解】（1）解：∵点C在x轴上，且点C到点O的距离为1，∴或．①当点C为时，∵点绕点旋转后得到点，∴点D是线段的中点，∵，∵线段轴于点，∴，∴．②当点C为时，∵点绕点旋转后得到点，∴点D是线段的中点，∵，∵线段轴于点，∴，∴．综上所述，点A的“隐圆线段”长为或．（2）解：连接，取的中点，连接，∵，∴点C在以点O为圆心，半径为1的圆上运动，∵点D是的中点，点E是的中点，∴，∴点D在以点为圆心，半径的圆上运动，∴，∴的最大值为，即点的“隐圆线段”长的最大值为3．（3）解：由（2）可知点D在上运动，又点的“隐圆线段”所在直线为，∴直线过点B，∴如图，过点B作的切线，切点分别为点M，N，设直线的解析式为，直线的解析式为，∴．①连接，过点E作轴，交于点F，过点F作轴于点G，由（2）有，，∴在中，，∵，轴，轴，∴，设，则，∵轴，∴，∵与相切于点M∵，∴，∴，∴，，∵，即，∴，∴，∴，即，∴把点，代入直线的解析式，得，解得．②连接，过点E作轴，交于点H，交于点K，∴，，，∵，是的切线，∴，，设，则，∵，，∴，∴，∴，，∵，∴，∴，∴∴，即，∴把点，代入直线的解析式，得，解得．综上，．5．（2025·北京门头·一模）在平面直角坐标系中，对于点和点给出如下规定：如果将点沿直线翻折后得到点，再将点沿直线翻折后得到点，点就是点的“相称点”．(1)如图1，如果点，，①在点，，中，点的“相称点”的是________；②点的“相称点”与点的距离最小值是_______．(2)如图2，的半径和等边的边长均为，点，点和点都在上，如果在图中的边上存在点的“相称点”，求的取值范围．【答案】(1)①，；

②(2)或【来源】2025年北京市门头中考数学一模试卷【分析】（1）①根据翻折，中点坐标的计算得到，可得在上，进而可得，，符合题意，即可求解；②根据两点之间距离公式得到，当时，，由此即可求解；（2）在上任取点与点，其中点，点关于对称，再关于对称，得到的点，实质上就是将绕点旋转得到点，进而可得的轨迹为以为圆心，半径为与的圆环，进而根据等边的边长均为，点，找到临界点，结合图形，即可求解．【详解】（1）解：①∵，将点沿直线翻折后得到点，则，将点沿直线翻折后得到点，则，∵∴在上，∵，在上，∴点的“相称点”的是，；故答案为：，；．②点，∴，∴，∴当时，，故答案为：；（2）解：如图在上任取点与点，其中点，点关于对称，再关于对称，得到的点，实质上就是将绕点旋转得到点，先将固定，在上运动，随之运动，连接并延长至使得，连接，则，即在为圆心，半径为的上运动，当点在上运动，则在以为圆心，半径为与的圆环内运动，如图，∵边上存在点的“相称点”，∴的边与圆环有交点，如图，当与3为半径的外切时，设切点为，则切点坐标为，∵等边的边长均为，，∴，∴，当在为半径的上时，，当在为半径的上时，，则，此时，当在为半径的上时，，随着点的移动，可得，或．6．（2025·北京通州·一模）在平面直角坐标系中，的半径为1，对于平面内点和轴上点，给出如下定义：将点绕着点旋转得到的对应点恰好在上，称点为的“赋能点”．(1)已知点的坐标为．①如图1，在点中，的“赋能点”是_____；②如图2，若直线上存在点，使点为的“赋能点”，求的取值范围；(2)如图3，点．若线段上存在点，使点为的“赋能点”，直接写出的取值范围．【答案】(1)①；②(2)【详解】（1）解：①将绕点旋转，得到半径为1的和，其中，，，，点在上，点在上，点是的“赋能点”，，，点不在上，也不在上，点不是的“赋能点”，综上所述，的“赋能点”是．故答案为：．②直线与轴交于点，与轴交于点，，，直线上存在点，使点为的“赋能点”，直线与或有交点，当直线与相切于点，与直线交于点，如图，连接、，则有，，又，，，，，点在直线上，，；当直线与相切于点，与直线交于点，如图，同理可得，，点在直线上，，；的取值范围为．（2）解：将绕点旋转，得到半径为1的和，其中，，线段上存在点，使点为的“赋能点”，线段与或有交点，当线段与只有点一个交点，此时，，解得：，；当线段与只有点一个交点，此时，，解得：，；结合图象得，的取值范围为．题型2一次函数与三角形四边形综合主要考查了垂径定理，圆周角定理，一次函数与几何综合，解直角三角形，勾股定理等等，正确理解题意利用数形结合的思想求解是解题的关键．7．（2025·北京丰台·二模）在平面直角坐标系中，如果点A、点C为某个菱形的一组对角的顶点，且点A、C在直线上，那么称该菱形为点A、C的“最佳菱形”下图为点A、C的“最佳菱形”的一个示意图．已知点M的坐标为，点P的坐标为．（1）点中，能够成为点M、P的“最佳菱形”的顶点的是_________；（2）如果四边形是点M、P的“最佳菱形”．①当点N的坐标为时，求四边形的面积；②当四边形的面积为8，且与直线有公共点时，直接写出b的取值范围．【答案】（1）；（2）①4；②【详解】解：（1）如图1中，观察图象可知：在线段的垂直平分线上根据菱形的性质可知，点能够成为点M、P的“极好菱形”顶点；（2）①如下图：∵∴∵四边形是菱形，∴菱形是正方形．∴②如下图：∵∴，∵四边形MNPQ的面积为8，∴，即∴，∵四边形MNPQ是菱形，∴作直线，交x轴于A，∵∴OM=，∴OE=2，∵M和P在直线上，∴∠MOA=45°，∴△EOA是等腰直角三角形，∴EA=2，∴A与N重合，即N在x轴上，同理可知：Q在y轴上，且由题意得：四边形MNPQ与直线有公共点时，的取值范围是．8．（2023·北京西城·一模）平面直角坐标系中，对于点和图形，若图形上存在一点（点，可以重合），使得点与点关于一条经过原点的直线对称，则称点与图形是“中心轴对称”．对于图形和图形，若图形和图形分别存在点和点（点，可以重合），使得点与点关于一条经过原点的直线对称，则称图形和图形是“中心轴对称”的．特别地，对于点和点，若存在一条经过原点的直线，使得点与点关于直线对称，则称点和点是“中心轴对称”的．（1）如图1，在正方形中，点，点，①下列四个点，，，，，中，与点是“中心轴对称”的是；②点在射线上，若点与正方形是“中心轴对称”的，求点的横坐标的取值范围；（2）四边形的四个顶点的坐标分别为，，，，一次函数图象与轴交于点，与轴交于点，若线段与四边形是“中心轴对称”的，直接写出的取值范围．【答案】（1）①，②（2）或【详解】解：解：（1）如图1中，∵，，，∴，与点是“中心轴对称”的．故答案为，；②如图2中，以为圆心，为半径画弧交射线于，以为圆心，为半径画弧交射线于．易知，，，，观察图象可知满足条件的点的横坐标的取值范围：；（2）如图3中，设交轴于．当一次函数与圆心为，半径为的圆相切时，，当一次函数经过点时，．观察图象结合图形和图形是“中心轴对称”的定义可知，当时，线段与四边形是“中心轴对称”的；根据对称性可知：当时，线段与四边形是“中心轴对称”的．综上所述，满足条件的的取值范围：或．9．（2023·北京清华附中·二模）在平面直角坐标系中，对于线段和点，给出如下定义：若在直线上存在点，使得四边形为平行四边形，则称点为线段的“关联点”．已知，．

(1)在，，，中，线段的“关联点”是___________；(2)若点在第二象限且点是线段“关联点”，求线段长度的取值范围；(3)已知正方形边长为1．以为中心且各边与坐标轴垂直或平行，点，在线段上（在的下方）．若正方形上的任意一点都存在线段，使得该点为线段的“关联点”，直接写出的取值范围．【答案】(1)(2)(3)或【详解】（1）解：如图，∵，设直线的解析式为解得∴直线的解析式为在，，，中，在直线上，不符合定义，如图，当点平移到，点平移到，则，四边形是平行四边形，∵，，向左平移4个单位，再向下平移1个单位，将点向左平移4个单位，再向下平移1个单位，得到，则点在上，同理可得在上，不在上，综上所述，线段的“关联点”是故答案为：（2）由（1）可知，线段的“关联点”在直线上，设直线的解析式为解得∴直线的解析式为设直线与坐标轴交于点，如图，令，得，令，得∵点在第二象限且点是线段的“关联点”，∴在线段上，不包括端点，设到的距离为，则∴（3）依题意，正方形在直线与之间运动时，正方形上的任意一点都存在线段，使得该点为线段的“关联点”，∵，正方形边长为1，∴，，，如图，当点位于上时，此时解得如图，当点在上时，解得，根据（1）中，当与共线时，不符合定义，∴当正方形的与有交点时，不符合题意，①当在直线上时，，∵直线的解析式为∴解得：②当在直线上时，，∵直线的解析式为∴解得：结合图形可知：当正方形上的任意一点都存在线段，使得该点为线段的“关联点”，或．10．（2024·北京东城·一模）在平面直角坐标系中，直线分别与x轴，y轴交于点，点C是第一象限内的一点，且，抛物线经过两点，与x轴的另一交点为D．（1）求此抛物线的解析式；（2）判断直线与的位置关系，并证明你的结论；（3）点M为x轴上一动点，在抛物线上是否存在一点N，使以四点构成的四边形为平行四边形？若存在，求点N的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）二次函数的解析式为；（2）AB∥CD，证明见解析；（3）点N的坐标分别为（，1），（，1），（，-1），（-1）．【来源】2024年北京市东城区中考一模数学试卷【分析】（1）求得点C的坐标，应用待定系数法即可求得抛物线的解析式．（2）根据勾股定理求出AC，CD，AD的长，从而根据勾股定理逆定理得到△ACD为直角三角形，∠ACD=90°，由∠BAC=90°，得出AB∥CD．（3）由题意可知，要使得以A,B,M,N四点构成的四边形为平行四边形，只需要点N到x轴的距离与点B到x轴的距离相等．据此列出方程求解即可．【详解】解：（1）由题意可求点A(2，0)，点B（0,1）．过点C作CE⊥x轴，易证△AOB≌△ECA．∴OA=CE=2，OB=AE=1．∴点C的坐标为（3,2）．将点A(2，0)，点C(3，2)代入，得，，解得．∴二次函数的解析式为．（2）AB∥CD．证明如下：令，解得．∴D点坐标为（7,0）．可求．∴△ACD为直角三角形，∠ACD=90°．又∵∠BAC=90°，∴AB∥CD．（3）如图，由题意可知，要使得以A,B,M,N四点构成的四边形为平行四边形，只需要点N到x轴的距离与点B到x轴的距离相等．∵B点坐标为（0,1），∴点N到x轴的距离等于1．可得和．解这两个方程得．∴点N的坐标分别为（，1），（，1），（，-1），（，-1）．【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质；待定系数法的应用；曲线上点的坐标与方程的关系；勾股定理和逆定理；平行的判定；平行四边形的判定；解一元二次方程；分类思想的应用．11．（2023·北京二中教育集团·模拟）对于平面直角坐标系中的线段，给出如下定义：若存在使得，则称为线段的“等幂三角形”，点R称为线段的“等幂点”．

(1)已知，若存在等腰是线段的“等幂三角形”，求点B的坐标；(2)已知点C的坐标为，点D在直线上，记图形M为以点为圆心，2为半径的位于x轴上方的部分．若图形M上存在点E，使得线段的“等幂三角形”为锐角三角形，直接写出点D的横坐标的取值范围．【答案】(1)或(2)或【来源】2023年北京二中教育集团中考模拟数学试题【分析】（1）先根据题中定义和坐标与图形性质求得点B的纵坐标为4或，分、、分别求解即可；（2）根据题意，画图找到线段的“等幂三角形”为直角三角形时点D临界点，即点D在线段或上，点E在弧上，进而根据已知，结合图形和锐角三角函数求解即可．【详解】（1）解：∵，∴，∵存在等腰是线段的“等幂三角形”，∴，设边上的高为h，则，∴，∴点B的纵坐标为4或；∵是等腰三角形”，∴若时，点B在的垂直平分线上，∴点B坐标为或；若时，，满足题意的点B不存在，舍去；当时，，满足题意的点B不存在，舍去，综上，满足题意的点B坐标为或；（2）解：如图，由题意，点C在直线上，当时，，则，∴，，则图形M经过A，设图形M与x轴另一个交点为，∴，过C作于H，连接并延长交图形M于，则，则，，∴，，过A作交图形M于，则，又，∴，则；同理，过作于，则，∴，则，∵为线段的“等幂三角形”，∴设边上的高为h，则，∴，∵为锐角三角形，∴如图，点D在线段或上，点E在弧上∵，∴，，则，同理，，，∴满足条件的D的横坐标范围为或．

．12．（2024·北京十一晋元中学·一模）对于点和图形，若点关于图形上任意的一点的对称点为点，所有点组成的图形为，则称图形为点关于图形的“对称图形”．在平面直角坐标系中，已知点，，，．

(1)①在点，，中，是点关于线段的“对称图形”上的点有_______．②画出点关于四边形的“对称图形”；(2)点是轴上的一动点．①若点关于四边形的“对称图形”与关于四边形的“对称图形”有公共点，求的取值范围；②直线与轴交于点，与轴交于点，线段上存在点，使得点是点关于四边形的“对称图形”上的点，直接写出的取值范围．【答案】(1)①点E，点F，②图见解析．(2)①，②或【详解】（1）解：①根据点关于图形的“对称图形”的定义，点关于线段的“对称图形”是线段，如图所示其中点，．故点，在线段上．故答案为：点，点；

②点关于四边形的“对称图形”为四边形．

（2）①动点关于四边形的“对称图形”为四边形，如图所示．利用中点坐标公式可得到点，，，．四边形随的变化左右移动，当四边形与四边形有公共点时，应满足：

，，②要使得点是四边形上的点，需满足：或，或．题型3二次函数综合考查二次函数的综合题，考点还涉及平面直角坐标系、三角形全等的判断和性质、二次函数对称轴、菱形的性质、线段极值、圆的性质等知识点，学会并熟练运用相关知识是解题关键.13．（2025·北京门头沟·二模）在平面直角坐标系中，二次函数的图象交x轴于点和点．（1）此二次函数的图象与y轴的交点的纵坐标为______．（2）求此二次函数的关系式．（3）当时，求二次函数的最大值和最小值．（4）点P为二次函数图象上任意一点，其横坐标为m，过点P作轴，点Q的横坐标为．已知点P与点Q不重合，且线段PQ的长度随m的增大而减小．直接写出线段PQ与二次函数的图象只有1个公共点时m的取值范围．【答案】（1）2；（2）；（3）最大值为，最小值为-8；（4）或．【详解】解：（1）令x=0，则y=2，∴二次函数的图象与y轴的交点的纵坐标为2；故答案为：2；（2）将A（-3，0），B（1，0）代入得：，解得，∴二次函数的关系式为；（3）∵，∵抛物线开口向下，对称轴为直线．∴当时，y取最大值为，∵，∴当时，y取最小值；（4）PQ=，当时，PQ=-3m-4，PQ的长随m的增大而减少；当时，PQ=3m+4，PQ的长随m的增大而增大；∴满足题意，解得：m<-，①P到对称轴直线x=-1的距离为-1-m，当PQ<2(-1-m)时，线段PQ与二次函数y=ax2+bx+2(-3<x<)的图象只有1个公共点，如图：∴2(-1-m)，解得：m>-2，∴；②如图：当x=时，y=-x2-x+2=，在y=-x2-x+2中，令y=，得：-x2-x+2=，解得：x=或x=，∴当时，线段PQ与二次函数y=ax2+bx+2(-3<x<)的图象只有1个公共点，综上，线段PQ与二次函数y=ax2+bx+2(-3<x<)的图象只有1个公共点时，m的取值范围是或．14．（2024·北京海淀·一模）在平面直角坐标系xOy中，二次函数y＝m﹣（m＋n）x＋n（m＜0）的图象与y轴正半轴交于A点．(1)求证：该二次函数的图象与x轴必有两个交点；(2)设该二次函数的图象与x轴的两个交点中右侧的交点为点B，若∠ABO＝45°，将直线AB向下平移2个单位得到直线l，求直线l的解析式；(3)在（2）的条件下，设M（p，q）为二次函数图象上的一个动点，当﹣3＜p＜0时，点M关于x轴的对称点都在直线l的下方，求m的取值范围．【答案】(1)见解析(2)y＝﹣x﹣1(3)﹣≤m＜0【详解】（1）解：令m﹣（m＋n）x＋n＝0，则＝﹣4mn＝，∵二次函数图象与y轴正半轴交于A点，∴A（0，n），且n＞0，又∵m＜0，∴m﹣n＜0，∴＝＞0，∴该二次函数的图象与x轴必有两个交点；（2）令﹣（m＋n）x＋n＝0，解得：＝1，＝，由（1）得＜0，故B的坐标为（1，0），又因为∠ABO＝45°，所以A（0，1），即n＝1，则可求得直线AB的解析式为：y＝﹣x＋1．再向下平移2个单位可得到直线l：y＝﹣x﹣1；（3）由（2）得二次函数的解析式为：y＝﹣（m＋1）x＋1．∵M（p，q）为二次函数图象上的一个动点，∴q＝﹣（m＋1）p＋1．∴点M关于x轴的对称点M′的坐标为（p，﹣q）．∴M′点在二次函数y＝﹣＋（m＋1）x﹣1上．∵当﹣3＜p＜0时，点M关于x轴的对称点都在直线l的下方，当p＝0时，q＝1；当p＝﹣3时，q＝12m＋4；结合图象可知：﹣（12m＋4）≤2，解得：m≥﹣．∴m的取值范围为：﹣≤m＜0．15．（2025·北京燕山·二模）为了测量抛物线的开口大小，某数学兴趣小组将两把含有刻度的直尺垂直放置，并分别以水平放置的直尺和竖直放置的直尺为x，y轴建立如图所示平面直角坐标系，该数学小组选择不同位置测量数据如下表所示，设的读数为x，读数为y，抛物线的顶点为C．(1)（Ⅰ）列表：①②③④⑤⑥x023456y012.2546.259（Ⅱ）描点：请将表格中的描在图2中；（Ⅲ）连线：请用平滑的曲线在图2将上述点连接，并求出y与x的关系式；(2)如图3所示，在平面直角坐标系中，抛物线的顶点为C，该数学兴趣小组用水平和竖直直尺测量其水平跨度为，竖直跨度为，且，，为了求出该抛物线的开口大小，该数学兴趣小组有如下两种方案，请选择其中一种方案，并完善过程：方案一：将二次函数平移，使得顶点C与原点O重合，此时抛物线解析式为．①此时点的坐标为________；②将点坐标代入中，解得________；（用含m，n的式子表示）方案二：设C点坐标为①此时点B的坐标为________；②将点B坐标代入中解得________；（用含m，n的式子表示）(3)【应用】如图4，已知平面直角坐标系中有A，B两点，，且轴，二次函数和都经过A，B两点，且和的顶点P，Q距线段的距离之和为10，求a的值．【答案】(1)图见解析，；(2)方案一：①；②；方案二：①；②；(3)a的值为或．【详解】（1）解：描点，连线，函数图象如图所示，观察图象知，函数为二次函数，设抛物线的解析式为，由题意得，解得，∴y与x的关系式为；（2）解：方案一：①∵，，∴，此时点的坐标为；故答案为：；②由题意得，解得，故答案为：；方案二：①∵C点坐标为，，，∴，此时点B的坐标为；故答案为：；②由题意得，解得，故答案为：；（3）解：根据题意和的对称轴为，则，，的顶点坐标为，∴顶点距线段的距离为，∴的顶点距线段的距离为，∴的顶点坐标为或，当的顶点坐标为时，，将代入得，解得；当的顶点坐标为时，，将代入得，解得；综上，a的值为或．16．（2025·北京十三中分校·二模）在平面直角坐标系中，已知抛物线经过点，，，．(1)当时，求该抛物线的对称轴（用含t的式子表示）．(2)若点，都在抛物线上，则（填“”“”或“”）；(3)将抛物线在之间的部分（含）所有点的纵坐标的最大值记为，之间的部分（含）所有点的纵坐标的最大值记为，若都有，求t的取值范围．【答案】(1)抛物线的对称轴为直线(2)(3)或【详解】（1）解：当时，，抛物线的对称轴为直线．（2），，抛物线的开口向上，对称轴为直线，点，都在抛物线上，点M到对称轴的距离为，点N到对称轴的距离为，即点M和点N到对称轴的距离相等，．（3）抛物线的对称轴为直线，∴，之间的部分所有点的最大值一定在两个端点，由题意得，点在点的左侧，点与点关于对称轴对称，∵，∴∴，∵整理得：解得：或17．（2025·北京二中·一模）对于平面直角坐标系内的点P和图形M，给出如下定义：如果点P绕原点O顺时针旋转得到点，点落在图形M上，那么称点P是图形M关于原点O的“伴随点”，已知点．(1)在点，，中，点________是线段关于原点O的“伴随点”；(2)如果点是关于原点O的“伴随点”，直接写出m的取值范围；(3)已知抛物线，其关于原点对称的抛物线上存在两个关于原点O的“伴随点”，直接写出n的取值范围．【答案】(1)和(2)(3)【详解】（1）解：∵，，轴，如图所示，点，，绕点O顺时针旋转得到的对应点分别为：，其中点，在线段上，∴和是线段关于原点O的“伴随点”，故答案为：和；（2）解：，在第一象限，∵点是关于原点O的“伴随点”，∴点在第二象限，过点作轴于点，过点作轴于点，则：，绕点顺时针旋转得到，，，，，，，在第一象限，，设直线的解析式为，则，解得，∴，当在上时，m值最大，即，解得：，当在上时，m值最小，即，解得：，∴；（3）解：∵抛物线的解析式为，∴其关于原点对称的抛物线解析式为，如图，绕点O逆时针旋转得到，其中，∵抛物线上存在关于原点O的“伴随点”，∴当过时，n的值最大，把代入得，解得：，n的最大值为，当过时，n的值最小，把代入得，解得：，n的最小值为．∴．18．（2025·北京清华附中·二模）研究发现，抛物线上的点到点F(0，1)的距离与到直线l：的距离相等.如图1所示，若点P是抛物线上任意一点，PH⊥l于点H，则PF=PH.基于上述发现，对于平面直角坐标系xOy中的点M，记点到点的距离与点到点的距离之和的最小值为d，称d为点M关于抛物线的关联距离；当时，称点M为抛物线的关联点.（1）在点，，，中，抛物线的关联点是_____；（2）如图2，在矩形ABCD中，点，点，①若t=4，点M在矩形ABCD上，求点M关于抛物线的关联距离d的取值范围；②若矩形ABCD上的所有点都是抛物线的关联点，则t的取值范围是________.【答案】(1)（2）①

②【详解】（1），x=2时，y==1，此时P（2，1），则d=1+2=3，符合定义，是关联点；，x=1时，y==，此时P（1，），则d=+=3，符合定义，是关联点；，x=4时，y==4，此时P（4，4），则d=1+=6，不符合定义，不是关联点；，x=0时，y==0，此时P（0，0），则d=4+5=9，不不符合定义，是关联点，故答案为；（2）①当时，，，，，此时矩形上的所有点都在抛物线的下方，∴，∴，∵，∴；②由①，，如图2所示时，CF最长，当CF=4时，即=4，解得：t=，如图3所示时，DF最长，当DF=4时，即DF==4，解得t=，故答案为

【点睛】本题考查了新定义题，二次函数的综合，题目较难，读懂新概念，能灵活应用新概念，结合图形解题是关键.题型4反比例函数综合主要考查相似三角形的性质与判定、解直角三角形及反比例函数，熟练掌握相似三角形的性质与判定、解直角三角形及反比例函数是解题的关键．19．（22-23九下·北京通州·一模）我们学过二次函数的图象的平移，如：将二次函数的图象向左平移2个单位，再向下平移4个单位，所得图像的函数表达式是．类似地，函数的图象是由反比例函数的图象向右平移个单位，再向上平移个单位得到，其对称中心坐标为．

(1)①将的图象向右平移1个单位，所得图象的函数表达式为，再向上平移1个单位，所得图象的函数表达式为；②函数的图象可由得图象向平移个单位得到；③的图象可由哪儿个反比例函数的图象经过怎样的变换得到？(2)如图，在平面直角坐标系中，请根据给的的图象画出函数的图象，并根据该图象指出，当在什么范围内变化时，．(3)实际应用：某老师对一位学生的学习情况进行跟踪研究，假设刚学完新知识时的记忆存留量为1，新知识学习后经过的时间为，发现该生的记忆存留量随变化的函数关系式为；若在时进行第一次复习，发现他复习后的记忆存留量是复习前的2倍（复习的时间忽略不计），且复习后的记忆存留量随变化的函数关系式为．如果记忆存留量为时是复习的“最佳时机点”，且他第一次复习是在“最佳时机点”进行的，那么当为何值时，是他第二次复习的“最佳时机点”？请直接写出答案．【答案】(1)①，；②上，1；③它的图象可由反比例函数的图象先向右平移2个单位，再向上平移1个单位得到(2)见解析，(3)【详解】（1）解：①由题意可得：将的图象向右平移1个单位，所得图象的函数表达式为，再向上平移1个单位，所得图象的函数表达式为；②∵，∴函数的图象可由得图象向上平移1个单位得到；③∵，∴它的图象可由反比例函数的图象先向右平移2个单位，再向上平移1个单位得到．（2）∵是把先向右平移2个单位，再向下平移2个单位得到；∴其对称中心是．图象如图所示：

由，得，解得，经检验符合题意．结合图象可得，当时，．（3）当时，，则由，解得：，经检验符合题意，即当时，进行第一次复习，复习后的记忆存留量变为1，∴点在函数的图象上，则，解得：，经检验符合题意；∴，当，解得：，经检验符合题意；即当时，是他第二次复习的“最佳时机点”．【点睛】此题属于反比例函数综合题．主要考查了图象的平移，反比例函数图象的画法和性质，及待定系数法求解析式以及反比例函数的实际应用问题．注意熟悉反比例函数的图象和性质是解决问题的关键．20．（2024·北京门头沟·二模）在平面直角坐标系中，反比例函数的图象过点．(1)求k的值；(2)一次函数的图象过，与的图象交于两点，两函数图象交点之间的部分组成的封闭图形称作图象“”，该图象内横纵坐标均为整数的点称为“区域点”（不含边界）；①当一次函数图象过时，存在______个“区域点”；②如果“区域点”的个数为3个，画出示意图，直接写出a的取值范围．【答案】(1)(2)①2个；②见解析，【来源】2024年北京市门头沟区九年级中考二模数学试题【分析】本题主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题等知识点，（1）把代入中可得k的值；（2）①将代入可得：直线解析式为，画图可得结论；②画图计算边界时a的值，即可得解；熟练掌握整点的定义，并利用数形结合的思想是解决此题的关键．【详解】（1）解：∵反比例函数的图象过点，∴；∴k的值为1；（2）解：①一次函数的图象过，，∴，解得，∴直线l的解析式为，画出图形，如图所示，区域G内的整点有和共两个；故存在2个“G区域点”；故答案为：2；②如图，直线l：过时，，解得，直线l：过时，，解得，观察图象可知：“G区域点”的个数为3个时，a的取值范围是．21．（2025·北京平谷·二模）如图，在平面直角坐标系中，给出如下定义：已知点，点，连接．如果线段上有一个点与点P的距离不大于1，那么称点P是线段的“环绕点”．(1)已知点，，，则是线段的“环绕点”的点是；(2)已知点在反比例函数的图象上，且点P是线段的“环绕点”，求出点P的横坐标m的取值范围；(3)已知上有一点P是线段的“环绕点”，且点，求的半径r的取值范围．【答案】(1)点D和点E(2)(3)【详解】（1）解：由“环绕点”的定义可知：点P到线段上某一点的距离d应满足：

、B两点的纵坐标都是3，轴，∴点C到线段的距离为，点D到线段的距离为，点E到点A的距离为，∴点D和E是线段的环绕点，故答案为：点D和点E；（2）解：当点P在线段的上方，点P到线段的距离为1时，，解得；当点P在线段的下方，点P到线段的距离为1时，，解得；所以点P的横坐标m的取值范围为：（3）解：当点P在线段的下方时，且到线段的最小距离是1时，；当点P在线段的上方时，且到点A的距离是1时，如图，过点M作于点C，连接并延长交于P，点，点，点，点C是的中点，则，，，∴，即的半径r的取值范围是．22．（2025·河北秦皇岛·一模）如图，矩形的四个顶点都在格点（网格线的交点）上，对角线，相交于点，反比例函数的图象经过点．

(1)求这个反比例函数的表达式；(2)画出反比例函数的图象；(3)将矩形向下平移，当点落在这个反比例函数的图象上时，求平移的距离为多少？【答案】(1)(2)作图见解析(3)【来源】2025年河北省秦皇岛市九年级中考一模数学试题【分析】本题主要考查了反比例函数综合以及反比例函数的图象和性质，熟练掌握反比例函数的图象和性质是解题关键．（1）将A点坐标代入即可求解；（2）分别找出三个整数点即可画出函数图象；（3）由，当时，，从而得到平移距离．【详解】（1）解：∵反比例函数的图象经过点，将代入得解析式得，∴，∴这个反比例函数的表达式为；（2）解：三个整数点，如图所示：

（3）解：由题意可知，当时，，将矩形向下平移，当点落在这个反比例函数的图象上时，平移的距离为．23．（2022·北京三帆中学·模拟）在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴交于点，与反比例函数的图象交于点，两点．(1)求反比例函数的表达式；(2)当时，直接写出关于的方程的解；(3)当时，求的取值范围．【答案】(1)(2)，(3)当或时，【来源】2022年北京市西城区三帆中学中考数学模拟试卷【分析】（1）将点坐标代入直线解析式可求，代入反比例函数解析式可求，即可求解；（2）由题意可得点为原点，可求，代入方程可求解；（3）分类讨论求解，分当时与当两种情况求解，当时，三角形想似，可求出点的坐标，代入一次函数可得，再利用数形结合思想可得答案，．【详解】（1）解：一次函数的图象与轴交于点，与反比例函数的图象交于点，两点．，，点，，反比例函数的表达式为；（2）解：当时，则点是的中点，点为原点，，，方程化为：，，；（3）解：如图，当时，过点作轴，过点作于，过点作于，当时，∵轴，，∴，，∴，，，，，将点代入，，根据图象可知，当时，，如图，当时，过点作轴于N，过点作轴当时，AB=AC，即点A是BC的中点，∵轴，轴，∴，∵，，，，，将点代入，，根据图象可知，当时，，综上，当或时，．24．（2024·北京平谷·二模）已知：一次函数，与反比例函数的图象交与点．(1)求一次函数和反比例函数的表达式；(2)已知点过点P作垂直于y轴的直线，与反比例函数的图象交于点B，与一次函数的图象交于点C，横、纵坐标都是整数的点叫做整点．若线段、与反比例函数图象上之间的部分围成的图象中（不含边界）恰有3个整点，直接写出n的取值范围．【答案】(1)一次函数的表达式为；反比例函数的表达式为(2)或【详解】（1）解：把点代入得：，解得：，