第2章 2.1.3推理案例赏析.docx

2.1.3推理案例赏析学习目标1.通过对具体的数学思维过程的考察，进一步认识合情推理和演绎推理的作用、特点以及两者之间的联系.2.尝试用合情推理和演绎推理研究某些数学问题，提高分析问题、探究问题的能力.知识点演绎推理与合情推理的区别与联系合理推理演绎推理区别定义根据已有的事实和正确的结论(包括实验和实践的结果)，以及个人的经验和直觉等推测某些结果的推理过程根据已有的事实和正确的结论(包括定义、公理、定理等)，按照严格的逻辑法则得到新结论的推理过程思维方法归纳、类比三段论推理形式由部分到整体、由个别到一般的推理或由特殊到特殊的推理由一般到特殊的推理结论结论不一定正确，有待于进一步证明在前提和推理形式都正确的前提下，得到的结论一定正确作用具有猜测和发现结论，探索和提供思路的作用，利于创新意识的培养按照严格的逻辑法则推理，利于培养和提高逻辑证明的能力联系合情推理与演绎推理是相辅相成的，数学结论、证明思路等的发现主要靠合情推理；数学结论、猜想的正确性必须通过演绎推理来证明类型一归纳推理的应用例1已知数列的前4项为，1，试写出这个数列的一个通项公式.解把已知4项改写为，记此数列的第n项为an，则有a1；a2；a3，a4，.据此猜测an.反思与感悟运用归纳推理猜测一般结论，关键在于挖掘事物的变化规律和相互关系，可以对式子或命题进行适当转换，使其中的规律明晰化.跟踪训练1下列图形中线段有规则地排列，猜出第n个图形中线段的条数为_.答案2n13解析第1个图只有一条线段，则第2个图比第1个图增加4条线段，即线段上的端点上各增加2条，第3个图比第2个图增加8条线段，第4个图比第3个图增加2824条线段，则第n个图形中线段的条数为12223242n12n13.类型二类比推理的应用例2通过计算可得下列等式：2313312311；3323322321；4333332331；(n1)3n33n23n1.将以上各等式两边分别相加，得(n1)3133(1222n2)3(123n)n即122232n2n(n1)(2n1).类比上述求法，请你求出132333n3的值.解2414413612411，3424423622421，4434433632431，(n1)4n44n36n24n1.将以上各式两边分别相加，得(n1)4144(1323n3)6(1222n2)4(12n)n，1323n3(n1)4146n(n1)(2n1)4nn2(n1)2.反思与感悟(1)解答本题的关键在于弄清原题解题的方法，将所要求值的式子与原题的条件相类比，从而产生解题方法上的迁移.(2)解答此类问题要先弄清两类对象之间的类比关系及其差别，然后进行推测或证明.跟踪训练2如图，椭圆中心在坐标原点，f为左焦点，当时，其离心率为，此类椭圆被称为“黄金椭圆”.类比“黄金椭圆”，可推算出“黄金双曲线”的离心率e_.答案解析由题意，得b2c2c2(ca)2，即c2aca20，所以e2e10，又e1，解得e. 类型三合情推理与演绎推理的综合应用例3如图(1)，在平面内有面积关系，写出图(2)中类似的体积关系，并证明你的结论.解类比，有证明：如图，设点c，c到平面pab的距离分别为h，h.则，故.反思与感悟合情推理是提出猜想、提供解题的思路，而演绎推理则是证明猜想、判断猜想的正确性，通过合情推理得到的猜想缺少证明过程是不完整的，平时解题都是二者的结合.跟踪训练3读下列不等式的证法，再解决后面的问题.已知m1，m2r，m1m21，求证：mm.证明：构造函数f(x)(xm1)2(xm2)2，则f(x)2x22(m1m2)xmm2x22x(mm).因为对一切xr，恒有f(x)0，所以48(mm)0，从而得mm.(1)若m1，m2，mnr，m1m2mn1，请写出上述结论的推广式；(2)参考上述证法，对你推广的结论加以证明.解(1)已知m1，m2，mnr，且m1m2mn1.求证：mmm.(2)构造函数f(x)(xm1)2(xm2)2(xmn)2，则f(x)nx22(m1m2mn)x(mmm)nx22x(mmm).因为对一切xr，恒有f(x)0，所以44n(mmm)0，从而得mmm.1.观察(x2)2x，(x4)4x3，(cos x)sin x，由归纳推理可得：若定义在r上的函数f(x)满足f(x)f(x)，记g(x)为f(x)的导函数，则g(x)_.答案g(x)解析由所给函数及其导数知，偶函数的导函数为奇函数.因此当f(x)是偶函数时，其导函数应为奇函数，故g(x)g(x).2.若“f(x0)0，则x0是函数yf(x)的极值点，因为f(x)x3中，f(x)3x2且f(0)0，所以0是f(x)x3的极值点”.在此“三段论”中，其中_错误.答案大前提解析f(x0)0，x0不一定是f(x)的极值点，还需看x0附近左右导数符号是否异号.大前提不正确.3.将全体正整数排成一个三角形数阵：12 3456789101112131415按照以上排列的规律，第n行(n3)从左向右的第3个数为_.答案解析前n1行共有正整数12(n1)个，即个，因此第n行第3个数是全体正整数中第3个，即为.4.在rtabc中，若c90，则cos2acos2b1，在立体几何中，给出四面体性质的猜想.解如图，在rtabc中，cos2acos2b()2()21.把结论类比到四面体pabc中，我们猜想，在三棱锥pabc中，若三个侧面pab，pbc，pca两两互相垂直，且与底面所成的二面角分别为，则cos2cos2cos21.1.归纳推理和类比推理是常用的合情推理.从推理形式上看，归纳推理是由部分到整体、特殊到一般的推理；类比推理是由特殊到特殊的推理；演绎推理是由一般到特殊的推理.2.从推理形式和所得结论的正确性讲，演绎推理与合情推理存在差异，从数学发现与认识事物的过程发挥的作用看，合情推理与演绎推理是相辅相成的、相互为用的，合情推理提出猜想、发现结论，为演绎推理确定确定了目标和方向.演绎推理不仅为合情推理提供了前提，而且对合情推理的结果进行“判决”和证明.两者的综合运用才能推动人们对事物的认识不断向前发展.一、填空题1.如图所示的三角形数组是我国古代数学家杨辉发现的，称为杨辉三角形，根据图中的数构成的规律，a所表示的数是_.答案6解析由图形中数字，不难得出每行两头数字均为1，其他数字均为其肩上两数字之和，a336.2.类比平面内“垂直于同一条直线的两条直线互相平行”的性质，可推出下列空间的结论：垂直于同一条直线的两条直线互相平行；垂直于同一个平面的两条直线互相平行；垂直于同一条直线的两个平面互相平行；垂直于同一个平面的两个平面互相平行，则其中正确的结论是_.答案解析根据空间线、面平行与垂直的判定与性质定理知，正确，错误.3.补充下列推论的三段论.(1)因为互为相反数的两个数的和为0.又因为a与b互为相反数且_，所以b8.(2)因为_，又因为e2.718 28是无限不循环小数，所以e是无理数.答案(1)a8(2)无限不循环小数是无理数解析(1)由大前提得ab0，由结论b8得a8.(2)由小前提和结论，逆推大前提.4.下面几种推理是合情推理的是_.由圆的性质类比出球的有关性质；由直角三角形、等腰三角形、等边三角形的内角和是180，归纳出所有三角形的内角和都是180；教室内有一把椅子坏了，则该教室内的所有椅子都坏了；三角形内角和是180，四边形内角和是360，五边形内角和是540，由此得凸多边形内角和是(n2)180.答案解析是类比推理，是归纳推理.5.已知圆的方程为x2y2a2，则圆的面积为a2.类比上述结论，可得椭圆的类似结论为_.答案已知椭圆的方程为1(ab0)，则椭圆的面积为ab6.设题中字母均为正数，由下列恒等式：a1；(ab)()4；(abc)()9.可以归纳出的一般结论是_.答案(a1a2an)()n2(air，i1,2，n)7.仔细观察下面和的排列规律： 若依此规律继续下去，得到一系列的和，那么在前120个和中，的个数是_.答案14解析进行分组|，则前n组两种圈的总数是f(n)234(n1)，易知f(14)119，f(15)135，故n14.8.设n2，nn，(2x)n(3x)na0a1xa2x2anxn，将|ak|(0kn)的最小值记为tn，则t20，t3，t40，t5，tn，其中tn_.答案解析由t20，t40，猜想tn0(n为偶数).由t3，t5，猜想tn(n为奇数).因此可得tn9.对于命题：若点o是线段ab上一点，则|0，将它类比到平面的情形是：若点o是abc内一点，则sobcsocasoba0，将它类比到空间的情形应该是：若o是四面体abcd内一点，则_.答案vobcdvoacdvoabdvoabc0解析长度类比面积，面积类比体积，vobcdvoacdvoabdvoabc0.10.“1a2”是“对任意的正数x，都有2x1”的_条件.答案充分不必要解析2x2，“2x1(x0)”恒成立，则21，a.2x1的充要条件为a.因此“1a2”是“对任意的正数x，都有2x1”的充分不心要条件.11.四个小动物换座位，开始是鼠、猴、兔、猫分别坐1,2,3,4号位子，第1次前后排动物互换座位，第2次左右列动物互换座位，这样交替进行下去，那么第2 012次互换座位后，小兔的座位对应的是编号_.答案3解析通过第1次、第2次、第3次、第4次互换后得到的结果与开始时一样，所以周期为4.又2 012能被4整除，所以经过第2 012次互换座位后，应为开始时的结果，即小兔的座位对应的是编号3.二、解答题12.如图所示“三角形”的数阵，第n行共有n个数，且该行的第一个数和最后一个数都是n，中间任意一个数都等于第n1行与之相邻的两个数的和，an,1，an,2，an，n(n1,2,3，)分别表示第n行的第一个数，第二个数，第n个数.求an,2(n2且nn*)的表达式.解由图易知a2,22，a3,24，a4,27，a5,211，从而有a3,2a2,22，a4,2a3,23，a5,2a4,24，an,2a(n1)，2n1.以上n2个式子相加即可得到an,2a2,2234(n1)，所以an,22，即an,2(n2且nn*).13.设f(x)，g(x)(其中a0且a1).(1)由523，请你推测g(5)能否用f(2)，f(3)，g(2)，g(3)来表示