第一章 1.1.21.1.3.docx

1.1.2四种命题1.1.3四种命题间的相互关系学习目标1.了解四种命题的概念，会写出所给命题的逆命题、否命题和逆否命题.2.认识四种命题之间的关系以及真假性之间的联系.3.会利用命题的等价性解决问题.知识点一四种命题的概念思考给出以下四个命题：(1)当x2时，x23x20；(2)若x23x20，则x2；(3)若x2，则x23x20；(4)若x23x20，则x2.你能说出命题(1)与其他三个命题的条件与结论有什么关系吗？答案命题(1)的条件和结论与命题(2)的条件和结论恰好互换了.命题(1)的条件与结论恰好是命题(3)条件的否定和结论的否定.命题(1)的条件和结论恰好是命题(4)结论的否定和条件的否定.梳理一般地，对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，那么把这两个命题叫做互逆命题.如果是另一个命题条件的否定和结论的否定，那么把这两个命题叫做互否命题.如果是另一个命题结论的否定和条件的否定，那么把这两个命题叫做互为逆否命题.把第一个叫做原命题时，另外三个可分别称为原命题的逆命题、否命题、逆否命题.知识点二四种命题间的关系思考1为了书写方便常把p与q的否定分别记作“綈p”和“綈q”，如果原命题是“若p，则q”，那么它的逆命题、否命题、逆否命题该如何表示？答案逆命题：若q，则p.否命题：若綈p，则綈q.逆否命题：若綈q，则綈p.思考2原命题的否命题与原命题的逆否命题之间是什么关系？原命题的逆命题与其逆否命题之间是什么关系？原命题的逆命题与其否命题呢？答案互逆、互否、互为逆否.梳理四种命题间的相互关系知识点三四种命题的真假关系思考1知识点一的“思考”中四个命题的真假性是怎样的？答案(1)真命题，(2)假命题，(3)假命题，(4)真命题.思考2如果原命题是真命题，它的逆命题是真命题吗？它的否命题呢？它的逆否命题呢？答案原命题为真，其逆命题不一定为真，其否命题不一定为真，其逆否命题一定是真命题.梳理(1)在原命题的逆命题、否命题、逆否命题中，一定与原命题真假性相同的是逆否命题.(2)两个命题互为逆命题或互为否命题时，它们的真假性没有关系.(3)一般地，四种命题的真假性有且仅有下面四种情况：原命题逆命题否命题逆否命题真真真真真假假真假真真假假假假假(4)当判断一个命题的真假比较困难时，可以利用它与逆否命题真假的等价性来证明.类型一四种命题及其相互关系命题角度1四种命题的概念例1写出下列命题的逆命题、否命题和逆否命题.(1)若xa，则xab；(2)若a，b都是偶数，则ab是偶数；(3)在abc中，若ab，则ab.解(1)逆命题：若xab，则xa.否命题：若xa，则xab.逆否命题：若xab，则xa.(2)逆命题：若ab是偶数，则a，b都是偶数.否命题：a，b不都是偶数，则ab不是偶数.逆否命题：若ab不是偶数，则a，b不都是偶数.(3)逆命题：在abc中，若ab，则ab.否命题：在abc中，若ab，则ab.逆否命题：在abc中，若ab，则ab.反思与感悟四种命题的转换方法(1)交换原命题的条件和结论，所得命题是原命题的逆命题.(2)同时否定原命题的条件和结论，所得命题是原命题的否命题.(3)交换原命题的条件和结论，并且同时否定，所得命题是原命题的逆否命题.跟踪训练1命题“若函数f(x)logax(a0，a1)在其定义域内是减函数，则loga20”的逆否命题是()a.若loga20，a1)在其定义域内不是减函数b.若loga20，则函数f(x)logax(a0，a1)在其定义域内不是减函数c.若loga20，a1)在其定义域内是减函数d.若loga20，则函数f(x)logax(a0，a1)在其定义域内是减函数考点四种命题题点四种命题概念的理解答案b解析直接根据逆否命题的定义，将其条件与结论进行否定，再互换，值得注意的是“是减函数”的否定不能写成“是增函数”，而应写成不是减函数.命题角度2四种命题的相互关系例2若命题p：“若xy0，则x，y互为相反数”的否命题为q，命题q的逆命题为r，则r与p的逆命题的关系是()a.互为逆命题b.互为否命题c.互为逆否命题d.同一命题答案b解析已知命题p：若xy0，则x，y互为相反数.命题p的否命题q为：若xy0，则x，y不互为相反数，命题q的逆命题r为：若x，y不互为相反数，则xy0，r是p的逆否命题，r是p的逆命题的否命题，故选b.反思与感悟判断四种命题之间四种关系的两种方法(1)利用四种命题的定义判断；(2)巧用“逆、否”两字进行判断，如“逆命题”与“逆否命题”中不同有“否”一个字，是互否关系；而“逆命题”与“否命题”中不同有“逆、否”二字，其关系为逆否关系.跟踪训练2已知命题p的逆命题是“若实数a，b满足a1且b2，则abb，则ac2bc2(a，b，cr)”与它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数为()a.0 b.2 c.3 d.4考点四种命题的真假判断题点由四种命题的关系判断命题的真假答案b解析命题“若ab，则ac2bc2(a，b，cr)”是假命题，则其逆否命题是假命题.该命题的逆命题为“若ac2bc2，则ab(a，b，cr)”是真命题，则其否命题是真命题.故选b.类型三等价命题的应用例4判断命题“已知a，x为实数，若关于x的不等式x2(2a1)xa220的解集非空，则a1”的逆否命题的真假.解方法一原命题的逆否命题：已知a，x为实数，若a1，则关于x的不等式x2(2a1)xa220的解集为，判断如下：抛物线yx2(2a1)xa22的开口向上，令x2(2a1)xa220，则(2a1)24(a22)4a7.因为a1，所以4a70的解集为r，则a0的解集为r，且抛物线yx2(2a1)xa22的开口向上，所以(2a1)24(a22)4a70，所以a0，则方程x2xm0有实根”的逆否命题是()a.若方程x2xm0有实根，则m0b.若方程x2xm0有实根，则m0c.若方程x2xm0没有实根，则m0d.若方程x2xm0没有实根，则m0考点四种命题题点四种命题概念的理解答案d解析原命题为“若p，则q”，则其逆否命题为“若綈q，则綈p”.所求命题为“若方程x2xm0没有实根，则m0”.2.如果一个命题的否命题是真命题，那么这个命题的逆命题是()a.真命题b.假命题c.不一定是真命题d.不一定是假命题考点四种命题的真假判断题点由四种命题的关系判断命题的真假答案a解析由否命题与逆命题互为逆否命题，可知这个命题的逆命题是真命题.3.下列命题：“全等三角形的面积相等”的逆命题；“正三角形的三个内角均为60”的否命题；“若k0，则方程x2(2k1)xk0必有两相异实数根”的逆否命题.其中真命题的个数是()a.0 b.1 c.2 d.3答案c解析的逆命题“面积相等的三角形是全等三角形”是假命题；的否命题“不是正三角形的三个内角不全为60”为真命题；当k0，方程有两相异实根，原命题与其逆否命题均为真命题.4.已知命题“若m1xm1，则1x2”的逆命题为真命题，则m的取值范围是_.考点四种命题的真假判断题点由四种命题的真假求参数的范围答案1,2解析命题：“若m1xm1，则1x2”的逆命题为“若1x2，则m1xb2，则ab”的逆命题、否命题和逆否命题，并判断它们的真假.考点四种命题题点四种命题概念的理解解逆命题：已知a，br，若ab，则a2b2；否命题：已知a，br，若a2b2，则ab.逆否命题：已知a，br，若ab，则a2b2.因为原命题是假命题，所以逆否命题也是假命题；因为逆命题是假命题，所以否命题也是假命题.1.写四种命题可以按以下步骤进行：(1)找出命题的条件p和结论q.(2)写出条件p的否定綈p和结论q的否定綈q.(3)按照四种命题的结构写出所有命题.2.判断命题的真假可以根据互为逆否的命题真假性相同来判断，这也是反证法的理论基础.40分钟课时作业一、选择题1.已知a，br，命题“若ab1，则a2b2”的否命题是()a.若a2b2，则ab1b.若ab1，则a2b2c.若ab1，则a2b2d.若a2b2，则ab1答案c解析“ab1”，“a2b2”的否定分别是“ab1”，“a2b2”，故否命题为“若ab1，则a2b22 016，则x0”的逆命题b.命题“若xy0，则x0或y0”的逆否命题c.命题“若x2x20，则x1”d.命题“若x21，则x1”的逆否命题答案b解析a选项，“若x2 016，则x0”的逆命题为“若x0，则x2 016”是假命题；b选项，“若xy0，则x0或y0”的逆否命题为“若x0且y0，则xy0”是真命题；c选项，由x2x20，得x1或x2，故c是假命题；d选项，“若x21，则x1”是假命题，故其逆否命题是假命题.4.已知命题“若a，b，c成等比数列，则b2ac”，在它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数是()a.0 b.1 c.2 d.3答案b解析命题“若a，b，c成等比数列，则b2ac”是真命题，故其逆否命题是真命题.该命题的逆命题为“若b2ac，则a，b，c成等比数列”是假命题，故其否命题也是假命题，故选b.5.命题p：若abb，则ab；命题q：若ab，则abb，那么命题p与命题q的关系是()a.互逆命题 b.互否命题c.互为逆否命题 d.不能确定答案c解析由逆否命题的定义可得.6.若命题p的否命题为r，命题r的逆命题为s，p的逆命题为t，则s是t的()a.逆否命题 b.逆命题c.否命题 d.原命题答案c解析特例：p：若ab，则ab；r：若ab，则ab；s：若ab，则ab；t：若ab，则ab.7.下列命题：(1)若“a2b2，则a0的解集为r”的逆否命题；(4)“若x(x0)为有理数，则x为无理数”.其中正确的命题是()a.(3)(4) b.(1)(3)c.(1)(2) d.(2)(4)答案a解析对于(1)，逆命题是“若ab，则a2b2”，易知是假命题；对于(2)，否命题是“若两个三角形不全等，则这两个三角形的面积不相等”，易知是假命题；对于(3)，结论成立的条件是a0或故a0，原命题与其逆否命题真假性相同，所以(3)正确；对于(4)，若x为有理数，则x必为无理数，因为x为有理数，故x为无理数，则(4)正确，故选a.二、填空题8.命题“若x3，y5，则xy8”的逆命题是_；否命题是_，逆否命题是_.答案若xy8，则x3，y5若x3或y5，则xy8若xy8，则x3或y59.下列命题中：若一个四边形的四条边不相等，则它不是正方形；若一个四边形对角互补，则它内接于圆；正方形的四条边相等；圆内接四边形对角互补；对角不互补的四边形不内接于圆；若一个四边形的四条边相等，则它是正方形.其中互为逆命题的有_；互为否命题的有_；互为逆否命题的有_.答案和，和和，和和，和解析命题可改写为“若一个四边形是正方形，则它的四条边相等”；命题可改写为“若一个四边形是圆内接四边形，则它的对角互补”；命题可改写为“若一个四边形的对角不互补，则它不内接于圆”，再依据四种命题间的关系便不难判断.10.在命题“若抛物线yax2bxc的开口向下，则x|ax2bxc1且b1，则ab2”的否命题.其中真命题的序号是_.答案解析显然为真；为假；对于中，原命题“若x是有理数，则x是无理数”为假命题，所以其逆否命题为假命题；对于中，“若a1且b1，则ab2”的否命题是“若a1或b1，则ab2”为假命题.三、解答题12.分别写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题，并判断它们的真假.(1)当m时，mx2x10无实根；(2)当abc0时，a0或b0或c0.解(1)逆命题：当mx2x10无实根时，m，真命题；否命题：当m时，mx2x10有实根，真命题；逆否命题：当mx2x10有实根时，m，真命题.(2)逆命题：当a0或b0或c0时，abc0，真命题；否命题：当abc0时，a0且b0且c0，真命题；逆否命题：当a0且b0