第二章 2.1.1(二).docx

2.1.1椭圆及其标准方程(二)学习目标加深理解椭圆的定义及其标准方程，能熟练求解与椭圆有关的轨迹问题.知识点一推导椭圆标准方程的过程思考1在求解椭圆方程时，建立直角坐标系应遵循的原则是什么？答案第一，充分利用图形的对称性，以坐标轴为对称轴，以原点为对称中心.第二，一般地，使已知的点尽可能多的落在坐标轴上.思考2推导椭圆标准方程的步骤是怎样的？答案知识点二求椭圆方程的方法方法名称适用条件待定系数法已知是椭圆，且知椭圆长、短轴、焦点、焦距、或椭圆上的点等条件中的某些条件直接法等量关系比较明确(推导椭圆标准方程采用的就是直接法)定义法能得出动点到两定点的距离之和为定值相关点法所求动点与已知条件的另一动点存在坐标相关关系类型一定义法求轨迹方程例1如图，p为圆b：(x2)2y236上一动点，点a坐标为(2,0)，线段ap的垂直平分线交直线bp于点q，求点q的轨迹方程.解直线ap的垂直平分线交直线bp于点q，|aq|pq|，|aq|bq|pq|bq|6|ab|4，点q的轨迹为以a、b为焦点的椭圆，且2a6,2c4，a3，c2，即b2a2c25，点q的轨迹方程为1.反思与感悟用定义法求椭圆的方程，首先要利用平面几何知识将题目条件转化为到两定点的距离之和为定值，然后判断椭圆的中心是否在原点、对称轴是否为坐标轴，最后由定义得出椭圆的基本量a，b，c.跟踪训练1已知圆m：(x1)2y21，圆n：(x1)2y29，动圆p与圆m外切并且与圆n内切，圆心p的轨迹为曲线c.求c的方程.解由已知得圆m的圆心为m(1,0)，半径r11；圆n的圆心为n(1,0)，半径r23.设圆p的圆心为p(x，y)，半径为r.动圆p与圆m外切并且与圆n内切，所以|pm|pn|(rr1)(r2r)r1r24.由椭圆定义可知，曲线c是以m，n为左，右焦点，且a2，c1的椭圆(左顶点除外)，其方程为 1(x2).类型二相关点法求轨迹方程例2已知x轴上一定点a(1,0)，q为椭圆y21上的动点，求线段aq中点m的轨迹方程.解设中点m的坐标为(x，y)，点q的坐标为(x0，y0).利用中点坐标公式，得q(x0，y0)在椭圆y21上，y1.将x02x1，y02y代入上式，得(2y)21.故所求aq的中点m的轨迹方程是(x)24y21.反思与感悟当题目中所求动点和已知动点存在明显关系时，一般利用相关点的方法求解.用相关点法求轨迹方程的基本步骤为(1)设点：设所求轨迹上动点坐标为p(x，y)，已知曲线上动点坐标为q(x1，y1).(2)求关系式：用点p的坐标表示出点q的坐标，即得关系式(3)代换：将上述关系式代入已知曲线方程得到所求动点轨迹的方程，并把所得方程化简即可.跟踪训练2如图，设p是圆x2y225上的动点，点d是p在x轴上的投影，m为pd上一点，且|md|pd|.当p在圆上运动时，求点m的轨迹c的方程，并判断此曲线的类型.解设m点的坐标为(x，y)，p点的坐标为(xp，yp)，由已知易得p在圆上，x2225，即轨迹c的方程为1.该曲线表示焦点在x轴上的椭圆.类型三直接法求轨迹方程例3如图，设点a，b的坐标分别为(5,0)，(5,0).直线am，bm相交于点m，且它们的斜率之积是，求点m的轨迹方程.解设点m的坐标为(x，y)，因为点a的坐标是(5,0)，所以，直线am的斜率kam(x5)；同理，直线bm的斜率kbm(x5).由已知得(x5)，化简，得点m的轨迹方程为1(x5).引申探究若将例3中的改为a(a0)，曲线形状如何？解设点m(x，y)，则a(x5).化简得1(x5).(1)当a1时，曲线表示圆x2y225(x5)，去掉两点(5,0).(2)当a1时，曲线表示椭圆，去掉两点(5,0).当1a0时，椭圆焦点在x轴上；当a22，由题意可得，动点m的轨迹是椭圆，且b2a2c2522221，可得椭圆的方程为1，故选b.2.若abc的两个顶点坐标为a(6,0)，b(6,0)，abc的周长为32，则顶点c的轨迹方程为()a.1b.1(y0)c.1(y0)d.1(y0)答案d解析由题意知|ca|cb|ab|32，又|ab|12，|ca|cb|20|ab|，由椭圆定义知，顶点c的轨迹是以a，b为焦点的椭圆，其方程为1(y0).3.已知椭圆的两个焦点分别是f1，f2，p是椭圆上的一个动点，如果延长f1p到q，使得|pq|pf2|，那么动点q的轨迹是()a.圆 b.椭圆 c.射线 d.直线答案a解析由椭圆的定义知|pf1|pf2|2a，又|pq|pf2|，|pq|pf1|2a，即|f1q|2a，则动点q的轨迹是以f1为圆心，2a为半径的圆.4.已知m(2,0)，n(2,0)，若|pm|pn|6，则p点的轨迹方程为_；若|pm|pn|4，则p点的轨迹方程为_.答案1y0(2x2)解析|pm|pn|64，由椭圆的定义可得，p点的轨迹方程为1.|pm|pn|4|mn|，p点的轨迹为线段mn，则其方程为y0(2x2).5.已知圆x2y29，从这个圆上任意一点p向x轴作垂线pp，垂足为p，点m在pp上，并且2，求点m的轨迹.解设点m的坐标为(x，y)，点p的坐标为(x0，y0)，则x0x，y03y.p(x0，y0)在圆x2y29上，xy9.将x0x，y03y代入，得x29y29，即y21.点m的轨迹是焦点在x轴上的椭圆，方程为y21.1.解答与椭圆有关的轨迹问题的一般思路是：2.注意题目要求中求轨迹和求轨迹方程的区别.40分钟课时作业一、选择题1.椭圆y21的两个焦点为f1，f2，过f1作垂直于x轴的直线与椭圆相交，一个交点为p，则|pf2|等于()a. b. c. d.4答案c解析不妨设f1的坐标为(，0)，p点坐标为(x0，y0)，pf1与x轴垂直，x0.把x0代入椭圆方程y21，得y.|pf1|.|pf2|4|pf1|.2.已知椭圆1(ab0)，m为椭圆上一动点，f1为椭圆的左焦点，则线段mf1的中点p的轨迹是()a.圆 b.椭圆 c.线段 d.直线答案b解析设右焦点为f2，由题意知|po|mf2|，|pf1|mf1|，又|mf1|mf2|2a，所以|po|pf1|a|f1o|c，故由椭圆的定义知p点的轨迹是椭圆.3.已知点a(1,0)，b(1,0)，且0，则动点m的轨迹方程是()a.x2y21b.x2y22c.x2y21(x1)d.x2y22(x)答案a解析设动点m(x，y)，则(1x，y)，(1x，y). 由0，得(1x)(1x)(y)(y)0, 即x2y21.4.椭圆的两焦点为f1(4,0)，f2(4,0)，点p在椭圆上，若pf1f2的面积最大为12，则椭圆的方程为()a.1 b.1c.1 d.1答案b解析pf1f2的最大面积为2cb12，即bc12，又c4，b3，a5，椭圆方程为1.5.设定点f1(0，3)，f2(0,3)，动点p满足条件|pf1|pf2|a(a0)，则点p的轨迹是()a.椭圆 b.线段c.不存在 d.椭圆或线段答案d解析a26，当且仅当a，即a3时取等号，当a3时，|pf1|pf2|6|f1f2|，点p的轨迹是线段f1f2；当a0且a3时，|pf1|pf2|6|f1f2|，点p的轨迹是椭圆.6.已知椭圆1(0b2)，左，右焦点分别为f1，f2，过f1的直线l交椭圆于a，b两点，若|bf2|af2|的最大值为5，则b的值是()a.1 b.c. d.答案d解析当lx轴时，|af2|bf2|的值最大，此时，|af2|，由椭圆定义知|af1|af2|4，|af1|，|f1f2|2.则|af2|2|af1|2|f1f2|2，即4(4b2)，解得b.7.长度为2的线段ab的两个端点a，b分别在x轴，y轴上滑动，点m分ab的比为，则点m的轨迹方程为()a.x2y21b.x2y21c.x2y21d.x2y21答案b解析设点m的坐标为(x，y)，则a的坐标为(x,0)，b的坐标为(0，y).因为|ab|2，所以(x)2(y)24，即x2y24，所以点m的轨迹方程是x2y24.即x2y21.二、填空题8.设abc的三个顶点a、b、c对应三边分别为a、b、c，且a、b、c(abc)成等差数列，a、c两点的坐标分别是(1,0)、(1,0)，则顶点b的轨迹方程为_.答案1(2xbc，ac，即|bc|ab|，(x1)2y2(x1)2y2，x0，点b的轨迹是椭圆的一半，方程为1(x0).又当x2时，点b、a、c在同一直线上，不能构成abc，x2.顶点b的轨迹方程为1(2xb0)上的任意一点，f1，f2是它的两个焦点，o为坐标原点，求动点q的轨迹方程.解由，又22，设q(x，y)，则(x，y)(，)，即p点坐标为(，)，又p点在椭圆上，1，即1，动点q的轨迹方程为1(ab0).13.已知动圆与定圆c：x2y24y320内切，且过定圆内的一个定点a(0,2)