第二章 2.1.2(二).docx

2.1.2椭圆的简单几何性质(二)学习目标1.进一步巩固椭圆的简单几何性质.2.掌握直线与椭圆位置关系等相关知识.知识点一点与椭圆的位置关系思考1判断点p(1,2)与椭圆y21的位置关系.答案当x1时，得y2，故y，而2，故点在椭圆外.思考2类比点与圆的位置关系的判定，你能给出点p(x0，y0)与椭圆1(ab0)的位置关系的判定吗？答案当p在椭圆外时，1；当p在椭圆上时，1；当p在椭圆内时，b0)，则点p与椭圆的位置关系如下表所示：位置关系满足条件p在椭圆外1p在椭圆上1p在椭圆内b0)的位置关系？答案联立消去y得关于x的一元二次方程.位置关系解的个数的取值相交两解0相切一解0相离无解1，解得k.引申探究若将本例中p点坐标改为“p(1，k)”呢？答案(，)(，)解析依题1，解得k2，即k.反思与感悟处理点与椭圆位置关系问题时，紧扣判定条件，然后转化为解不等式等问题，注意求解过程与结果的准确性.跟踪训练1已知点(3,2)在椭圆1(ab0)上，则()a.点(3，2)不在椭圆上 b.点(3，2)不在椭圆上c.点(3,2)在椭圆上 d.以上都不正确答案c解析由已知得1，只有选项c符合该条件.命题角度2直线与椭圆位置关系判断例2(1)直线ykxk1与椭圆1的位置关系是()a.相交 b.相切 c.相离 d.不确定答案a解析直线ykxk1k(x1)1过定点(1,1)，且该点在椭圆内部，因此必与椭圆相交.(2)在平面直角坐标系xoy中，经过点(0，)且斜率为k的直线l与椭圆y21有两个不同的交点p和q.求k的取值范围.解由已知条件知直线l的方程为ykx，代入椭圆方程得(kx)21.整理得x22kx10.直线l与椭圆有两个不同的交点p和q等价于8k244k220，解得k或k.即k的取值范围为.反思与感悟直线与椭圆的位置关系判别方法(代数法)联立直线与椭圆的方程，消元得到一元二次方程：(1)0直线与椭圆相交有两个公共点.(2)0直线与椭圆相切有且只有一个公共点.(3)0直线与椭圆相离无公共点.跟踪训练2(1)已知直线l过点(3，1)，且椭圆c：1，则直线l与椭圆c的公共点的个数为()a.1 b.1或2 c.2 d.0(2)若直线ykx2与椭圆1相切，则斜率k的值是()a. b. c. d.答案(1)c(2)c解析(1)因为直线过定点(3，1)且0.这时直线的方程为y2(x4)，即x2y80.方法二设a(x1，y1)，b(x2，y2)，则有两式相减得0，整理得kab，由于p(4,2)是ab的中点，x1x28，y1y24，于是kab，于是直线ab的方程为y2(x4)，即x2y80.反思与感悟处理直线与椭圆相交的关系问题的通法是通过解直线与椭圆构成的方程.利用根与系数的关系或中点坐标公式解决，涉及弦的中点，还可使用点差法：设出弦的两端点坐标，代入椭圆方程，两式相减即得弦的中点与斜率的关系.跟踪训练3已知椭圆ax2by21(a0，b0且ab)与直线xy10相交于a，b两点，c是ab的中点，若|ab|2，oc的斜率为，求椭圆的方程.解方法一设a(x1，y1)，b(x2，y2)，代入椭圆方程并作差，得a(x1x2)(x1x2)b(y1y2)(y1y2)0.a，b为直线xy10上的点，1.由已知得koc，代入式可得ba.直线xy10的斜率k1.又|ab|x2x1|x2x1|2，|x2x1|2.联立ax2by21与xy10，可得(ab)x22bxb10.且由已知得x1，x2是方程(ab)x22bxb10的两根，x1x2，x1x2，4(x2x1)2(x1x2)24x1x224.将ba代入式，解得a，b.所求椭圆的方程是1.方法二由得(ab)x22bxb10.设a(x1，y1)，b(x2，y2)，则x1x2，x1x2，且直线ab的斜率k1，|ab|.|ab|2，2，1.设c(x，y)，则x，y1x.oc的斜率为，将其代入式得，a，b.所求椭圆的方程为1.类型三椭圆中的最值(或范围)问题例4已知椭圆4x2y21及直线yxm.(1)当直线和椭圆有公共点时，求实数m的取值范围；(2)求被椭圆截得的最长弦所在的直线方程.解(1)由得5x22mxm210，因为直线与椭圆有公共点， 所以4m220(m21)0，解得m.(2)设直线与椭圆交于a(x1，y1)，b(x2，y2)两点，由(1)知5x22mxm210，所以x1x2，x1x2(m21)，所以|ab| .所以当m0时，|ab|最大，此时直线方程为yx.引申探究在例4中，设直线与椭圆相交于a(x1，y1)，b(x2，y2)两点，求aob面积的最大值及aob面积最大时的直线方程.解可求得o到ab的距离d，又|ab|，saob|ab|d ，当且仅当m2m2时，上式取“”，此时m，.所求直线方程为xy0.反思与感悟解析几何中的综合性问题很多，而且可与很多知识联系在一起出题，例如不等式、三角函数、平面向量以及函数的最值问题等.解决这类问题需要正确地应用转化思想、函数与方程思想和数形结合思想.其中应用比较多的是利用方程根与系数的关系构造等式或函数关系式，这其中要注意利用根的判别式来确定参数的限制条件.跟踪训练4已知椭圆c：x22y24.(1)求椭圆c的离心率；(2)设o为原点，若点a在直线y2上，点b在椭圆c上，且oaob，求|ab|的最小值.解(1)椭圆c：x22y24化为标准方程为1，a2，b，c，椭圆c的离心率e.(2)设a(t,2)，b(x0，y0)，x00.oaob，0，tx02y00，t.又x2y4，0x4.|ab|2(x0t)2(y02)24448，当且仅当，即x4时等号成立，|ab|的最小值为2.1.点a(a,1)在椭圆1的内部，则a的取值范围是()a.a b.a或ac.2a2 d.1a1答案a解析由题意知1，解得a.2.若直线yx与椭圆x21(m0且m1)只有一个公共点，则该椭圆的长轴长为()a.1 b. c.2 d.2答案d解析联立得(m21)x22x6m20，(2)24(m21)(6m2)0，即4m2(m25)0，m0且m1，m，故选d.3.直线ykx1与焦点在x轴上的椭圆1总有公共点，则m的取值范围是_.答案m|1m5解析由直线ykx1恒过定点(0,1)，由题意知点(0,1)在椭圆上或椭圆内，则1.又椭圆的焦点在x轴上，0m5.1m2，a2b24，即1，b0)的离心率为，若直线ykx与椭圆的一个交点的横坐标x0b，则k的值为()a. b. c. d.答案b解析根据椭圆的离心率为，得.由x0b，得yb2(1)，y0，k.二、填空题7.直线xa与椭圆1恒有两个不同的交点，则a的取值范围是_.答案(，)8.如图，椭圆1(ab0)的左，右焦点分别为f1，f2，焦距为2c，若直线y(xc)与椭圆的一个交点m满足mf1f22mf2f1，则该椭圆的离心率等于_.答案1解析由直线方程y(xc)，得直线与x轴的夹角mf1f2，且过点f1(c,0).mf1f22mf2f1，mf1f22mf2f1，即f1mf2m.在rtf1mf2中，f1f22c，f1mc，f2mc，由椭圆定义可得2acc，离心率e1.9.过椭圆1的右焦点作一条斜率为2的直线与椭圆交于a、b两点，o为原点，则oab的面积为_.答案解析直线方程为y2x2，与椭圆方程1联立，可以解得a(0，2)，b，soab|of|yayb|(也可以用设而不求的方法求弦长|ab|，再求出点o到ab的距离，进而求出aob的面积).10.若椭圆mx2ny21(m0，n0)与直线xy10交于a，b两点，若，则过原点与线段ab的中点m的连线的斜率为_.答案解析设a(x1，y1)，b(x2，y2)，则得m(x1x2)(x1x2)n(y1y2)(y1y2)0，即0.1，kom.三、解答题11.已知点a，b是椭圆c：1(a0，b0)与直线x3y20的交点，点m是ab的中点，且点m的横坐标为，若椭圆c的焦距为8，求椭圆c的方程.解设a(xa，ya)，b(xb，yb)，m(xm，ym)，依题意得kab0，点m(，)，0，a23b2.又c4，a224，b28，经检验，a224，b28符合题意，椭圆c的方程为1.12.椭圆1(ab0)与直线xy10相交于p，q两点，且(o为坐标原点).(1)求证：等于定值；(2)若椭圆的离心率e，求椭圆长轴长的取值范围.解(1)椭圆的方程可化为b2x2a2y2a2b20.由消去y，得(a2b2)x22a2xa2(1b2)0.由4a44(a2b2)a2(1b2)0，得a2b21.设p(x1，y1)，q(x2，y2)，则x1x2，x1x2.，x1x2y1y20，即2x1x2(x1x2)10，即10，a2b22a2b2，即2.等于定值.(2)e，b2a2c2a2a2e2.又a2b22a2b2，2e22a2(1e2)，即a2.e，a2，即a，2a，即椭圆长轴长的取值范围是，.13.椭圆c：1(ab0)过点(1，)，离心率为，左，右焦点分别为f1，f2，过f1的直线交椭圆于a、b两点.(1)求椭圆c的方程；(2)当f2ab的面积为时，求直线的方程.解(1)因为椭圆c：1(ab0)过点(1，)，所以1.又因为离心率为，所以，所以.解得，a24，b23